數(shù)學(xué)專業(yè)英語(吳炯圻)

1、數(shù)學(xué)專業(yè)英語（吳炯圻）NewWords&Expressions:algebra代數(shù)學(xué)geometrical幾何的algebraic代數(shù)的identity恒等式arithmetic算術(shù),算術(shù)的measure測量，測度axiom公理numerical數(shù)值的，數(shù)字的conception概念）觀點operation運算constant常數(shù)postulate公設(shè)logicaldeduction邏輯推理proposition命題division除）除法subtraction減）減法formula公式term項）術(shù)語trigonometry三角學(xué)variable變化的）變量2.1數(shù)學(xué)、方程與比例Ma

2、thematics,EquationandRatio5Mathematicscomesfrommanssocialpractice,forexample,industrialandagriculturalproduction,commercialactivities,militaryoperationsandscientificandtechnologicalresearches.1AWhatismathematics數(shù)學(xué)來源于人類的社會實踐，比如工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，商業(yè)活動，軍事行動和科學(xué)技術(shù)研究。Andinturn,mathematicsservesthepracticeandplaysagrea

3、troleinallfields.Nomodernscientificandtechnologicalbranchescouldberegularlydevelopedwithouttheapplicationofmathematics.反過來，數(shù)學(xué)服務(wù)于實踐，并在各個領(lǐng)域中起著非常重要的作用。沒有應(yīng)用數(shù)學(xué)，任何一個現(xiàn)在的科技的分支都不能正常發(fā)展。5Fromtheearlyneedofmancametheconceptsofnumbersandforms.Then,geometrydevelopedoutofproblemsofmeasuringland,andtrigonometrycame

4、fromproblemsofsurveying.Todealwithsomemorecomplexpracticalproblems,manestablishedandthensolvedequationwithunknownnumbers,thusalgebraoccurred.很早的時候，人類的需要產(chǎn)生了數(shù)和形的概念。接著，測量土地問題形成了幾何學(xué)，測量問題產(chǎn)生了三角學(xué)。為了處理更復(fù)雜的實際問題，人類建立和解決了帶未知數(shù)的方程，從而產(chǎn)生了代數(shù)學(xué)。Before17thcentury,manconfinedhimselftotheelementarymathematics,i.e.,geome

5、try,trigonometryandalgebra,inwhichonlytheconstantsareconsidered.17世紀前，人類局限于只考慮常數(shù)的初等數(shù)學(xué)，即幾何學(xué)，三角學(xué)和代數(shù)學(xué)。6Therapiddevelopmentofindustryin17thcenturypromotedtheprogressofeconomicsandtechnologyandrequireddealingwithvariablequantities.Theleapfromconstantstovariablequantitiesbroughtabouttwonewbranchesofmathem

6、atics-analyticgeometryandcalculus,whichbelongtothehighermathematics.17世紀工業(yè)的快速發(fā)展推動了經(jīng)濟技術(shù)的進步，從而遇到需要處理變量的問題。從常量到變量的跳躍產(chǎn)生了兩個新的數(shù)學(xué)分支-解析幾何和微積分，他們都屬于高等數(shù)學(xué)。Nowtherearemanybranchesinhighermathematics,amongwhicharemathematicalanalysis,higheralgebra,differentialequations,functiontheoryandsoon.現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)里面有很多分支，其中有數(shù)學(xué)分析

7、，高等代數(shù)，微分方程，函數(shù)論等。7Mathematiciansstudyconceptionsandpropositions,Axioms,postulates,definitionsandtheoremsareallpropositions.Notationsareaspecialandpowerfultoolofmathematicsandareusedtoexpressconceptionsandpropositionsveryoften.數(shù)學(xué)家研究的是概念和命題，公理，公設(shè)，定義和定理都是命題。符號是數(shù)學(xué)中一個特殊而有用的工具，常用于表達概念和命題。Formulasfiguresand

8、chartsarefullofdifferentsymbols.SomeofthebestknownsymbolsofmathematicsaretheArabicnumerals1,2,3,4,5,6,7,8,9,0andthesignsofaddition"+”,subtraction"-”,IgI.(、/，I(，multiplicationx,division+andequality"=”.公式，圖形和圖表都是不同的符號.8Theconclusionsinmathematicsareobtainedmainlybylogicaldeductionsandco

