35導數在經濟中的應用

第三章導數的應用

第五節(jié)導數在經濟中的應用3.5.1邊際函數設函數在點處可導，則導函數稱為函數的邊際函數。也稱為函數在處的邊際函數值。邊際函數反映了函數在點處的變化率。設成本函數可導（其中表示總成本，表示產量），則其邊際函數稱為邊際成本函數，簡稱邊際成本。稱為當產量為時的邊際成本。其經濟意義為：當產量達到時，如果增減一個單位產品，則成本相應增減個單位。1.邊際成本設收益函數可導（其中表示收益，表示商品銷售量），則其邊際函數稱為邊際收益函數，簡稱邊際收益。稱為當商品銷售量為時的邊際收益。

經濟意義：銷售量達到時，如果銷售量增減一個單位產品，則收益相應增減個單位。2.邊際收入設利潤函數可導，則其邊際函數稱為邊際利潤。稱為當產量為時的邊際利潤。

經濟意義：當產量達到時，如果增減一個單位產品，則利潤相應增減個單位。3.邊際利潤若供給函數在點處可導（其中為供給量，為價格），則其邊際函數稱為邊際供給函數。簡稱邊際供給。4.邊際供給設總成本函數（元），求：⑴邊際成本函數；⑵生產50個單位時的平均單位成本，和邊際成本值，并解釋后者的經濟意義。⑴邊際成本函數為⑵時的平均單位成本為例1:設總成本函數（元），求：⑴邊際成本函數；⑵生產50個單位時的平均單位成本，和邊際成本值，并解釋后者的經濟意義。⑵時的邊際成本為經濟意義：當生產達到50個單位產品時，如果再多生產1個產品所最加的成本為17.5元。例1

某工廠日產能力最高為1000噸，每日產品的總成本C（元）是日產量x（噸）的函數：，求當日產量為100噸時的邊際成本，并解釋經濟意義。答案：邊際成本：經濟意義是：當產量是100噸時，每增加1噸產量，成本增加9.5元。課堂練習設函數在點處可導，稱極限為函數的彈性函數，記為，即

3.5.2彈性定義:

在點處，彈性函數值稱為函數在點處的彈性值，簡稱彈性。它表示在點處，當變動1%時，的值近似地變動。設函數，求其彈性函數以及在處的彈性。因為所以彈性函數于是，例2

設需求函數在處可導，則稱為該商品在處的需求彈性，記作或，即定義:

設供給函數在處可導，則稱為該商品在處的供給彈性，記作或，即

設銷售量是價格的函數，收益是商品價格與銷售量的乘積，即所以，收益彈性為收益彈性及其與需求彈性的關系根據收益彈性及其與需求彈性的關系可知：（1）若，則收益彈性大于０；需求變動的幅度小于價格變動的幅度；價格上漲（或下跌）１％，收益增加或減少。（2）若，則收益彈性小于０；需求變動的幅度大于價格變動的幅度；價格上漲（或下跌）１％，收益減少或增加。（3）若，則收益彈性等于０；需求變動的幅度等于價格變動的幅度；價格變動１％，收益不變。3.４.３導數在經濟分析中的應用設某商品的需求函數為，求⑴需求彈性函數；⑵時的需求彈性，并說明其經濟意義；⑶時，價格上漲1%，其總收益增加還是減少？變化的幅度是多少？⑷當取多少時，總收益最大？例:⑴需求彈性函數：因為需求函數為，總收益函數為，所以⑵當時的需求彈性解:這說明，在時，價格每上漲1%，則需求減少0.54%；而價格若下降1%,則需求增加0.54%。⑶當時的收益彈性；所以，當時，價格上漲1%，總收益增加0.46%。

⑷要使總收益最大，應有需求彈性，即得，（舍去），故當時，總收益取得最大值。

1.設某商品的供給函數為，求供給彈性函數以及時的供給彈性．

2.某產品的銷售量