2.5從力做的功到向量的數(shù)量積ppt課件

1、第二章 平面向量2.5 從力做的功到向量的數(shù)量積【探究新知】思索：請同學們回憶物理學中做功的含義?力做的功：W = |F|s|cos 是F與s的夾角問對一般的向量a和b，如何定義這種運算？sF向量夾角的概念： = 0 = 180OOOOOOAAAAAABBBBBBC范圍0180當 = 0時，兩向量同向；當 = 180時，兩向量反向；當 = 90時，兩向量垂直，記作ab 由于零向量的方向是不確定的，為今后方便起見，我們規(guī)定零向量可與任一向量垂直.思考與交流1.射影的概念是如何定義的？AOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab定義：|b|cos叫作向量b在a方向上的射影也叫投

2、影）. 留意：射影也是一個數(shù)量，不是向量。 當為銳角時射影為正值； 當為鈍角時射影為負值； 當為直角時射影為0； 當 = 0時射影為 |b|； 當 = 180時射影為 |b|.已知兩個向量a和b，它們的夾角為，我們把|a|b|cos叫作a與b的數(shù)量積或內(nèi)積）.記作ab 即ab = |a|b|cos . 思考與交流 2如何定義向量數(shù)量積的幾何意義？由向量數(shù)量積的幾何意義你能得到兩個向量的數(shù)量積哪些的性質(zhì)?幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上射影 |b|cos的乘積，或b的長度與a在b方向上 射影| a |cos的乘積。性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位 向量。兩個向量相等

3、時，兩向量的數(shù)量積有怎么算呢？向量長度的平方 ea = ae =|a|cos（e 是單位向量） ab ab = 0 當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = |a|b|， 特別的aa = |a|2。 cos = ab |a|b| （|a|b|0） |ab|a|b|鞏固深化，發(fā)展思維判斷下列各題正確與否：若a = 0，則對任一向量b，有ab = 0.（ ）若a 0，則對任一非零向量b，有ab 0. ( )若a 0，ab = 0，則b = 0.( )若ab = 0，則a 、b至少有一個為零.( ) 若a 0，ab = ac，則b = c.( )若ab = ac，則b = c當

4、且僅當a 0時成立.( )對任意向量a、b、c，有(ab) c a (bc).( )對任意向量a，有a2 = |a|2. ( )思考與交流思索：根據(jù)向量數(shù)量積的定義、物理意義及幾何意義，你能否驗證下列向量的數(shù)量積是否滿足下列運算定律1.交換律：ab = ba2.數(shù)乘結(jié)合律：(a) b = (ab) = a ( b)3.分配律：(a + b) c = ac + bc一定要熟練掌握并能靈活運用這幾個公式哦例題講評例1.已知a，b都是非零向量，且a + 3b與7a 5b 垂直， a 4b與7a 2b垂直，求a，b的夾角。解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 兩式相減：2ab = b2 代入或得：a2 = b2 設a、b的夾角為，則cos = ab |a|b| = 60例2.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。證明：如圖，設菱形的兩邊分別為a ，bCABDabABCD