9、mputation.Foralongperiodofthehistoryofmathematics,thecentricplaceofmathematicsmethodswasoccupiedbythelogicaldeductions.數(shù)學(xué)結(jié)論主要由邏輯推理和計算得到。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的很長時間內(nèi)，邏輯推理一直占據(jù)著數(shù)學(xué)方法的中心地位。Now,sinceelectroniccomputersaredevelopedpromptlyandusedwidely,theroleofcomputationbecomesmoreandmoreimportant.Inourtimes,computatio

10、nisnotonlyusedtodealwithalotofinformationanddata,butalsotocarryoutsomeworkthatmerelycouldbedoneearlierbylogicaldeductions,forexample,theproofofmostofgeometricaltheorems.現(xiàn)在，由于電子計算機的迅速發(fā)展和廣泛使用，計算機的地位越來越重要?，F(xiàn)在計算機不僅用于處理大量的信息和數(shù)據(jù)，還可以完成一些之前只能由邏輯推理來做的工作，例如，證明大多數(shù)的幾何定理。9回顧：1 .如果沒有運用數(shù)學(xué)，任何一個科學(xué)技術(shù)分支都不可能正常的發(fā)展。2 .符號在

11、數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用，它常用于表示概念和命題。1AWhatismathematics10Anequationisastatementoftheequalitybetweentwoequalnumbersornumbersymbols.1 BEquation等式是關(guān)于兩個數(shù)或者數(shù)的符號相等的一種描述。Equationareoftwokinds-identitiesandequationsofcondition.Anarithmeticoranalgebraicidentityisanequation.Insuchanequationeitherthetwomembersarealike,or

12、becomealikeontheperformanceoftheindicatedoperation.等式有兩種一恒等式和條件等式。算術(shù)或者代數(shù)恒等式都是等式。這種等式的兩端要么一樣，要么經(jīng)過執(zhí)行指定的運算后變成一樣。11Anidentityinvolvinglettersistrueforanysetofnumericalvaluesofthelettersinit.含有字母的恒等式對其中字母的任一組數(shù)值都成立。Anequationwhichistrueonlyforcertainvaluesofaletterinit,orforcertainsetsofrelatedvaluesoftwo

13、ormoreofitsletters,isanequationofcondition,orsimplyanequation.Thus3x-5=7istrueforx=4only;and2x-y=10istrueforx=6andy=2andformanyotherpairsofvaluesforxandy.一個等式若僅僅對其中一個字母的某些值成立，或?qū)ζ渲袃蓚€或者多個字母的若干組相關(guān)的值成立，則它是一個條件等式，簡稱方程。因此3x-5=7僅當(dāng)x=4時成立）而2x-y=0）當(dāng)x=6,y=2時成立，且對x,y的其他許多對值也成立。12Arootofanequationisanynumberornu

14、mbersymbolwhichsatisfiestheequation.Toobtaintherootorrootsofanequationiscalledsolvinganequation.方程的根是滿足方程的任意數(shù)或者數(shù)的符號。求方程根的過程被稱為解方程。Therearevariouskindsofequations.Theyarelinearequation,quadraticequation,etc.方程有很多種，例如：線性方程，二次方程等。13Tosolveanequationmeanstofindthevalueoftheunknownterm.Todothis,wemust,of

15、course,changethetermsaboutuntiltheunknowntermstandsaloneononesideoftheequation,thusmakingitequaltosomethingontheotherside.Wethenobtainthevalueoftheunknownandtheanswertothequestion.解方程意味著求未知項的值，為了求未知項的值，當(dāng)然必須移項，直到未知項單獨在方程的一邊，令其等于方程的另一邊，從而求得未知項的值，解決了問題。Tosolvetheequation,therefore,meanstomoveandchanget

16、hetermsaboutwithoutmakingtheequationuntrue,untilonlytheunknownquantityisleftononeside,nomatterwhichside.因此解方程意味著進行一系列的移項和同解變形，直到未知量被單獨留在方程的一邊，無論那一邊。14Equationsareofverygreatuse.Wecanuseequationsinmanymathematicalproblems.Wemaynoticethatalmosteveryproblemgivesusoneormorestatementsthatsomethingisequal

