第11講不等關(guān)系與一元二次不等式-拔高難度-講義

1、不等關(guān)系與一元二次不等式為什么糖水中加的糖越多越甜呢a克糖水中含有若再加m(m>0)克糖轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：a克糖水中含有b克糖(a>b>0),若再加m(m>0)克糖，則糖水更甜了，為什么？糖水的甜度取決于什么？如何證明糖越多糖水越甜呢？b分析：糖水的甜度取決于水中糖的濃度，起初的糖水濃度為a，加入m克糖后的b mb m b糖水濃度為a m ,只要證a m>a即可，怎么證呢？a b 0, m 0,b m b (b m)a (a m)b ab ma ab bm m(a b)a m a (a m)a(a m)a (a m)a.a、b、m都是正數(shù)，且a b .m 0,m a

2、 0,a 0, a b 0bmb- bmb0 .ama .-.ama解讀1、不等式的定義用不等號(hào)(，W,A,)表示不等關(guān)系的式子叫做不等式.2、關(guān)于" a b “a“b的含義不等式a b應(yīng)讀作" a小于或者等于b即理解為：a b或a b之中有一個(gè)正確，則a b正確.如：3 4正確，則3 4沒(méi)有邏輯錯(cuò)誤，因?yàn)?、4是具體的整值，“3 4” 比“3 4”更確切.從集合的角度看.如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有 (a,b)a b (a,b)a b |J (a,b)|a b .3、同號(hào)不等式和異號(hào)不等式按不等式的開(kāi)口方向分：在不等式中，如果每一個(gè)的左邊都大于右邊，或每 一個(gè)的左邊都小于右

3、邊，這樣的兩個(gè)不等式叫做同號(hào)不等式.對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b,在a b , a b , a b三種關(guān)系中，有且僅有一種關(guān) 系成立.4、兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較：(1)實(shí)數(shù)的特征任意實(shí)數(shù)的平方不小于0 ,即a R a2 0任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的兩個(gè)數(shù)一定是實(shí)數(shù).(復(fù) 數(shù)不可以比較大小，這個(gè)我們以后會(huì)學(xué)到)(2)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的兩點(diǎn)，右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大.可以看出a, b具有以下的性質(zhì)：a b 0 a b; a b 0 ab;a b 0 a b.5、比較兩數(shù)大小的方法(1)作差比較法：將兩個(gè)數(shù)做差后應(yīng)變形為：常數(shù)；常數(shù)與幾個(gè)

4、平方和的 形式；常用配方法或?qū)崝?shù)特征a2 0判斷差的符號(hào)；幾個(gè)因式積的形式，常用 因式分解法.(2)作商比較法：兩個(gè)數(shù)是同號(hào)，即作商后看是大于 1,等于1,還是小于1.(3)特殊值法(4)函數(shù)的性質(zhì)(5)分子有理化6、不等式的性質(zhì)性質(zhì)1 (對(duì)稱性)如果a b ,那么b a ;如果b a ,那么a b .性質(zhì)2 (傳遞性)如果a b,且b c,則a c .性質(zhì)3 如果a b ,則a c b c .推論1 (移項(xiàng)法則)不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符 號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊.推論2 如果a b, c d,則a c b d.說(shuō)明：同向不等式的兩邊可以分別相加，所得的不等式與原不

5、等式同向.推廣：幾個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向.性質(zhì)4 如果a b , c 0 ,則ac bc;如果a b, c 0,則ac bc .實(shí)數(shù)大小的作商比較法：當(dāng)b 0時(shí)，若a 1,且b 0,則a b;若芻1,且b 0, bb則a b .推論1如果a b 0, c d 0 ,則ac bd .推廣：幾個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向.推論 2 如果 a b 0 ,則 an bn(n N , n 1).推論3如果a b 0 ,則Vb(n N ,n 1)7、一元二次不等式的定義形如ax2 bx c 0( 0)或ax2 bx c 0( 0)

6、其中(a 0)的不等式叫做一元二次不等式.用文字語(yǔ)言表述為：一般地，含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式，叫做一元二次不等式.8、一元二次不等式的解集一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系.如下表(以a 0為例)：判別式.2/b 4ac000二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0)的圖象工 xOj 二 x 2 xyiuxi=x2 x1，兀一次方程2 .caxbx c 0(a 0)的根啟兩相異3X , x2b Jb2 4ac2根啟兩相等實(shí)根bxi x2一2a沒(méi)有實(shí)根2a(X x2)一元二次不等式的解集2,八ax bx c 0(a 0)x|x x1 或 x x2lbx x R ,且

