勾股定理中的動點題

1、勾股定理中的動點題動點題是近年來中考的的一個熱點問題，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變，首先根據(jù)題意理清題目中兩個變量X、Y的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照圖形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個自變量的表達(dá)式表達(dá)出來，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識解出。第三，確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖象。 這類題目難度較大從數(shù)學(xué)知識點來看，一般考察幾何圖像的判定和性質(zhì)（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數(shù)和方程的知識等綜合性很強. 從數(shù)學(xué)思想方法看有：數(shù)形結(jié)合的思想方法，轉(zhuǎn)化的思想方法

2、，分類討論的思想方法，方程的數(shù)學(xué)，函數(shù)的思想方法等關(guān)鍵:動點中的分類討論：抓住運動中的關(guān)鍵點，動中求靜.1、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=4，A=120°動點P、E、M分別從B、A、D三點同時出發(fā)，其中點P沿BA向終點A運動，點E沿AD向終點D運動，點M沿DC向終點C運動，且它們的速度都為每秒2個單位連接PE、PM、EM，設(shè)動點P、E、M運動時間為t（單位：秒），PEM的面積為S（1）判斷PAE與EDM是否全等，說明理由；（2）連接BD，求證：EPMABD；（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出PEM的面積的最小值考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三

3、角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）PAEEDM，理由如下：根據(jù)題意，得BP=AE=DM=2t，AB=AD=DC=4，AP=DE=42t（1分）在梯形ABCD中，AB=DC，PAE=EDM；（2分） 又AP=DE，AE=DM， PAEEDM（3分）（2）證明：PAEEDM， PE=EM，1=2（4分）3+2=1+BAD， 3=BAD；（5分）AB=AD，；（6分） EPMABD（7分）（3）過B點作BFAD，交DA的延長線于F，過P點作PGAD交于G；在RtAFB中，4=180°BAD=180°120°=60°，BF=ABsin4=4sin60&

4、#176;=SABD= （8分）在RtAPG中，PG=APsin4=（42t）sin60°= （2t） AG=APcos4=（42t）cos60°=2t，GE=AG+AE=2t+2t=2+tPE2= PG2+ GE2 （2t）2+（2+t）2=4t28t+16 EPMABD， = （9分）SEPM=4 ×=；S與t的函數(shù)關(guān)系式為S= （0t2）（10分）即S=當(dāng)t=1，S有最小值，最小值為 （12分）另一解法（略解）在RtAPG中，PG=APsin4=（42t）sin60°=（2t）AG=APcos4=（42t）cos60°=2t在RtMFD中

5、，F(xiàn)M=DMsinMDF=2tsin60°=，DF=DMcosMDF=2tcos60°=tGF=AG+AD+DF=2t+4+t=6，GE=AG+AE=2t+2t=2+t，EF=ED+DF=42t+t=4t；SEPM=S梯形PGFMSPEGSEFM=（0t2） 2、（2010湘潭）如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，D=90°，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設(shè)運動時間為t秒（0t5）（1）求證：ACDBAC；（2）求DC的長；（3）設(shè)四邊形AFEC

6、的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最小值考點：二次函數(shù)的最值；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。解答：解：（1）CDAB，BAC=DCA（1分）又ACBC，ACB=90°，D=ACB=90°，（2分）ACDBAC（3分）（2） 4分 ACDBAC 5分即 解得： 6分（3） 過點E作AB的垂線，垂足為G， ACBEGB 7分 即 故 8分 = 故當(dāng)t=時，y的最小值為193、（2007河北）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=50，AD=75，BC=135點P從點B出發(fā)沿折線段BAADDC以每秒5個單位長的速度向點C勻速運動；點Q從點C出發(fā)沿線段C

7、B方向以每秒3個單位長的速度勻速運動，過點Q向上作射線QKBC，交折線段CDDAAB于點E點P、Q同時開始運動，當(dāng)點P與點C重合時停止運動，點Q也隨之停止設(shè)點P、Q運動的時間是t秒（t0）（1）當(dāng)點P到達(dá)終點C時，求t的值，并指出此時BQ的長；（2）當(dāng)點P運動到AD上時，t為何值能使PQDC；（3）設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運動到CD、DA上時，S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）（4）PQE能否成為直角三角形？若能，寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由考點：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定。解：（1）t =（50755

