平面一般力系平衡方程的其他形式

1、第九講內(nèi)容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過平面一般力系的平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式。1.1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任取兩點(diǎn) A A、B B 及 X X 軸，如圖 4 41313 所示，可以證明平面一般力系的平衡方程可改寫成兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程的形式，即X0MA0(4-6)(4-6)MB0式中 X X 軸不與 A A、B B 兩點(diǎn)的連線垂直。證明：首先將平面一般力系向 A A 點(diǎn)簡化，一般可得到過 A A 點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。若MA0 成立，則力系只能簡化為通過 A A 點(diǎn)的合力 R

2、R 或成平衡狀態(tài)。如果MB0 又成立，說明 R R 必通過 BoBo 可見合力 R R 的作用線必為 ABAB 連線。又因 X0 成立，則RXX0,即合力 R R 在 X X 軸上的投影為零，因 ABAB 連線不垂直 X X 軸，合力 R R 亦不垂直于 X X 軸，由RX0 可推得 R0?？梢姖M足方程(4 46)的平面一般力系，若將其向 A A 點(diǎn)簡化，其主矩和主矢都等于零，從而力系必為平衡力系。13134-1affl4T4-1affl4T4 42.2.三力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個(gè)不在一直線上的點(diǎn) A A、B B、C,C,如圖 4 41414所示，則力系的平衡方程可寫為三個(gè)力

3、矩方程形式，即MA0MB0（47）MC0式中，A A、B B、C C 三點(diǎn)不在同一直線上。同上面討論一樣，若MA0 和 MB0 成立，則力系合成結(jié)果只能是通過 A A、B B 兩點(diǎn)的一個(gè)力（圖 4 41414）或者平衡。如果MC0 也成立,則合力必然通過 C C 點(diǎn)，而一個(gè)力不可能同時(shí)通過不在一直線上的三點(diǎn)，除非合力為零，MC0 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。綜上所述，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式（4-54-5）、式（4 46 6）、式（4 47 7）, ,在解題時(shí)可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無論采用哪種形式，都只能寫出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。任何第四個(gè)方

4、程都不是獨(dú)立的，但可以利用這個(gè)方程來校核計(jì)算的結(jié)果?！纠? 47 7】某屋架如圖 4-154-15（a a）所示，設(shè)左屋架及蓋瓦共重P3kN,右屋架受到風(fēng)力及荷載作用，其合力 P27kN,P2與 BCBC 夾角為 80，試求 A A、B B 支座的反力?！窘狻咳≌麄€(gè)屋架為研究對(duì)象，畫其受力圖，并選取坐標(biāo)軸 X X 軸和 Y Y軸，如圖 4-154-15（b b）所示，列出三個(gè)平衡方程X0XAP2cos700XAP2cos7070.3422.39kNMA0YB164PP2sin7012P2cos704tan304R12P2sin704耳cos70tan30B16431270.94470.3420.577165.34kNMB016YA12PP2sin704P2cos704tan3012R4P2sin704P2cos70tan30164.24kN校核YYAYBPP2sin704.245.34370.940YA說明計(jì)算無誤。【例4 48 8】梁 ACAC 用三根支座鏈桿連接，受一力 P50kN