7、x 2a實(shí)數(shù)集R2ax bx c 0(a 0)xx1x x29、不等式的解法(1)基本的不等式a 0一元“一次”不等式(解法：ax b分a。情況解之)b 0a 0一?！岸巍辈坏仁?解法：ax2 bx c 0分a 0情況而解.要注意b2 4aca 0的三種情況即0, 0, 0,最好還要聯(lián)系二次函數(shù)的圖象)(2)同解不等式 1) f(x) g(x)與 f(x) F(x) g(x) F(x)同解;2) m 0 f(x) g(x)與 mf(x) mg(x)同解;m 0 f (x) g(x)與 mf(x) mg(x)同解.1) fix) g(x)2)f (x) g(x)(3)分式不等式f (x) g(

8、x) 0f (x) g(x) 0 且 g(x) 03)器 a(a 0fyr 0 g(x)f(x) ag(x) 0)(4)無(wú)理不等式1) Jf(x) g(x)f(x) g(x) f(x)00 或 g(x)2f(x) g(x)_f(x) 02)Jf (x) g(x) g(x) 0 2 f(x) g(x)2(5)絕對(duì)值不等式1)絕對(duì)值的幾何意義:|x|是指數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離； 以xj是指數(shù)軸上x,x2兩點(diǎn)間的距離2)當(dāng) c 0 時(shí)，|ax b| c ax b c 或 ax b c,|axb|c caxbc;當(dāng) c0時(shí)，|axb|cx R , | ax b | c x.3)絕對(duì)值不等式的解法公式法

9、 |f(x)| g(x)f(x) g(x)或 f(x)g(x)| f (x) | g(x) g(x) f(x) g(x)平方法分情況討論法(6)指數(shù)不等式(af(x)ag(x)(a 0 且 a 1)1)當(dāng) a 1 時(shí),f(x) g(x)2)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，f(x) g(x)(7)對(duì)數(shù)不等式f(x) 01)當(dāng) a 1 時(shí)，g(x) 0f(x) g(x)f(x) 02)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，g(x) 0 f (x) g(x)(8)高次不等式(穿線法：)一般高次不等式f(x) 0用數(shù)軸穿根法(或稱穿線法)求解，其步驟是：1)將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；2)將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或

10、二次不可分因式之積；3)將每個(gè)因式的標(biāo)在數(shù)周上，從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線(注意重根，偶次方穿而不過(guò)，奇次方根穿又過(guò)，即所謂的奇穿偶不穿)；4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出來(lái)的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集探究1、問(wèn)題22關(guān)于x不等式x ax 6a0與普通的一元二次不等式有什么區(qū)別呢 女口何解這個(gè)不等式呢？答：它與普通一元二次不等式的區(qū)別是它還有參數(shù)，所以我們不能確定方程的兩個(gè)根的大小，解法如下原不等式可化為(x 3a)(x 2a) 0它所對(duì)應(yīng)的二次方程的兩根為-2a, 3a。當(dāng)-2a>3a,即a< 0時(shí)，原不等式的解集為x | 3a<x<-2a；當(dāng)-2a=3a,即a=

11、0時(shí)，原不等式的解集為x | x= ；當(dāng)-2a< 3a,即a>0時(shí)，原不等式的解集為x | -2a<x<3a22、如何求不等式ax 2（a 1）x 4 0的解集答：若a 0,不等式為2x 4 0 ,解得 x 2 ；22右 a 0, ax 2(a 1)x 4 a(x 2)(x -) 0 , a當(dāng)a 0時(shí)，不等式變?yōu)?x 2)(x -) 0,又Z 2,故2 x 2; aaa當(dāng)a 0時(shí)，比較2與2 : a若2 2 ,即a 1,解得：x 2或x2； aa.22(ii)若 2 ,即 0 a 1 ,解得：x 或 x 2 ; aa(iii)若 a 1, 2 -,解得 x 2 . a，