8、0）÷5=35（秒）時，點P到達(dá)終點C（1分）此時，QC=35×3=105，BQ的長為135105=30（2分）（2）如圖8，若PQDC，又ADBC，則四邊形PQCD為平行四邊形，從而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t得50755t=3t，解得t=經(jīng)檢驗，當(dāng)t=時，有PQDC（4分）（3）當(dāng)點E在CD上運動時，如圖9分別過點A、D作AFBC于點F，DHBC于點H，則四邊形ADHF為矩形，且ABFDCH，從而FH= AD=75，于是BF=CH=30DH=AF=40又QC=3t，從而QE=QC·tanC=3t·=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=S

9、QCE =QE·QC=6t2；（6分）當(dāng)點E在DA上運動時，如圖8過點D作DHBC于點H，由知DH=40，CH=30，又QC=3t，從而ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE =(EDQC)DH =120t600（8分）（4）PQE能成為直角三角形（9分）當(dāng)PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0t25且t或t=35（12分）（注：（4）問中沒有答出t或t=35者各扣1分，其余寫法酌情給分）下面是第（4）問的解法，僅供教師參考：當(dāng)點P在BA（包括點A）上，即0t10時，如圖9過點P作PGBC于點G ，則PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四邊

10、形PGQE為矩形，此時PQE總能成為直角三角形當(dāng)點P、E都在AD（不包括點A但包括點D）上，即10t25時，如圖8由QKBC和ADBC可知，此時，PQE為直角三角形，但點P、E不能重合，即5t503t3075，解得t當(dāng)點P在DC上（不包括點D但包括點C），即25t35時，如圖10由ED25×330=45，可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故EPQ不會是直角由PEQDEQ，可知PEQ一定是銳角對于PQE，PQECQE，只有當(dāng)點P與C重合，即t=35時，如圖11，PQE=90°，PQE為直角三角形綜上所述，當(dāng)PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0t25且t或t=354、

11、（2009青島）如圖，在梯形ABCD中，點由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交于Q，連接PE若設(shè)運動時間為（s）（）解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由（4）連接，在上述運動過程中，五邊形的面積是否發(fā)生變化？說明理由考點：平行線的判定；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。解：（1） 而， ， 當(dāng) 2分（2）平行且等于，四邊形是平行四邊形 ， 過B作，交于，過作，交于

12、， 又， ， ， 6分（3）若，則有， 解得（4）在和中， 在運動過程中，五邊形的面積不變 12分5、如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm點P由點C出發(fā)沿CA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s，且與AC交于Q點，連接PE，PF當(dāng)點P與點Q相遇時，所有運動停止若設(shè)運動時間為t（s）（1）求AB的長度；（2）當(dāng)PECD時，求出t的值；（3）設(shè)PEF的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；如圖2，當(dāng)PEF的外接圓圓心O恰在EF的中點時，則t的值是多少？（直接寫出答案）考點：相似

13、三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形；三角形的外接圓與外心。解：（1）過A作AMBC于M，則四邊形AMCD是矩形；AD=MC=9cm，AM=CD=12cm；RtABM中，AM=12cm，BM=BCMC=6cm；由勾股定理，得：AB=6cm（只寫答案給1分）（3分）（2）D=90°，AD=9cm，CD=12cm，AC=15cmAP=15t 當(dāng)PECD時AEPADC= 即 解得 （符合題意） 當(dāng)PECD時，t=45/8（3）過點E，F(xiàn)作EGAC于G，F(xiàn)HAC于H因為AC=BC；EFAB易證AQ=AE=t（1分）在RTADC中，sinDAC=DC/AC=1

14、2/15 EG=AE×sinDAC=12/15t；ADBC ACB =DAC FH=CF×sinACB=CF×sinDAC=12/15(15-t)=12-12/15tPQ=15-2t EG+FH=12SPEF=SPQE+SPQF=+= = 12t+90；易知：AE=CP=t，AP=CF=CQ=15t，EAP=FCP，AEPCPF，EP=PF；EF是O的直徑 EPF=90°；EPF是等腰直角三角形；易知EF=AB=6cm；S=1/2×6×3=45cm2；代入的函數(shù)關(guān)系式，得：12t+90=45，解得t=（3分）點評：此題考查了直角梯形的

