廣東工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)2試卷和答案-2016

1、廣東工業(yè)大學(xué)考試試卷 ( A )課程名稱: 高等代數(shù)（2） 試卷滿分 100 分考試時(shí)間: 2016 年1月 13 日 (第20 周 星期 三 )題 號(hào)一二三四五六七八九總分評(píng)卷得分評(píng)卷簽名復(fù)核得分復(fù)核簽名一、選擇題（共5題，每小題4分，總分20分）1. 設(shè)線性變換在基下的矩陣分別是和，則在同一組基下的矩陣是（ A ） A. ; B. ； C. ; D. ;2. 設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為，且矩陣，其中為可逆矩陣，則矩陣的特征多項(xiàng)式為（ D ）A. ; B. ； C. ； D. 。 3. 設(shè)是線性空間上的線性變換，則下列集合中可能不是子空間的是（ D ）A. ; B. ； C. ; D. ;4. 在

2、有限維歐氏空間中，兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過(guò)渡矩陣是（ A ）A. 正交矩陣; B. 單位陣; C. 數(shù)量矩陣; D. 對(duì)角矩陣. 5. 設(shè)矩陣，則的最小多項(xiàng)式是（ A ） A. ; B. ; C. ; D. . 學(xué) 院： 專 業(yè)： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 裝 訂 線二、填空題（共5題，每小題4分，總分20分）1. 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣是3階的且特征值為，對(duì)應(yīng)于的特征向量為，則矩陣=（ ）。2. 設(shè)3階矩陣A的特征值為,則行列式=( ), 行列式=( )。3. 已知12階方陣的所有初等因子為，則矩陣的所有不變因子為（ ）和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（ ）。4. 設(shè)三維線性空間上的線性變換在基的矩陣為, 則線性變換在

3、基下的矩陣為（ ）。5. 在線性空間中定義線性變換，則線性變換在基下的矩陣是（ ）。三、計(jì)算和證明（共5題，總分60分）1. （12分）已知在四維歐氏空間中定義的內(nèi)積為，求的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基（由基出發(fā)作標(biāo)準(zhǔn)正交化）。2. （12分）求矩陣的初等因子，并寫(xiě)出它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型。3（12分）已知 ，考慮（1）求的所有特征值以及對(duì)應(yīng)的特征向量；（2）判斷是否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣；如果能，請(qǐng)寫(xiě)出相似等式；（3）求，其中為自然數(shù)（逆矩陣不需要求出，用符號(hào)表示即可）。4. （12分） （1）設(shè) 是線性變換的兩個(gè)不同特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是的特征向量；（2）證明：如果線性空間的線性變換以中每

4、個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么是數(shù)乘變換。5. （12分）給定的兩組基 定義線性變換：（1）求出由基到基的過(guò)渡矩陣；（2）求出在基下的矩陣；（3）求出在基下的矩陣。 廣東工業(yè)大學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) ( A )課程名稱: 高等代數(shù)2 ?？荚嚂r(shí)間: 2016年 1 月 13日 (第 20 周 星期三 )一、選擇題（共5題，每小題4分，總分20分）1. A; 2. D; 3. D; 4. A; 5. A.二、填空題（共5題，每小題4分，總分20分）1. ； 2 64, 0;.3. 不變因子都為,和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 ；4. ； 5. 。三、計(jì)算題（共5題，總分60分）1.（12分） 解：記

5、，第一步正交化: (6分)第二步單位化: （6分）2. （12分）解： (用初等變換) (6分)由上面特征矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型，得出初等因子為； (3分)且矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)為 。 (3分)3.（12分） 解：（1）因?yàn)榫仃嘇的特征多項(xiàng)式為 ，則特征值為 （3分）X1,X2,X3就是特征值2的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； X4就是特征值-2的特征向量； (3分)（2）因?yàn)樘卣飨蛄縓1,X2,X3,X4線性無(wú)關(guān)，則矩陣A可以對(duì)角化，且有 ，其中。 (3分)（3）有（2），我們有。 (3分) 4. （12分）證明：(6分) (6分)5. （12分）解：（1）記由列向量組成的矩陣為，記有列向量組成的矩陣為，則從到的過(guò)