12、2）；綜上知：當(dāng)a 0時(shí)，不等式的解集為（，2）;當(dāng)a 0時(shí)，不等式的解集為（- a當(dāng)0 a 1時(shí)，不等式的解集為（歸，）；當(dāng)a 1時(shí)，不等式的解集為（，2川（2,）;當(dāng)a 1時(shí)，不等式的解集為（，2）|J（2，）.a典例精講一.選擇題(共16小題)1. (2018春？§淀區(qū)校級(jí)期中)設(shè)a, bCR,下列不等式中一定成立的是()A. a2+3>2aB. a2+b2>01C. a3+b3>a2b+ab2D. a >2?【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出.【解答】解：A:將不等式轉(zhuǎn)化為a2 - 2a+3= (a-1) 2+2>0包成立，A對(duì).B: a2+

13、b2>0, B 錯(cuò)C:將不等式轉(zhuǎn)化為 a2 (a- b) +b2 (b- a) = (a- b) (a2 - b2) = (a- b) 2 (a+b)不一定大于等于0, C錯(cuò).D:如果想要用基本不等式，需要滿足 a>0, D錯(cuò).故選：A.2. (2018?臨沂三模)已知a, bCR,0<a<b< 1,則下列不等式錯(cuò)誤的是()A. a3<b3B. 2a<2bC. log2a>log3bD. loga2>logb2【分析】指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的解法及應(yīng)用.【解答】解：A:構(gòu)造函數(shù)：f (x) =x3,二函數(shù)單調(diào)遞增，所以f (b)

14、>f (a),A對(duì).B:構(gòu)造函數(shù)：f (x) =2x,二函數(shù)單調(diào)遞增，所以f (b) >f (a), B對(duì).C構(gòu)造函數(shù)：f (x) =log2x , g (x) =log3x。.函數(shù)單調(diào)遞增且在第四象限內(nèi)g (x) 圖象在上方，所以g (b) >f (a), C錯(cuò).D：構(gòu)造函數(shù)：f (x) =logax, g (x) =logbx:函數(shù)單調(diào)遞減且在第四象限內(nèi)f (x) 圖象在上方，所以g (b) <f (a), D對(duì).故選：C.3. (2018斌清區(qū)校級(jí)模擬)設(shè)a=3 b=卷c=33,則()A. b>a>c B. c>a>b C. a>b&

15、gt;cD. b>c>a【分析】運(yùn)用幕函數(shù)y=x3在(0, +8)是單調(diào)增函數(shù)，y=3x在R上遞增，以及 ?f (x)二方的單調(diào)性，即可得到所求大小關(guān)系.【解答】解：考查幕函數(shù)y=x3在(0, +oo)是單調(diào)增函數(shù)，且 介3, 73 >33,b>c；由y=3x在R上遞增，可得3兀>33,由 a=3, b= 3,可得 lna=兀 Jn3 lnb=3ln，兀考慮 f (x) =?%數(shù) f '(x) =1筍? ?由x>e可得f '(x) <0,即f (x)遞減，可得f (3) >f (度, 即有等? ?即為九ln331n，兀貝 a>

16、; b> c,故選：C.4. (2016曲昌二模)已知函數(shù)y=f (x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且當(dāng)x (-00,0)時(shí)，f (x) +xf '(x) <0 成立(其中 f'(x)是 f (x)的導(dǎo)函數(shù))，若 a= (30.3) ?f (30.3), b= (logt3) ?f (log3, c= (log)?f (log)，貝U a, 99b, c的大小關(guān)系是()A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b【分析】由當(dāng)xC (-°°, 0)時(shí)不等式f (x) +xf &

17、#39;(x) <0成立"知xf (x)是1減函數(shù)，要得到a, b, c的大小關(guān)系，只要比較30.3, ?喇?？?大小即可.【解答】解：二.當(dāng)xC (-8, 0)時(shí)不等式f (x) +xf '(x) <0成立即：(xf (x) <0,xf (x)在 (-°0, 0)上是減函數(shù).又函數(shù)y=f (x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0)對(duì)稱，函數(shù)y=f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0, 0)對(duì)稱，函數(shù)y=f (x)是定義在R上的奇函數(shù).xf (x)是定義在R上的偶函數(shù)xf (x)在 (0, +oo)上是增函數(shù).1又 ; 30.3> 1 >?0> ?承

18、? 2,2= - ?煙0.3> 1 >?3?). 311. ( 一 ?f (一 ?9?” 30.3?f (30.3) > (?f (?1 1即(?f (?> 30.3?f (30.3) > (?f (?即：c> a> b故選：C.5. (2015在海學(xué)業(yè)考試)對(duì)于任意實(shí)數(shù) a、b, (a- b) 2kab均成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍是()A. - 4, 0B. -4, 0C.(，0D. (-oo, -4 U0, +oo)【分析】化簡(jiǎn)可得a2+b2> (2+k) ab恒成立，從而可得-2<2+k<2.【解答】解：(a b) 2>k