17、tosomething,thisgivesusequations,withwhichwemayworkifweneedto.方程作用很大，可以用方程解決很多數(shù)學(xué)問題。注意到幾乎每一個問題都給出一個或多個關(guān)于一個事情與另一個事情相等的陳述，這就給出了方程，利用該方程，如果我們需要的話，可以解方程。NewWords&Expressions:numerical數(shù)值的）數(shù)的position位置,狀態(tài)cuben.立方體cylindern.柱體geometrical幾何的spheren.球cone圓錐triangle三角形surface面)plane平面straightline段brokenlin

18、e曲面pyramid菱形solid立體）立體的直線linesegment直線equidistant2.2幾何與三角折線ray射線等距離的curve曲線，彎曲GeometryandTrigonology1NewWords&Expressions:side邊angle角radius(radii)半徑diameter直徑endpoint端點circle圓周）圓semicircleminorarc半圓劣弧acuteangle銳角hypotenuse斜邊arc弧majorarc優(yōu)弧rightangleadjacentside直角鄰邊chord弦2circumference周長Manyleadin

19、ginstitutionslearninghaverecognizedbenefitscanbegainedbyallthatofhigherpositivewhostudythisbranchofmathematics.2 AWhystudygeometry?許多居于領(lǐng)導(dǎo)地位的學(xué)術(shù)機構(gòu)承認，所有學(xué)習(xí)這個數(shù)學(xué)分支的人都將得到確實的受益。Thisisevidentfromthefactthattheyrequirestudyofgeometryasaprerequisitetomatriculationinthoseschools.許多學(xué)校把幾何的學(xué)習(xí)作為入學(xué)考試的先決條件，從這一點上可以證明。

20、3GeometryhaditsoriginlongagointhemeasurementbytheBabyloniansandEgyptiansoftheirlandsinundatedbythefloodsoftheNileRiver.幾何學(xué)起源于很久以前巴比倫人和埃及人測量他們被尼羅河洪水淹沒的土地。Thegreekwordgeometryisderivedfromgeo,meaning“earth“andmetron,meaning«力measure.希臘語幾何來源于geo,意思是”土地工和metron意思是”測量4Asearlyas2000B.C.wefindthelands

21、urveyorsofthesepeoplere-establishingvanishinglandmarksandboundariesbyutilizingthetruthsofgeometry.公元前2000年之前，我們發(fā)現(xiàn)這些民族的土地測量者利用幾何知識重新確定消失了的土地標志和邊界。Oneofthemostimportantobjectivesderivedfromastudyofgeometryismakingthestudentbemorecriticalinhislistening,readingandthinking.Instudyinggeometryheisledawayfr

22、omthepracticeofblindacceptanceofstatementsandideasandistaughttothinkclearlyandcriticallybeforeformingconclusions.幾何的學(xué)習(xí)使學(xué)生在思考問題時更周密、審慎，他們將不會盲目接受任何結(jié)論.5Asolidisathree-dimensionalfigure.Commoiexamplesofsolidsarecube,sphere,cylinder,coneandpyramid.2BSomegeometricalterms立體是一個三維圖形，立體常見的例子是立方體，球體，柱體，圓錐和棱錐。A

23、cubehassixfaceswhicharesmoothandflat.Thesefacesarecalledplanesurfacesorsimplyplanes.立方體有6個面，都是光滑的和平的，這些面被稱為平面曲面或者簡稱為平面。6Aplanesurfacehastwodimensions,lengthandwidth.Thesurfaceofablackboardorofatabletopisanexampleofaplanesurface.平面曲面是二維的，有長度和寬度，黑板和桌子上面的面都是平面曲面的例子。Acircleisaclosedcurvelyinginoneplane,

24、allpointsofwhichareequidistantfromafixedpointcalledthecenter.平面上的閉曲線當(dāng)其中每點到一個固定點的距離均相當(dāng)時叫做圓。固定點稱為圓心。7Alinesegmentdrawnfromthecenterofthecircletoapointonthecircleisaradiusofthecircle.Thecircumferenceisthelengthofacircle.經(jīng)過圓心且其兩個端點在圓周上的線段稱為這個園的直徑，這條曲線的長度叫做周長。Oneofthemostimportantapplicationsoftrigonomet

