數(shù)學分析數(shù)項級數(shù)9-2ppt課件

1、202101059.2 9.2 正項級數(shù)正項級數(shù) 0,1 nnnaa正項級數(shù)正項級數(shù)一、特點一、特點, nS定理：定理： . ,1有有界界收收斂斂正正項項級級數(shù)數(shù)nnnSa 例例. , 012收收斂斂求求證證級級數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) nnnnSaa.lim ,lim , nnnnnnSSSS無界無界若若存在存在有界有界若若證明：證明：. 0, 02 nnnnnSauSa21nnnnSSSu nuuu 32)11()11()11(13221nnSSSSSS .11111aSSn . ,1收斂收斂有界有界的部分和的部分和 nnnnuUu, 3 , 2 ,11111 nSSSSSSnnnnnn二、收斂判別法二、

2、收斂判別法 比較法：比較法：則則時時當當設(shè)設(shè) ,0 , ,nnbaNnN .1111發(fā)散發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則若若收斂收斂收斂，則收斂，則若若nnnnnnnnbaab:分分析析,和和分分別別表表示示兩兩級級數(shù)數(shù)的的部部分分設(shè)設(shè)nnBA.nnBA 易見易見?1 有界有界有界有界收斂收斂nnnnABb. .比較法極限形式：比較法極限形式：則則如如,limlbannn ;,011同同斂斂散散與與則則若若 nnnnbal, 0 l若若,11 nnnnba 和和對兩個正項級數(shù)對兩個正項級數(shù);11收收斂斂收收斂斂則則 nnnnab, l若若.11發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散則則 nnnnab證明：證明：), 0(lim

3、 lbannn,2, 0,2llbaNnNlnn 時時當當取取 .232lbalbnnn 即即.,23 ,收收斂斂收收斂斂則則收收斂斂若若 nnnablb.,2,發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散若若 nnnablb.,0nnbaNnl 時時知知時時.,nnbaNnl 時時知知時時. . Cauchy積分判別法積分判別法,0)(,1且且遞遞減減時時設(shè)設(shè) xfx.d)(1同同斂斂散散與與無無窮窮積積分分 xxf證明：證明：)1(d)()(1 kfxxfkfkk-xxfkffSnkkknknd )()()1(212 121)1(d )( nnknSkfxxf,d)(1收斂收斂若若 xxf.)(,)1(1收收

4、斂斂 nnnffS,d)(1 發(fā)散發(fā)散若若xxf.)(,11發(fā)發(fā)散散 nnnfS 1)(nnf則無窮級數(shù)則無窮級數(shù)三、判別法的應(yīng)用：三、判別法的應(yīng)用：例例1.1.的斂散性的斂散性級數(shù)級數(shù) 11npnp解：解： 1 ,1 ,d11ppxxp發(fā)發(fā)散散收收斂斂由由. , 1 , 111 收收斂斂發(fā)發(fā)散散知知ppnnp其它方法：其它方法：. 3, 2 ,27例例例例參考教材參考教材p例例2.2.的斂散性的斂散性 2)(ln1npnn解：解：考慮考慮)(lnd)(ln1d)(ln122xxxxxpp 1 ,1 ,pp發(fā)散發(fā)散收斂收斂.)(ln12散散同樣的條件下收斂或發(fā)同樣的條件下收斂或發(fā)所以所以 np

5、nn常用于比較的級數(shù)常用于比較的級數(shù) ：等比級數(shù)等比級數(shù).1 ,1 ,1發(fā)發(fā)散散收收斂斂 rrrnn.1 ,1 ,11收收斂斂發(fā)發(fā)散散 ppnnp ,)ln(lnln1 ,)(ln2 knpnpnnnnn級級數(shù)數(shù)P例例. . 121nnn.,112發(fā)散發(fā)散 nnnan.,112發(fā)散發(fā)散 nnnan ,1sin1 nn, )11ln(12 nn ,3112 nnnn. ,1發(fā)散發(fā)散nan. ,12收收斂斂nan. ,1 發(fā)發(fā)散散nan0 ,11ln)1(1 pnnnnpn.)1()11()1(pppnnnnn .1)121ln(11lnnnnn .121pnna 211limpnnna.21 p

6、 .收收斂斂 na 1)11ln(1nnn)(2)1ln(22xxxx )(2)1ln(22xxxx 2210)11ln(1nannann且且 故收斂故收斂例例. .nnnn 112nnnnnna 32220故收斂故收斂例例. .)0(111 aann011lim nnaa時時，0211lim nnaa時時，nnnaaaa 111時時，當當發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散收斂收斂例例. . 13)1(3nnn收斂收斂,340nna 例例. . 的收斂性？的收斂性？有界，有界，設(shè)設(shè) 120nnnnanaa解：解：,Mnan 22200nManMann 故收斂故收斂例例. .)0()1()1)(1(12 xxxxxnnn解：解：nnxax 010時時，故收斂故收斂1121)1()1(101 nnnxxax時時，故收斂故收斂作業(yè)