19、ab,a?+b2> kab+2ab,即 a2+b2> (2+k) ab恒成立,故-202+k02,故 kC - 4, 0,故選：B.6. (2015春？哥州校級(jí)期末)設(shè)a、b、c為實(shí)數(shù)，4a- 2b+c>0, a+b+c<0,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()A, b2< acB. b2>acC. b2>ac且 a>0 D. b2>ac且 a<0【分析】當(dāng)a=0時(shí)，則由題意可得bw0,則b2>ac=0成立，若a*0,則對(duì)于二 次函數(shù)f (x) =ax2-bx+c,由f (2) >0, f ( - 1) <0,可得該函數(shù)圖象

20、與x 軸的交點(diǎn)必然有兩個(gè)，即判別式b2 -4ac>0,但二次函數(shù)的開(kāi)口方向不確定.【解答解：若a=0,則由題意可得bw0,則b2>ac=0.若 aw0,則對(duì)于二次函數(shù) f (x) =ax2- bx+c,由 f (2) >0, f (-1) <0,所以當(dāng)a不等于0的時(shí)候，該函數(shù)為二次函數(shù)，該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)必然有 兩個(gè)，即判別式b2 -4ac> 0,故b2>ac,但二次函數(shù)的開(kāi)口方向不確定，故選：B.7. （2014春?+堰期末）某同學(xué)準(zhǔn)備利用暑假到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，商場(chǎng)向他提 供了三種付酬方案：第一種，每一天支付 50元；第二種，第一天付20元， 第二天

21、付30元，第三天付40元，依此類推；第三種，第一天付0.1元，以后 每天比前一天翻一番（即變?yōu)榍耙惶斓?2倍），對(duì)于選哪一種付款方案下列結(jié) 論中錯(cuò)誤的是（）A.打工不足5大選第一種B .打工10天選第二種C .打工兩個(gè)星期選第三種D.打工滿一星期但不足20天就選第二種【分析】由題意可知，三種方案對(duì)應(yīng)著三種不同的函數(shù)解析式，第一種報(bào)酬是大數(shù)的一次函數(shù)，第二種可以用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和列式，第三種由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和列式，然后通過(guò)分別向三個(gè)函數(shù)解析式中代值檢驗(yàn)即可得到答案.【解答】解：記打n天工三種方案所得報(bào)酬分別是 Sn, Tn, Hn,一c2?1貝1?語(yǔ)=50? ?= 15?+ 5?, ?=n=

22、5 時(shí)，Sn=250, Tn=200, Hn=3.1n=10 時(shí)，Sn=500, Tn=650, Hn=102.4n=7 時(shí)，Sn=350, Tn=350, Hn=12.7n=14 時(shí) Sn=700, Tn=1190, Hn=1638.4比較以上數(shù)據(jù)可知前三個(gè)選項(xiàng)正確.故選：D.?8. （2013?1興模擬）已知0<?2；則下列命題正確的是（）A .若 v?cM?> ? / ?11B. 右 v?K ? ?11C =T ?圖?>V?> ?11D =T ? ?A/? ?【分析】利用已知條件，通過(guò)不等式的基本性質(zhì)利用放縮法判斷選項(xiàng)正誤即可【解答】解：因?yàn)?<?2?然后通

23、石 募?？ 羲?？因?yàn)閟inx>sin2x,所以？?？?> ?縱以A, B不正確;? 一 1 一 ,1 一 一，?？?？?？? ?因?yàn)?<?石 2?若T?募?？?石不?3inx<M?,?M?N所以D正確.C不正確;故選：D.? 2?+ ?艮09. （2013和州模擬）若非零實(shí)數(shù)x, y, z滿足，則有（）4?+ 4?+ ? 0A . y2>xz 且 x>0B. y2>xzC. y2>xz 且 x<0D. y2<xz? 2?+ ? 0【分析】本選擇題利用取特殊值求解.取z=2,畫出滿足,表示4?+ 4?+ ? 0的平面區(qū)域，畫出拋物線y

