廣東省深圳市2019屆高三第一次(2月)調(diào)研考試數(shù)學(xué)理試題(精品解析)

1、深圳市2019屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)理試題第卷一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念,即可求解?！驹斀狻坑深}意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知,所以,其共軛復(fù)數(shù)為：,故選D。【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及共軛復(fù)數(shù)的概念,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題。2.已知集合,則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題意,求得集合,再根據(jù)集合的交集的運(yùn)算,即可求解。【

2、詳解】由題意,求得集合,所以,【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及集合的交集運(yùn)算問題,其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及集合交集的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題。3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若,則的公差為A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和題設(shè)條件,求得,進(jìn)而求解數(shù)列的公差,得到答案。【詳解】依題意,可得,解得,又,所以,所以公差,故選A。【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,合理準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解

3、能力,屬于基礎(chǔ)題。4.己知某產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系如下表：（單位：萬(wàn)元）01234（單位：萬(wàn)元）1015203035若求得其線性回歸方程為,則預(yù)計(jì)當(dāng)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)的銷售額為A. 42萬(wàn)元 B. 45萬(wàn)元 C. 48萬(wàn)元 D. 51萬(wàn)元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),求得樣本點(diǎn)中心,代入回歸直線的方程,求得的值,得到回歸直線的方程,即可求解?！驹斀狻坑深}意,根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),可得,即回歸方程經(jīng)過樣本點(diǎn)中心,又由線性回歸方程為,所以,解得,所以,當(dāng)時(shí),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的應(yīng)用問題,其中解答中熟記回歸直線方程的性質(zhì),求得回歸直線的方程是解答的關(guān)鍵,著

4、重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題。5.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為A. 72 B. 64 C. 48 D. 32【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為3的正四棱錐,利用體積公式,即可求解?！驹斀狻坑深}意,幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形,高為5的正四棱柱,挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為3的正四棱錐,所以幾何體的體積為,故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算,在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),要根據(jù)

5、三視圖的規(guī)則,空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)公式求解。6.己知直線是函數(shù)與的圖象的一條對(duì)稱軸,為了得到函數(shù)的圖象,可把函數(shù)的圖象A. 向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B. 向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D. 向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【解析】【分析】依題意,得,解得,所以函數(shù),再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換,即可求解,得到答案。【詳解】依題意,直線是函數(shù)與的圖象的一條對(duì)稱軸,則,即,解得,因?yàn)?所以,所以函數(shù),將的圖象向

6、左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得,選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及三角函數(shù)的圖象變換,其中解答中正確李穎三角函數(shù)的性質(zhì),得出三角函數(shù)的解析式,熟記三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題。7.在中,為的中點(diǎn),則A. -2 B. -1 C. 0 D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算得 ,再利用和數(shù)量積的運(yùn)算,即可求解?！驹斀狻坑深}意,在中,為的中點(diǎn), 所以 【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算,其中解答中熟記平面向量的線性表示和數(shù)量積的運(yùn)算公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題。8.古希臘雅典學(xué)派

7、算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論,利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點(diǎn),具體方法如下：（l）取線段,過點(diǎn)作的垂線,并 用圓規(guī)在垂線上截取,連接；（2）以為圓心,為半徑畫弧,交 于點(diǎn)；（3）以為圓心,以為半徑畫弧,交于點(diǎn)則點(diǎn)即為線段的黃金分割點(diǎn)若在線段上隨機(jī)取一點(diǎn)F,則使得的概率約為 （參考數(shù)據(jù)：）A. 0.236 B. 0.382 C. 0.472 D. 0.618【答案】A【解析】【分析】由勾股定理可得,由圖可得,由長(zhǎng)度比的幾何概型可得概率為的概率為,即可求解。【詳解】由勾股定理可得,由圖可知,則,由長(zhǎng)度比的幾何概型,可得概率為的概率為,故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型及其概

8、率的計(jì)算問題,其中解答中正確理解題意,利用勾股定理求得,利用長(zhǎng)度比求解概率是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題。9.已知偶函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),且當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則使得成立的的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意,得到函數(shù)在時(shí)是減函數(shù),在函數(shù)在時(shí)是增函數(shù),且,進(jìn)而可求解不等式的解集,得到答案。【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,所以函數(shù)在時(shí)是減函數(shù),又由偶函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),所以函數(shù)在時(shí)是增函數(shù),當(dāng)時(shí),由,得,即當(dāng)時(shí),由,得,即,所以,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用,其中解答中合理應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化是解答的

9、關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題。10.已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn),以為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】通過雙曲線和圓的對(duì)稱性,將的面積轉(zhuǎn)化為的面積；利用焦點(diǎn)三角形面積公式可以建立與的關(guān)系,從而推導(dǎo)出離心率.【詳解】由題意可得圖像如下圖所示：為雙曲線的左焦點(diǎn)為圓的直徑 根據(jù)雙曲線、圓的對(duì)稱性可知：四邊形為矩形又,可得： 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求解,離心率問題的求解關(guān)鍵在于構(gòu)造出關(guān)于的齊次方程,從而配湊出離心率的形式.11.已知為球的球面上的三個(gè)定點(diǎn),為球的球面上的動(dòng)點(diǎn),記