25、ryisthesolutionoftriangles.Letusnowtakeupthesolutiontorighttriangles.三角形最重要的應(yīng)用之一是解三角形，現(xiàn)在我們來解直角三角形。8Atriangleiscomposedofsixpartsthreesidesandthreeangles.Tosolveatriangleistofindthepartsnotgiven.一個三角形由6個部分組成，三條邊和三只角。解一個三角形就是要求出未知的部分。Atrianglemaybesolvedifthreeparts(atleastoneoftheseisaside)aregiven.A

26、righttrianglehasoneangle,therightangle,alwaysgiven.Thusarighttrianglecanbesolvedwhentwosides,oronesideandanacuteangle,aregiven.如果三角形的三個部分（其中至少有一個為邊）為已知，則此三角形就可以解出。直角三角形的一只角，即直角，總是已知的。因此，如果它的兩邊，或一邊和一銳角為已知，則此直角三角形可解。NewWords&Expressions:brace大roster名冊consequence 結(jié)論） 推論notation枚舉法designate標記）指定除，否決

27、diagram圖形，圖解distinct互不相同的underlyingset基礎(chǔ)集distinguish區(qū)別）辨別set全集divisible可被validity有效性dummy啞的）啞變量括號rosterrule out 排subset 子集 theuniversal除 盡 的visual 可視的evenintegervisualize可視化irrelevant無關(guān)緊要的voidset(emptyset)空集2.3集合論的基本概念BasicConceptsoftheTheoryofSets1Theconceptofasethasbeenutilizedsoextensivelythrough

28、outmodernmathematicsthatanunderstandingofitisnecessaryforallcollegestudents.Setsareameansbywhichmathematicianstalkofcollectionsofthingsinanabstractway.3 ANotationsfordenotingsets集合論的概念已經(jīng)被廣泛使用，遍及現(xiàn)代數(shù)學(xué)，因此對大學(xué)生來說，理解它的概念是必要的。集合是數(shù)學(xué)家們用抽象的方式來表述一些事物的集體的工具。Setsusuallyaredenotedbycapitalletters;elementsaredesig

29、natedbylower-caseletters.集合通常用大寫字母表示，元素用小寫字母表示。2Weusethespecialnotationtomeanthat“xisanelementofS”or“xbelongstoS”.IfxdoesnotbelongtoS,wewrite.我們用專用記號來表示x是S的元素或者x屬于So如果x不屬于S,我們記為。Whenconvenient,weshalldesignatesetsbydisplayingtheelementsinbraces;forexample,thesetofpositiveevenintegerslessthan10isdisp

30、layedas2,4,6,8whereasthesetofallpositiveevenintegersisdisplayedas2,4,6,thethreedotstakingtheplaceof“andsoon.”如果方便，我們可以用在大括號中列出元素的方式來表示集合。例如，小于10的正偶數(shù)的集合表示為2,4,6,8,而所有正偶數(shù)的集合表示為2,4,6,三個圓點表示“等等”。3Thedotsareusedonlywhenthemeaningof“andsoon“isclear.Themethodoflistingthemembersofasetwithinbracesissometimes

31、referredtoastherosternotation.只有當(dāng)省略的內(nèi)容清楚時才能使用圓點。在大括號中列出集合元素的方法有時被歸結(jié)為枚舉法。Thefirstbasicconceptthatrelatesonesettoanotherisequalityofsets:聯(lián)系一個集合與另一個集合的第一個基本概念是集合相等。4DEFINITIONOFSETEQUALITYTwosetsAandaresaidtobeequal(oridentical)iftheyconsistofexactlythesameelements,inwhichcasewewriteA=B.Ifoneofthesetsc

32、ontainsanelementnotintheother,wesaythesetsunequalandwewriteA力B.集合相等的定義如果兩個集合A和B確切包含同樣的元素，則稱二者相等，此時記為A=B如果一個集合包含了另一個集合以外的元素，則稱二者不等，記為AwBo5EXAMPLE.Accordingtothisdefinition,thetwosets2,4,6,8and2,8,6,4areequalsincetheybothconsistofthefourintegers2,4,6and8.Thus,whenweusetherosternotationtodescribeaset,t