24、2=2x,觀察圖形，結(jié)合陰影部分平面區(qū)域中的點(diǎn)（x, y）都滿足y2>2x,但x的取值有正有負(fù)，對(duì)照選項(xiàng)即可選出正確答案.【解答】解：取z=2,? 2?+ ?0畫出滿足,表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分.4?+ 4?+ ? ?0畫出拋物線y2=2x,觀察圖形知： 陰影部分平面區(qū)域中的點(diǎn)（x, v）都滿足y2>2x,但x的取值有正有負(fù).對(duì)照選項(xiàng)知B正確.故選：B.10. （2017秋?B鄲期末）不等式x2+x-6>0的解集為（）A. x|3< x<2B. x|x<3 或 x>2C. x|x>2D. x| x< -3【分析】根據(jù)題意，分析可得方程x

25、2+x-6=0的兩根，結(jié)合一元二次不等式的解 法分析可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，不等式x2+x-6>0? （x+3） （x-2） >0貝U方程x2+x 6=0的兩根為2和3,故不等式x2+x-6> 0的解集為x|x< - 3或x>2;故選：B.11.（2018春劑州期末）若關(guān)于x的不等式ax2+bx1>0的解集是x 1<x<2, 則不等式bx2+ax-1<0的解集是（）A. ?卜 1<?|B. x|x< 1 或?>2C. ?卜 2<? ? 1D. ?|? - 2或 x>133【分析】先由不等式的解集與不等式

26、之間的關(guān)系，得出 1和2是關(guān)于x的方程 ax2+bx - 1=0的兩根，由韋達(dá)定理可求出 a和b的值，再代入不等式bx2+ax -1<0,解出該不等式即可得出答案.【解答】解：由題意可知，1和2是關(guān)于x的方程ax2+bx-1=0的兩實(shí)根，由韋一 ？-1 + 2 = - ?達(dá)定理可得:?1 ?2 =-1 -2?解得?=一 3 '?=- 2即 3x2 x 2 < 0,解得-3所以，不等式 bx2+ax-1<0,即為3?- 2 ?- K0,<?1 ,故選：C.12. (2017秋汛集區(qū)校級(jí)期中)已知不等式(a2- 1) x2- (a-1) x-1<0的解集為R,

27、求實(shí)數(shù)a的取值范圍()A. (- 5, 1)B.(-3,155C. (-00, - |) U 1, +oo)D. (-OO, - 3) U (1, +OO)55【分析】討論二次項(xiàng)系數(shù)a2-1=0和a2-1*0時(shí)，利用判別式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：令a2 - 1=0,解得a=± 1,當(dāng)a=1時(shí)，不等式化為-1<0,解得x R;當(dāng) a2- 1 W0 時(shí)，應(yīng)滿足=(a 1) 2+4 (a2 1) =5a2 2a 3<0,3且a2-1<0,解得-5<a<1,此時(shí)不等式的解集為xCR.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<a<1,即(-3, 1.55

28、故選：B.13. (2017秋攏巖期中)已知二次函數(shù)f (x) =ax2+2bx+1 (a>0),若方程f (x)=x的根x1與x2滿足| x1| < 1, | x1 - x2| =2,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A. 2- - 1 或?艮7B. ? - 1 或?> "46612一 一 1 ,、11一 1 ,、7C. 2?=或?> ?D.?-或?>6【分析】構(gòu)造函數(shù)g (x) =f (x) x,根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系和根與系數(shù)的關(guān)系，討論0<X1<1和-1<X1<0,得出對(duì)應(yīng)X2的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義列出不等式組，求出b的取值范

29、圍.【解答】解：令g (x) =f (x) -X,21貝U g (x) =ax2+ (2b1) x+1=0,知 xix2=?>0, .xi 與 x2 同號(hào);若0<xi<1,則x2 - x1=2 (負(fù)根舍去)，3>x2=x+2>2;?(2)< 04?+ 4? 1 < 01；，即,解得b<石；?(3)>09?+ 6? 2>012若-1<x1<0,則-3<x2= - 2+x1< - 2 (正根舍去)，?(-2) <0 即 4?Q 4?+ 3<0?(-3) >0,9?Q 6?+ 4>0'