10、三棱錐的體積為,三棱錐的體積為,若的最大值為3,則球的表面積為A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)的外接圓圓心為,其半徑為,球的半徑為,且,根據(jù)體積比求得,利用球的性質(zhì),得,再由三角形的性質(zhì),求得,利用球的表面積公式,即可求解。【詳解】由題意,設(shè)的外接圓圓心為,其半徑為,球的半徑為,且依題意可知,即,顯然,故,又由,故,球的表面積為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的表面積的計(jì)算,以及球的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理利用求得性質(zhì),求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題。12.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最小值為A. 6 B. 7

11、C. 8 D. 9【答案】A【解析】【分析】因?yàn)?兩邊同取對(duì)數(shù),可得,即,令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,由,只需,即可求解?！驹斀狻坑深}意,因?yàn)?所以,兩邊同取對(duì)數(shù),可得,令,則,當(dāng)時(shí),函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),因?yàn)?只需考慮和的大小關(guān)系,又,只需,即,即實(shí)數(shù)的最小值為6,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,以及有解問題的求解,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題第卷本卷包括必考題和選考題兩部分,第（13）題第（

12、21）題為必考題,每個(gè)試題考生都必須做答,第（22）題第（23）題為選考題,考生根據(jù)要求做答.二、填空題（每題5分,滿分20分,將答案填在答題紙上）13.設(shè)滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_【答案】3【解析】【分析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖象確定函數(shù)的最優(yōu)解,解求解目標(biāo)函數(shù)的最大值,得到答案?！驹斀狻坑深}意,作出約束條件表示的平面區(qū)域,如圖所示,目標(biāo)函數(shù),可化為直線,當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為?！军c(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求

13、”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題14.若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中的系數(shù)為_【答案】15【解析】【分析】依題意,令,求得,寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),進(jìn)而可確定展開式中的系數(shù)?！驹斀狻恳李}意,令,解得,所以,則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為：,令,得,所以的系數(shù)為。【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題,其中解答中利用各項(xiàng)系數(shù)的和,求解n的值,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題。15.已知點(diǎn)在軸上,點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),直線與拋物線交于, 兩點(diǎn),若點(diǎn)為線段的中點(diǎn),且,則_【答案】8【解析】【分析

14、】設(shè),又,由為的中點(diǎn),求得,直線的方程代入,得,求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo),利用拋物線的定義,即可求解?！驹斀狻吭O(shè),又,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,即,又由,則,即,直線的方程為,代入,得,設(shè),則,解得,由拋物線的定義得：,解得：?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義合理計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題。16.在下圖所示的三角形數(shù)陣中,用表示第行第個(gè)數(shù)（）,已知（）,且當(dāng)時(shí),每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和,即（,若,則正整數(shù)的最小值為_【答案】10

15、3【解析】【分析】根據(jù)條件,利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,求得數(shù)列的遞推關(guān)系式,利用累加法和數(shù)列的單調(diào)性,即可求解。【詳解】因?yàn)?所以,由題意可知,（）,（）,即,（）, ,又由 所以當(dāng)時(shí),數(shù)列顯然遞增,又易知,的最小值為103,故應(yīng)填103.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用問題,其中解答中結(jié)合數(shù)列的性質(zhì),求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng),屬于中檔試題,著重考查了分析問題和解答問題的能力。三、解答題： 解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟17.如圖,在平面四邊形中,與為其對(duì)角線,已知,且（1）若 平分,且,求的長(zhǎng)；（2）若,求的長(zhǎng)【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由對(duì)角線

16、平分,求得,進(jìn)而得到,在中,利用余弦定理,即可求得的長(zhǎng).（2）根據(jù)三角恒等變換的公式,求得,再在中,由正弦定理,即可求解。【詳解】（1）若對(duì)角線平分,即,在中,由余弦定理可得：,解得,或（舍去）,的長(zhǎng)為.（2）,又, ,在中,由正弦定理,可得,即的長(zhǎng)為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系,熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵在中,通常涉及三邊三角,知三（除已知三角外）求三,可解出三角形,當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí),運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí),運(yùn)用余弦定理求解.18.如圖,在四棱錐中,底面

17、是邊長(zhǎng)為1的菱形,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且.（1）求證：平面 ；（2） 若平面底面,且,求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）（法一）如圖,設(shè)中點(diǎn)為,連接,則有,利用線面平行的判定定理,證得平面,進(jìn)而證得平面,從而證得平面平面,即可求得平面.（法二）連接、,則有,證得,利用線面平行的判定定理,即可證得平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求解?！驹斀狻拷猓海?）證明：（法一）如圖,設(shè)中點(diǎn)為,連接,則有,平面,平面,平面,又,平面,平面,平面,又,平面平面,平面.（法二）如圖,設(shè)中點(diǎn)為,

18、為線段上一點(diǎn),且.連接、,則有,且,即為平行四邊形,平面,平面,平面.（2）平面底面,且,底面,如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取,可得,又易知平面的一個(gè)法向量,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面平行判定和平面與平面所成的角的求解問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過嚴(yán)密推理。同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.19.在平面直角坐標(biāo)系中, 橢圓