15、性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理、等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力 6、如圖，在直角梯形中OABC，已知B、C兩點的坐標(biāo)分別為B（8，6）、C（10，0），動點M由原點O出發(fā)沿OB方向勻速運動，速度為1單位/秒；同時，線段DE由CB出發(fā)沿BA方向勻速運動，速度為1單位/秒，交OB于點N，連接DM若設(shè)運動時間為t（s）（0t8）（1）當(dāng)t為何值時，以B、D、M為頂點的三角形OAB與相似？（2）設(shè)DMN的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接ME，在上述運動過程中，五邊形MECBD的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由 考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三

16、角形的判定；直角梯形。專題：綜合題；動點型；分類討論。解：（1）分類討論。 若BAOBDM，則，（1分）在直角梯形中OABC由B（8，6）、C（10，0）可知AB=8，OA=6：OB=OC=108/t=10/10-t 解得t=40/9 （2分）若BAOBMD，（3分）即8/10-t=，解得t=；（4分）所以當(dāng)t= 40/9 t=50/9，以B，D，M為頂點的三角形與OAB相似（2）過點M作MFAB于F，則BFMBAO；從而MF/6=(10-t)/10，所以MF=65/3×t，（5分）SBDM=1/2BDMF=1/2t（65/3×t），（6分）容易證BDNOBCSOBC=1/

17、2×10×6=30，SBDM / SOBC =（）2，所以SBDN=t2（7分）當(dāng)0t5時，y=SDMN=SBDMSBDN=t（6t）t2=t2+3t；當(dāng)5t8時，y=SDMN=SBDNSBDM=t2t（6t）=（8分）（3）在BDM與OME中，BD=OM=t，MBD=EOM，BM=EO=10t，所以BDMOME；（9分）從而五邊形MECBD的面積等于三角形OBC的面積，因此它是一個定值，SMECBD=30（10分）點評：此題考查的知識點有：直角梯形的性質(zhì)、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識，（2）題中一定要根據(jù)M、N的不同位置分類討論，以免漏解 7、

18、如圖，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=4，BDCD，E是BC的中點（1）求DBC的度數(shù)；（2）求BC的長；（3）點P從點B出發(fā)沿BC以每秒3個單位的速度向點C勻速運動，同時點Q從點E出發(fā)沿ED以每秒1個單位的速度向點D勻速運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動設(shè)運動時間為t（s），連接PQ當(dāng)t為何值時PEQ為等腰三角形考點：梯形；等腰三角形的判定。解：（1）設(shè)DBC=x，因為ADBC，AB=AD，所以ABD=ADB=x，四邊形ABCD為等腰梯形，BCD=2x，又BDCD， 所以x+2x=90°，即x=30°即DBC=30°（2）在RtBCD中，E

19、是BC的中點，所以DE=BE=CE又C=60°，所以CDE為等邊三角形所以DE=DC=4，即BC=2DE=8（3）若點P在BE上，因為PEQ=120°，所以PE=QE；即43t=t，解之t=1s；若P在EC上，因為PEQ=60°，所以PE=QE，即3t4=t，解之t=2s所以當(dāng)t=1s或t=2s時，PEQ是等腰三角形8、（2009樂山）如圖在梯形ABCD中，DCAB，A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，動點P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點B運動，動點Q從點B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿BCD方向向點D運動，兩個動點同時出發(fā)

20、，當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時，另一個動點也隨之停止設(shè)動點運動的時間為t秒（1）求邊BC的長；（2）當(dāng)t為何值時，PC與BQ相互平分；（3）連接PQ，設(shè)PBQ的面積為y，探求y與t的函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時，y有最大值？最大值是多少？考點：梯形；二次函數(shù)的最值。專題：分類討論。解：（1）作CEAB于E，則四邊形ADCE是矩形 又.2分在中，由勾股定理得：3分（2）要使PC與BQ相互平分由，只需保證四邊形CPBQ是平行四邊形，此時在上）由（1），得AB=4+8=12，則PB=122t即解得即秒時，與相互平分（3）當(dāng)在上，即時，作于，則即 8分= 9分當(dāng)秒時，有最大值為 10分當(dāng)在上，即時，=易知隨的