30、-11解得b>石；綜上，b的取值范圍是b<；或b>.1212|d=| ft - g工-|- 4r*T fHU 1=1=1 |.v | -二 1 FTH- 1 - iHM2I用Jfj上門.P7r心UL匕曰寸備I(三一】產(chǎn)=廣斤以1Wh (I i 4 G2I a. y1 Ji+ iit 二、-yj- > ffl1!4以司 + 4一二由 a > I 有 +1. > $2 + 貝！I一+ In > ： >綜合(i)可得的取值范圍是故本頡正確答案為d一題目來(lái)源：2017-2。14學(xué)年福建省龍巖市六校聯(lián)名 點(diǎn)二上學(xué)期期中考試：理數(shù)故選：D.14. (2015

31、?t海模擬)已知方程 b2x2- a2 k (x b) 2-a2b2=0 (b>a>0)的根大于a,則實(shí)數(shù)k滿足(一 ?A. I?？?一 一 ?B. I?K?C. I?A?一 一 ?D. I?K?【分析】等式兩邊同除a2b2后，令y=k (x-b),原式化簡(jiǎn)為雙曲線和直線交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，解答即可.?【解答】解：令y=k （x-b）,原方程轉(zhuǎn)化為 癡-海=1 .整個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)（b, 0）的直線與實(shí)軸在x軸上的雙曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)要大于a的問(wèn)題.直線過(guò)（b, 0）點(diǎn),所以只需要保證直線和右支相交，而與左支不相交即可.觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)兩條漸近線的斜率是臨界情況.?的兩個(gè)

32、實(shí)根x1、X2酒足0-J X2>1,則砂取值范圍為（.一 1_ .1.A. (-2, -2)B. (-2, 2)C. ( - 1, -2) D.(1.i, 2)【分析】將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用一元二次方程根的發(fā)布，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m, n的次不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可得到結(jié)論.【解答】 解：設(shè) f (x) =x2+ (m+1) x+m+n+1,關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程x2+ （m+1） x+m+n+1=0的兩個(gè)實(shí)根xi、x2滿足0<xi<1,x2>1 ,?(0)> 0，?(1)< 0?+ ?+ 1>0故選：A.即,作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,2?+ ?

33、+ 3<0?設(shè)k=?則k的幾何意義為過(guò)原點(diǎn)的直線的斜率,?+ ?+ 1 = 02?+ ?+ 3 = 0'?= -211解得?= 2 ,即A ( - 2, 1),此時(shí)OA的斜率k=-2-=直線2m+n+3=0的斜率k=-2,1故-2< k<- 2,16. （2012秋研縣期中）若方程 mx2+ （m+1） x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. m>0B. - 1<m<13C. - l<m<0或 0<m<1D.不確定3【分析】由題意可得 mw0,且=（m+1） 2-4m2>0,由此解得m的范圍.【解答】

34、解：由于方程mx2+ （m+1） x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,故有 mw0,且=（m+1） 2- 4m2>0,解得-<m<1,3一1綜合可得-<m<0或0Vm<1,3故選：B.二.填空題（共4小題）17. （2014 春？采州市校級(jí)月考）已知 x>0, y>0, a=x+y, b=V?7- ?P?2, c= V?若a, b,c能作為三角形的三邊長(zhǎng)，則正實(shí)數(shù)人的范圍是 1日3 .【分析】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊即可得出.【解答】解：. x>0, y>0, a=x+y, b=M ?2 ?,a2 - b2=3xy >0, a

35、> b.a, b, c能作為三角形的三邊長(zhǎng)，b+c> a 且 a+b>c,即，？ ？?？+ ?7?x+y, ?+ ?+? > ?由？?+ M?2 ?>?可得左邊 > 2 V?i? V?=3?上 3.由，？ ？?？ + ?/?x+y,?+?-?+?3 a?二 A= :力?+?然?-?+?'?+ ?+ V?- ? >3?A 1.綜上可得：1<京3.故答案為：1右3.18. (2014?折江模擬)若不存在整數(shù)x使不等式(kx-k2-4) (x-4) <0成立， 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 1&k&4 .【分析】設(shè)原不等式的解集為

36、A,然后分k大于0且不等于2, k等于2,小于0 和等于0四種情況考慮，當(dāng)k等于0時(shí)，代入不等式得到關(guān)于x的一元一次 不等式，求出不等式的解集即為原不等式的解集；當(dāng) k大于0且k不等于2 時(shí)，不等式兩邊除以k把不等式變形后，根據(jù)基本不等式判斷？?+§歹4的大 小即可得到原不等式的解集；當(dāng) k等于2時(shí)，代入不等式，根據(jù)完全平方式 大于0,得到x不等于4,進(jìn)而得到原不等式的解集；當(dāng)k小于0時(shí)，不等式 兩邊都除以k把不等式變形后，根據(jù) ？?+4?b于4,得到原不等式的解集，綜 上，得到原不等式的解集；【解答】解：設(shè)原不等式的解集為A,當(dāng)k=0時(shí)，則x>4,不合題意，當(dāng)k>0且k