19、的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其右焦點(diǎn)為,且點(diǎn) 在橢圓上（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),直線交直線于點(diǎn), 求證：,三點(diǎn)在同一條直線上【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）（法一）由題意,求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的定義,求得,進(jìn)而求得的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（法二）設(shè)橢圓的方程為（）,列出方程組,求得的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系和向量的運(yùn)算,即可證得三點(diǎn)共線?！驹斀狻浚?）（法一）設(shè)橢圓的方程為,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由橢圓定義可知,橢圓的方程為.（法二）不妨

20、設(shè)橢圓的方程為（）,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,又點(diǎn)在橢圓上,聯(lián)立方程,解得,橢圓的方程為.（2）設(shè),直線的方程為,由方程組消去,并整理得：,直線的方程可表示為,將此方程與直線聯(lián)立,可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為, ,所以,又向量和有公共點(diǎn),故,三點(diǎn)在同一條直線上.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解,此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等。20.某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單

21、位：元）,如下圖所示：（1）將去年的消費(fèi)金額超過 3200 元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”,現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取 2 人,求至少有 1 位消費(fèi)者,其去年的消費(fèi)金額超過 4000 元的概率；（2）針對(duì)這些消費(fèi)者,該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制,詳情如下表：會(huì)員等級(jí)消費(fèi)金額普通會(huì)員2000銀卡會(huì)員2700金卡會(huì)員3200預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請(qǐng)辦理普通會(huì)員,消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理銀卡會(huì)員,消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理金卡會(huì)員. 消費(fèi)者在申請(qǐng)辦理會(huì)員時(shí),需-次性繳清相應(yīng)等級(jí)的消費(fèi)金額.該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對(duì)這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng),現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：方案

22、 1：按分層抽樣從普通會(huì)員, 銀卡會(huì)員, 金卡會(huì)員中總共抽取 25 位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì): 普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 500 元； 銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 600 元； 金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 800 元.方案 2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲,游戲規(guī)則如下：從-個(gè)裝有 3 個(gè)白球、 2 個(gè)紅球（球只有顏色不同）的箱子中, 有放回地摸三次球,每次只能摸-個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)消費(fèi)金額/元為 2,則可獲得 200 元獎(jiǎng)勵(lì)金； 若摸到紅球的總數(shù)為 3,則可獲得 300 元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加 1 次摸獎(jiǎng)游戲；每位銀卡會(huì)員均可參加 2 次摸

23、獎(jiǎng)游戲；每位金卡會(huì)員均可參加 3 次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立） .以方案 2 的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù),請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪-種方案投資較少？并說明理由.【答案】（1）（2）預(yù)計(jì)方案2投資較少.詳見解析【解析】【分析】（1）由題意,隨機(jī)變量的可能值為“”,得,即可求解。（2）根據(jù)方案1求得按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額元,又由方案2：得到的可能值為“”,求得其概率,列出分布列,求得按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額,比較得到答案?！驹斀狻浚?）設(shè)隨機(jī)抽取的2人中,去年的消費(fèi)金額超過4000元的消費(fèi)者有人,則的可能值為“0,1,2”, .（或者.（2）方案1：按分層抽樣從普通會(huì)員,銀卡會(huì)員,金卡會(huì)員中總共抽取25位“

24、幸運(yùn)之星”,則“幸運(yùn)之星”中的普通會(huì)員,銀卡會(huì)員,金卡會(huì)員的人數(shù)分別為：,按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為：元,方案2：設(shè)表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金,則的可能值為“0,200,300”,摸到紅球的概率：, ,的分布列為0200300元,按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為：元,方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額多于方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額,預(yù)計(jì)方案2投資較少.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求解,對(duì)于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值,計(jì)算得出概率,列出離散型隨機(jī)變量概率分布列,最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望,其中列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)

25、必考問題.21.已知函數(shù),其定義域?yàn)?（其中常數(shù),是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù),且,證明: .【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意,問題轉(zhuǎn)化為,令,即證,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可作出證明。【詳解】（1）易知,若,由解得,函數(shù)的遞增區(qū)間為；若,則1+0-0+極大值極小值函數(shù)的遞增區(qū)間為和；若,則,函數(shù)的遞增區(qū)間為；若,則1+0-0+極大值極小值函數(shù)的遞增區(qū)間為和；綜上,若,的遞增區(qū)間為；若,的遞增區(qū)間為和；若,函數(shù)的遞增區(qū)間為； 若,函數(shù)的遞增區(qū)間為和.（2）函數(shù)為上的增函數(shù),即,注意到,故,不妨設(shè),欲證,只需證,只需證,即證,即證,令,只需證, ,下證,即證,由熟知的不等式可知,當(dāng)時(shí),即, ,易知當(dāng)時(shí),即單調(diào)遞增,即,從而得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,以及不等式的證明,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力,對(duì)于不等式的證明問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,進(jìn)而證明；有時(shí)也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值