21、增大而減小故當(dāng)秒時， 有最大值為 綜上，當(dāng)時，有最大值為 12分 9、如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AD=6，BC=12，梯形ABCD的面積為36，動點P從D點出發(fā)沿DC以每秒1個單位的速度向終點C運動，動點Q從C點出發(fā)沿CB以每秒2個單位的速度向點B運動，兩點同時出發(fā)，點P到達(dá)點C時，Q點隨之停止運動（1）線段CD的長為5；（2）設(shè)P、Q運動時間為t（0t5）秒，PQ與梯形ABCD的邊DC、BC所圍成的三角形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使以P、Q、C三點為頂點的三角形是直角三角形，若有，請求出相應(yīng)時間；若沒有，請說明理由考點：梯形；一次函數(shù)綜

22、合題；平行線分線段成比例；相似三角形的判定與性質(zhì)。專題：代數(shù)幾何綜合題；存在型；分類討論。分析：（1）作AEBC，DFBC，則四邊形ADFE是矩形，ABEDCF，由勾股定理可求得CD的值；（2）過點P作PGBC于點G，則PG是PCQ的高，由平行線的性質(zhì)可求得高PG用t表示的代數(shù)式，而CQ=2t，故可求得S與t的關(guān)系式；（3）分兩種情況討論：當(dāng)PQBC時，作DEBC于E，由平行線分線段成比例可求解；當(dāng)QPCD時，可由相似三角形的性質(zhì)求解解答：解：（1）作AEBC，DFBC，垂足分為點E、F，則四邊形ADFE是矩形，EF=AD=6，AE=DF，由題意四邊形ABCD是等腰梯形，AB=CD，AEB=D

23、FC，ABEDCF，CF=BE=（BCEF）÷2=3梯形的面積為36，DF=36×2÷（AD+BC）=36×2÷（6+12）=4在RtCDF中，由勾股定理得CD=5； （2）過點P作PGBC于點G，則PG是PCQ的高，有PGDF，PG：DF=CP：CD，DP=t，CD=5，DF=4，PC=CDDPPG=，CQ=2t，SPCQ=CQPG=2t= （3）當(dāng)P、Q、C三點構(gòu)成的三角形是直角三角形時，有兩種情況：當(dāng)PQBC時，作DEBC于E， PQDE，=， t=（7分）當(dāng)QPCD時， QPC=DEC=90°，C=C，QPCDEC，=，=，t

24、=（9分）由、知：當(dāng)t=或時，P、Q、C三點構(gòu)成的三角形是直角三角形點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用了平行線分線段成比價的性質(zhì)、相似三角形的知識注意處級（3）小題要分兩種情況討論 10、菱形ABCD的邊長為24厘米，A=60°，質(zhì)點P從點A出發(fā)沿著ABBDDA作勻速運動，質(zhì)點Q從點D同時出發(fā)沿著線路DCCBBD作勻速運動（1）求BD的長；（2）已知質(zhì)點P、Q運動的速度分別為4cm/秒、5cm/秒，經(jīng)過12秒后，P、Q分別到達(dá)M、N兩點，若按角的大小進(jìn)行分類，請問AMN是哪一類三角形，并說明理由考點：菱形的性質(zhì)。專題：計算題；動點型。分析：（1）根據(jù)菱形各邊長相等和A=60°即可求證ABD為等邊三角形；（2）根據(jù)菱形的邊長和P、Q的移動速度可以求得M、N的位置，即可求得AMN的形狀解答：解：（1）菱形各邊長相等，邊長為24cm，A=60°，ABD為等邊三角形，BD=24厘米，（2）P點的移動速度為4cm/秒、Q的移動速度為5cm/秒，故12秒后P與D重合、Q點為線段BD的中點， AMN為直角三角形點評：本題考查了菱形各邊長相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形的判定，考查了等腰三角形的腰長相等的性質(zhì)，本題中正確求得M、N的位置是解題的關(guān)鍵11、如圖矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在