33、heorderinwhichtheelementsappearisirrelevant.根據(jù)這個定義，兩個集合2,4,6,8和2,8,6,4是相等的，因為他們都包含了四個整數(shù)2,4,6,8。因此，當(dāng)我們用枚舉法來描述集合的時候，元素出現(xiàn)的次序是無關(guān)緊要的。6EXAMPLE2.Thesets2,4,6,8and2,2,4,4,6,8areequaleventhough,inthesecondset,eachoftheelements2and4islistedtwice.Bothsetscontainthefourelements2,4,6,8andnoothers;therefore,thede

34、finitionrequiresthatwecallthesesetsequal.例2.集合2,4,6,8和2,2,4,4,6,8也是相等的，雖然在第二個集合中，2和4都出現(xiàn)兩次。兩個集合都包含了四個元素2,4,6,8,沒有其他元素，因此，依據(jù)定義這兩個集合相等。Thisexampleshowsthatwedonotinsistthattheobjectslistedintherosternotationbedistinct.AsimilarexampleisthesetoflettersinthewordMississippi,whichisequaltothesetM,i,s,p,cons

35、istingofthefourdistinctlettersM,i,s,andp.這個例子表明我們沒有強調(diào)在枚舉法中所列出的元素要互不相同。一個相似的例子是，在單詞Mississippi中字母的集合等價于集合M,i,s,p,其中包含了四個互不相同的字母M,i,s,和p.7FromagivensetSwemayformnewsets,calledsubsetsofS.Forexample,thesetconsistingofthosepositiveintegerslessthan10whicharedivisibleby4(theset4,8)isasubsetofthesetofalleve

36、nintegerslessthan10.Ingeneral,wehavethefollowingdefinition.3BSubsets一個給定的集合S可以產(chǎn)生新的集合，這些集合叫做S的子集。例如，由可被4除盡的并且小于10的正整數(shù)所組成的集合是小于10的所有偶數(shù)所組成集合的子集。一般來說，我們有如下定義。8In all our applications of set theory, we have a fixed set S given in advance, and we are concerned only with subsets of given set. The underlyin

37、g set S mayvary one application to another; it will referred to as the universal set of eachthisfrombeparticular discourse.（35頁第二段）當(dāng)我們應(yīng)用集合論時，總是事先給定一個固定的集合S,而我們只關(guān)心這個給定集合的子集?；A(chǔ)集可以隨意改變，可以在每一段特定的論述中表示全集。9set, and will be Wewill consider （35頁第三段） 這種情況是有可能Itispossibleforasettocontainnoelementswhatever.Thi

38、ssetiscalledtheemptysetorthevoiddenotedbythesymboltobeasubsetofeveryset.一個集合中不包含任何元素,的。這個集合被叫做空集，用符號表示?？占侨魏渭系淖蛹?。Somepeoplefindithelpfultothinkofasetasanalogoustoacontainer（suchasabagorabox）containingcertainobjects,itselements.Theemptysetisthenanalogoustoanemptycontainer.一些人認為這樣的比喻是有益的，集合類似于容器（如背包和

39、盒子）裝有某些東西那樣，包含它的元素。10Toavoidlogicaldifficulties,wemustdistinguishbetweentheelementsxandthesetxwhoseonlyelementisx.Inparticular,theemptysetisnotthesameastheset.（35頁第四段）為了避免遇到邏輯困難，我們必須區(qū)分元素x和集合x,集合x中的元素是x。特別要注意的是空集和集合是不同的。Infact,theemptysetcontainsnoelements,whereasthesethasoneelement.Setsconsistingofe

40、xactlyoneelementaresometimescalledone-elementsets.事實上，空集不含有任何元素，而有一個元素。由一個元素構(gòu)成的集合有時被稱為單元素集。11Diagramsoftenhelpusvisualizerelationsbetweensets.Forexample,wemaythinkofasetSasaregionintheplaneandeachofitselementsasapoint.SubsetsofSmaythenbethoughtofthecollectionsofpointswithinS.Forexample,inFigure2-3-1

41、theshadedportionisasubsetofAandalsoasubsetofB.（35頁第五段）圖解有助于我們將集合之間的關(guān)系形象化。例如，可以把集合S看作平面內(nèi)的一個區(qū)域，其中的每一個元素即是一個點。 S內(nèi)某些點的全體。例如， 分是A的子集，同時也是 12那么S的子集就是 在圖2-3-1中陰影部 B的子集。Visual aids of this diagrams, are usefultype,calledVennfortesting thevalidityoftheoremsinsettheoryorforsuggestingmethodstoprovethem.Ofcours