37、*2時(shí)，原不等式化為x- ( ?+? (x-4) <0,4.?+ ?> 4,4 ?= (4, ?+?,要使不存在整數(shù)x使不等式(kx - k2- 4) (x-4) <0成立， 須?+ ?0 5,解得：10k&4;當(dāng)k=2時(shí)，A=？，合題意，當(dāng)k<0時(shí)，原不等式化為x- ( ?+ 4? (x-4) >0, .A= (-8, ?+ ? u (4, +8),不合題意，故答案為：1&k&4.19. (2012秋？公江區(qū)校級(jí)期中)設(shè)a, b,c是互不相等的正數(shù)，則在四個(gè)不等式：(1) | a- b| < | a- c|+| b c| ;(2)

38、?+?12>?+ ?/ 、 1(3) |? ?+ 叩?2;(4) y?+3- /+T&/+-2 - 3?其中包成立的有(1) (2) (4)(把你認(rèn)為正確的答案的序號(hào)都填上)【分析】本題主要考查不等式包成立的條件， 由于給出的是不完全題干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論.可運(yùn)用排除法.【解答】解：(1) ： | a b| =| a c+c b| < | a- c|+| c b| =| a- c|+| b c| ,故(1)包成立(2):由于由于函數(shù)f (x) =x+?(0, 1單調(diào)遞減，在1, +°°)單調(diào)遞增11當(dāng) a> 1 時(shí)，a2>a

39、> 1, f (a2) >f (a)即，a2+?>a+?當(dāng) 0<a< 1, 0<a2<a< 1, f (a2) >f (a)即 a2+j>a+.?故(2)恒成立;(3):若 a- b= - 1,(4):由于儲(chǔ)?+ 3 -成立.故答案為 (1) (2)則該不等式不成立，故(3)不包成立；22一 一 一儲(chǔ)?+ 1 =彳 儲(chǔ)?+ 2-儲(chǔ)？故 C 包3?+3+/?+1，?？+2+3？(4)20. (2016春滁州期中)函數(shù)y=sin (2x-)，-<x0一的值域?yàn)锳,關(guān)于x的 642方程x2+ax+1=0的一根在(0, 1)內(nèi)，另一根在

40、(1, 2)內(nèi)，a的取值集合為B, WJ A U B=(-2.5, - 2) Up 1.【分析】分別求出集合A, B,再求出AUB.【解答】解：.予x<? ./2x-?<5?, 42366-< sin (2x - -) < 1,A=1.262 J.于x的方程x2+ax+1=0的一根在(0, 1)內(nèi)，另一根在(1, 2)內(nèi),1 + ?+ K0, . - -2.5<a< - 2, .B=(-2.5, -2).4+ 2?+ 1>0.AUB= ( 2.5, 2)故答案為（-2.5, - 2）一 1u2, 1 .1%, 1 .三.解答題（共3小題）21. （20

41、17碇寧模才H）若 a>0, b>0, 4a+b=ab.（I）求a+b的最小值；（I）當(dāng)a+b取得最小值時(shí)，a, b的值滿足不等式|x-a|+| x- b| A2-2t對(duì)任意的xCR恒成立，求t的取值范圍.【分析】（I）利用”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求 a+b的最小值;（I）利用絕對(duì)值不等式|x-a|+| x- b| >| a- b| =3,因?yàn)闈M足不等式|x-a|+| x-b|t2-2t對(duì)任意的xCR恒成立，所以3>t2-2t,即可求t的取值范圍.【解答】解：（I）因?yàn)?a+b=ab,2+ L=1，? ?所以 a+b=（a+b）（4?+ 1? =5+4?+?>

42、;5+4=9，4? ?當(dāng)且僅當(dāng)不=二W,即b=2a時(shí)，a+b有最小值9,由4a+b=ab,可求彳#此時(shí)a=3, ? ?b=6;(I) |x-a|+| x-b| >|a-b| =3,因?yàn)闈M足不等式 | x 一 a|+| x b|t2 2t 對(duì)任意的xCR包成立，所以3>t2-2t,解得t - 1, 3.22. （2017秋？&陽(yáng)期中）已知方程 x2+2 （a+2） x+a2- 1=0.（1）當(dāng)該方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(2)當(dāng)該方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【分析】(1)當(dāng)方程有兩個(gè)負(fù)根時(shí)，利用判別式 4。和根與系數(shù)的關(guān)系求出a的取值范圍；