42、e,theproofsthemselvesmustrelyonlyonthedefinitionsoftheconceptsandnotonthediagrams.這種圖解方法，叫做文氏圖，在集合論中常用于檢驗定理的有效性或者為證明定理提供一些潛在的方法。當(dāng)然證明本身必須依賴于概念的定義而不是圖解。NewWords&Expressions:conversely反之geometricinterpretation幾何意義correspond對應(yīng)induction歸納法deducible可推導(dǎo)的proofbyinduction歸納證明difference差inductiveset歸納集dis

43、tinguished著名的inequality不等式entirelycomplete完整的integer整數(shù)Euclid歐幾里得interchangeably可互相交換的Euclidean歐式的intuitive直觀的the field axiom域公理irrational無理的2.4整數(shù)、有理數(shù)與實數(shù)Integers,RationalNumbersandRealNumbers1rationalrationalNewWords&Expressions:irrationalnumber無理數(shù)理的theorderaxiom序公理number有理數(shù)ordered有reasoning推理pro

44、ductscale尺度，刻度quotientsum和ThereexistcertainsubsetsofRwhicharedistinguishedbecausetheyhavespecialpropertiesnotsharedbyallrealnumbers.Inthissectionweshalldiscusssuchsubsets,theintegersandtherationalnumbers.4AIntegersandrationalnumbers有一些R的子集很著名，因為他們具有實數(shù)所不具備的特殊性質(zhì)。在本節(jié)我們將討論這樣的子集，整數(shù)集和有理數(shù)集。3Tointroducethep

45、ositiveintegerswebeginwiththenumber1,whoseexistenceisguaranteedbyAxiom4.Thenumber1+1isdenotedby2,thenumber2+1by3,andsoon.Thenumbers1,2,3,，obtainedinthiswaybyrepeatedadditionof1areallpositive,andtheyarecalledthepositiveintegers.我們從數(shù)字1開始介紹正整數(shù)，公理4保證了1的存在性。1+1用2表示，2+1用3表示，以此類推，由1重復(fù)累加的方式得到的數(shù)字1,2,3，都是正的，它

46、們被叫做正整數(shù)。4Strictlyspeaking,thisdescriptionofthepositiveintegersisnotentirelycompletebecausewehavenotexplainedindetailwhatwemeanbytheexpressions“andsoon”,or“repeatedadditionof1”.嚴格地說，這種關(guān)于正整數(shù)的描述是不完整的，因為我們沒有詳細解釋“等等”或者“1的重復(fù)累加”的含義。5Althoughtheintuitivemeaningofexpressionsmayseemclear,incarefultreatmentoft

47、hereal-numbersystemitisnecessarytogiveamoreprecisedefinitionofthepositiveintegers.Therearemanywaystodothis.Oneconvenientmethodistointroducefirstthenotionofaninductiveset.雖然這些說法的直觀意思似乎是清楚的，但是在認真處理實數(shù)系統(tǒng)時必須給出一個更準確的關(guān)于正整數(shù)的定義。有很多種方式來給出這個定義，一個簡便的方法是先引進歸納集的概念。6DEFINITIONOFANINDUCTIVESET.Asetofrealnumbersisca

48、lledaninductivesetifithasthefollowingtwoproperties:Thenumber1isintheset.Foreveryxintheset,thenumberx+1isalsointheset.Forexample,Risaninductiveset.Soistheset.Nowweshalldefinethepositiveintegerstobethoserealnumberswhichbelongtoeveryinductiveset.現(xiàn)在我們來定義正整數(shù)，就是屬于每一個歸納集的實數(shù)。7LetPdenotethesetofallpositivein

49、tegers.ThenPisitselfaninductivesetbecause(a)itcontains1,and(b)itcontainsx+1wheneveritcontainsx.SincethemembersofPbelongtoeveryinductiveset,werefertoPasthesmallestinductiveset.用P表示所有正整數(shù)的集合。那么P本身是一個歸納集，因為其中含1,滿足(a);只要包含x就包含x+1,滿足(b)。由于P中的元素屬于每一個歸納集，因此P是最小的歸納集。8ThispropertyofPformsthelogicalbasisforaty