43、(2)根據(jù)方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根時(shí)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)滿足f (0) <0,由此求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：方程x2+2 (a+2) x+a2-1=0的判別式為 =4 (a+2) 2-4 (a2-1) =16a+20,當(dāng)=16a+2010時(shí)，設(shè)方程x2+2 (a+2) x+a2- 1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根為xi、X2,貝U x1+x2= 2 (a+2), x1x2=a2 1 ；(1) ;方程 x2+2 (a+2) x+a2-1=0 有兩個(gè)負(fù)根，= 16?+ 20 >0?+? = -2(? + 2) <0,?= ?- 1 >05 ?>> -4解得？?> - 2

44、, ?> 1 或?支-1»5即 a> 1 或4'<a< 1,5實(shí)數(shù)a的取值沱圍是-,-1) U (1, +8)；4(2) ;方程x2+2 (a+2) x+a2 - 1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,對(duì)應(yīng)二次函數(shù)滿足f (0) =a2- 1 <0,解得-1 < a< 1,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1, 1).23. (2017秋？1f遙縣校級(jí)月考)已知全集 U=R,集合A=x|y=log2 (11-x2) >1, B=x| x2x 6>0 , M=x| x2+bx+c> 0.(1)求 APB;(2)若？uM=AAB,求 b、c

45、的值.(3)若x2+bx+c=0一個(gè)根在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求z= -2b+c的取值范圍.【分析】(1)解對(duì)數(shù)不等式，求得A,解一元二次不等式，求得B,可得AH B.(2)由題意可得 M=x|x0 - 3或x> 2 , 3和2是x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí) 數(shù)根，利用韋達(dá)定理求得b、c的值.(3)設(shè)f (x) =x2+bx+c,則由題意求得(b, c)的范圍，畫出可行域，利用簡(jiǎn) 單的線性規(guī)劃問(wèn)題，求得z=-2b+c的取值范圍.【解答】解：(1)全集 U=R,集合 A=x|y=log2(11 -x2) >1=x| 11-x2>2=x|-3<x&l

46、t;3,B=x| x2-x-6>0=x|x< -2,或 x>3, AAB=x| -3<x< -2.(2) V ?uM=A n B=x| - 3<x< - 2 ,.M-IxIxW 3或 x> 2 ,故-3和-2是x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，. .3+( - 2) =-b, .b=5, 3?( 2) =c=6,即 b=5, c=6.(3)若x2+bx+c=0一個(gè)根在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，令f (x) =x2+bx+c,?(0)= ?艮0?0則？?(1)= ?+?+ 1<0 ,即 ？?+?+ 1<0 ,表示的區(qū)

47、域如圖陰影部分所示， ?(2)= 2?+ ?+ 4>0 2?+ ? 4>0z= - 2b+c,即c=2b+z,表示一組斜率等于2的平行直線，故當(dāng)直線2b-c+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (-1, 0)時(shí)，z取得最小值為2,當(dāng)直線2b-c+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (-3, 2)時(shí)，z取得最大值為8,的取值范圍為（2, 8）.歸納總結(jié)1、比較兩個(gè)數(shù)的大?。?）作差法作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小可歸納為作差 一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論.其中變 形是關(guān)鍵，一般變形越徹底越有利于下一步的判斷，常用知識(shí)有因式分解，配方， 通分，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等，另外還要注意分類討論.（2）作商法對(duì)于兩個(gè)正數(shù)的大小比較，除直接作差法外，還可以用作商法等.用作商法 比較時(shí)，為了判斷商與1的大小，通常進(jìn)行幕的運(yùn)算，分子（分母）有理化.對(duì)數(shù) 換底等變形方法一般地，幕的大小比較可先考慮作商法，根式的大小比較可先考 慮比較它們的平方.另外，還要注意對(duì)字母的討論.（3）兩數(shù)（式）大小比較的常用方法作差比較法作商比較法乘力比較法依據(jù)a-b>0? a>ba-b<0? a<bab=0? a=b一.一a 一a>0, b>0且二