50、peofreasoningthatmathematicianscallproofbyinduction,adetaileddiscussionofwhichisgiveninPart4ofthisintroduction.P的這種性質(zhì)形成了一種推理的邏輯基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)家稱之為歸納證明，在介紹的第四部分將給出這種方法的詳細論述。9Thenegativesofthepositiveintegersarecalledthenegativeintegers.Thepositivethe negativea set Z which we正整數(shù)，負整數(shù)integers,togetherwithintegers

51、and0(zero),formcallsimplythesetofintegers.正整數(shù)的相反數(shù)被叫做負整數(shù)。和零構(gòu)成了一個集合Z,簡稱為整數(shù)集。10Inathoroughtreatmentofthereal-numbersystem,itwouldbenecessaryatthisstagetoprovecertaintheoremsaboutintegers.Forexample,thesum,difference,orproductoftwointegersisaninteger,butthequotientoftwointegersneednottoneaninteger.Howev

52、er,weshallnotenterintothedetailsofsuchproofs.在實數(shù)系統(tǒng)中，為了周密性，此時有必要證明一些整數(shù)的定理。例如，兩個整數(shù)的和、差和積仍是整數(shù)，但是商不一定是整數(shù)。然而還不能給出證明的細節(jié)。11Quotientsofintegersa/b(whereb#0)arecalledrationalnumbers.Thesetofrationalnumbers,denotedbyQ,containsZasasubset.Thereadershouldrealizethatallthefieldaxiomsandtheorderaxiomsaresatisfiedb

53、yQ.Forthisreason,wesaythatthesetofrationalnumbersisanorderedfield.RealnumbersthatarenotinQarecalledirrational.整數(shù)a與b的商被叫做有理數(shù)，有理數(shù)集用Q表示，Z是Q的子集。讀者應(yīng)該認識到Q滿足所有的域公理和序公理。因此說有理數(shù)集是一個有序的域。不是有理數(shù)的實數(shù)被稱為無理數(shù)。12Thereaderisundoubtedlyfamiliarwiththegeometricinterpretationofrealnumbersbymeansofpointsonastraightline.Apo

54、intisselectedtorepresent0andanother,totherightof0,torepresent1,asillustratedinFigure2-4-1.Thischoicedeterminesthescale.4BGeometricinterpretationofrealnumbersaspointsonaline毫無疑問，讀者都熟悉通過在直線上描點的方式表示實數(shù)的幾何意義。如圖2-4-1所示，選擇一個點表示0,在0右邊的另一個點表示1。這種做法決定了刻度。13IfoneadoptsanappropriatesetofaxiomsforEuclideangeomet

55、ry,theneachrealnumbercorrespondstoexactlyonepointonthislineand,conversely,eachpointonthelinecorrespondstooneandonlyonerealnumber.如果采用歐式幾何公理中一個恰當(dāng)?shù)募?，那么每一個實數(shù)剛好對應(yīng)直線上的一個點，反之，直線上的每一個點也對應(yīng)且只對應(yīng)一個實數(shù)。14Forthisreasonthelineisoftencalledthereallineortherealaxis,anditiscustomarytousethewordsrealnumberandpointint

56、erchangeably.Thusweoftenspeakthe point習(xí)慣上使O因此我們ofthepointxratherthancorrespondingtotherealnumber.為此直線通常被叫做實直線或者實軸,用“實數(shù)”這個單詞，而不是“點”經(jīng)常說點x不是指與實數(shù)對應(yīng)的那個點。15r,Thisdeviceforrepresentingrealnumbersgeometricallyisaveryworthwhileaidthathelpsustodiscoverandunderstandbettercertainpropertiesofrealnumbers.Howeveth

57、e reader should realize that properties of real numbers that are to be accepted as theorems must be deducible the axioms without any referencesallfromtogeometry.這種幾何化的表示實數(shù)的方法是非常值得推崇的，它有助于幫助我們發(fā)現(xiàn)和理解實數(shù)的某些性質(zhì)。然而，讀者應(yīng)該認識到，擬被采用作為定理的所有關(guān)于實數(shù)的性質(zhì)都必須不借助于幾何就能從公理推出。16Thisdoesnotmeanthatoneshouldnotmakeuseofgeometryinstudyingpropertiesof