數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、數(shù)列求和知識框架數(shù)列的概念數(shù)列的分類數(shù)列的通項(xiàng)公式.函數(shù)角度理解1、數(shù)列兩個基本數(shù)列4等差數(shù)列等比數(shù)列產(chǎn)111A天系等差數(shù)列的定義a等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)a手比數(shù)列的定義ananJ.手比數(shù)列的通項(xiàng)公式享比數(shù)列的求和公式手比數(shù)列的性質(zhì)anamnan=d(n之2)an=a1+(n-1)dcn/，、Sn=一(a1+an)=na，2n+am=ap+aq(m+n=q(n>2)n3n=aqa1anqa1(1-q)Sn=41q1-q(naq=1)=apaq(m+n=p+q),n(n-1)+d2p+q)(q#1)公式法分組求和錯位相減求和裂項(xiàng)求和倒序相加求和累加累積歸納猜想

2、證明(1)觀察法。(2)由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問題。(1)遞推式為an+i=a+d及an+i=qan(d,q為常數(shù))例1、已知an滿足an+i=an+2,而且ai=1。求an。例1、解.an+1-an=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列1.an=1+2(n-1)即an=2n-11例2、已知an滿足an=an,而a=2,求a=?2解二3；是常數(shù)2，%是以2為首項(xiàng)，公比為1的等比數(shù)列-(2)遞推式為an+1=an+f(n),一，一一11例3、已知an中a1=,an由-an+2,求Hn.24n2-1一，一一11

3、11斛：由已知可知an+-an=()(2n1)(2n-1)22n-12n1令n=1,2,(n-1),代入得(n-1)個等式累加，即(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)數(shù)列的應(yīng)用分期付款I(lǐng)其他掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式1/1、/11、z11、=(1)+()+',+C)2l3352n-32n-l1-114n-3-一an(1)=22n-14n-2說明只要和f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的，就可以由an+1=an+

4、f(n)以n=1,2,，(n-1)代入，可得n-1個等式累加而求an(3)遞推式為an+產(chǎn)pa+q(p,q為常數(shù))例4、an中，a1=1,對于n>i(nno有an=3an+2,求an.思路：設(shè)an42=pan書+qan,可以變形為：an42-aan4i=P(an+i-ctan),解法一：由已知遞推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3(an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a1=(3X1+2)-1=4.an+1-an=4-3n1;an+1=3an+2.3an+2-an=4-3n-1即an=2-3n1-1解法二：上法

5、得an+1-an是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a1=4,a3-a2=43a4-a3=4-32,，an-an-1=4-3n-2,"1口6耳，則可從于是an+1-aan是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。n-1an=23n-1-1泮二4（塾3+3叫+火）=彳:口：）1_321瞞】已知數(shù)列&中沙+我求（4）遞推式為a*pan+qn【例5】已知）出國】（p,q為常數(shù)）略解在+15E'n+1，/1、（5）二鏟n+（'）叫求M的兩邊乘以2皿得72小-(2%)+11bn*-bn=一（bn-3二）由上題的解法，32n得：bn=32(一)n3bn-3(1n2(1)n

6、anN一3(2)一%)說明對于遞推式可兩邊除從嚴(yán)，得聲P.%qq”+L引喃助數(shù)列（b.（上=%），得垢+廣后用Qn(5)遞推式為an+=pan+qana分析aitn+2an+l2a+B二=1，a8=-13J+三對兩邊減去%+u得%）是公比為T，首項(xiàng)為弧一為二1的等比數(shù)列。廣T）0+（T）".+（31%=1+日-（-亍”（6）遞推式為與與an的關(guān)系式此類型可利用/1(n=l)G>2)【例n設(shè)%前n項(xiàng)的和Sn="皆白。求小與4的關(guān)系;(2)試用n表小ano解(1)由S-4-v擊得51VH_4-ah+1_111-Sn1-Sn=(an-an1)(-n_2-2二)22n1ri.

7、11.適用于數(shù)列1>和J丁一-=>(其中an等差)an-an-1|卜fan，Jan-1|可裂項(xiàng)為：-1一=1(2')，anan1danan1an1-2n-an121an 1 = an2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題：上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2則2nan是公差為2的等差數(shù)列。2nan=2+(n-1)2=2nan的首項(xiàng)a1A0,公差d<0,則前n項(xiàng)和Sn有最大值。an-0(i)若已知通項(xiàng)an,則S最大仁f；an1三0數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列(如果%等

8、差，bn等比，那么anbn叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以bn的公比q,向后錯一項(xiàng)，再對應(yīng)同次項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。(ii)若已知&=pn2+qn,則當(dāng)n取最靠近-q-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最2p大；2、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1<0,公差da0,則前n項(xiàng)和Sn有最小值4an0(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最小仁nn;an1-0(ii)若已知Sn=pn2+qn,則當(dāng)n取最靠近-就的非零自然數(shù)時(shí)Sn最?。粩?shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即&+a2+|+an=f(n

9、)求為,用作差法：a=6(n=1)anSn-Sn,(n.2)f(1),(n=1)已知aiLa2Uan=f(n)求an,用作商法：an=<f(n)f(n-1)，(_)已知條件中既有S還有an,有時(shí)先求Sn,再求國；有時(shí)也可直接求an。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).若an書an=f(n)求an用累加法anKan-an1)(an1-an)|l(a2-)為

10、1(n>2)o已知an±=f(n)求an,用累乘法：an=an.an，0a1(n之2)。anan1an_2al(4)錯位相減法通項(xiàng)相乘構(gòu)成，法).(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個等比數(shù)列的那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:D1一，;n(n1)nn1已知遞推關(guān)系求4,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)歹U)1=(1n(nk)kn11,1；2二(k2-12k-111n和公式的推導(dǎo)方且相鄰項(xiàng)分裂特別地,(1)形如an=kan/+b、an=kan4+bn(k,b為常數(shù))

11、的遞一二:二2:二kk1(k1)kk-(k-1)kk-111nk1k11一；k)；推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an；形n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(n1)!n!(n1)!如an=kan+kn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個等差數(shù)列后，再求=2(：/n-,n-"1)1、解題方法:an。(2)形如an=an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan4b(3)形如an+=ank的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到an+-an_1=d或電±=q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可an4能是分段形式。數(shù)列求和的常用

12、方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：1、公式法2、由&求an(n=1時(shí)，a1=S1,n22時(shí)，an=SnSn)3、求差(商)法如：an滿足1al十12a2十十：an=2n+5<12222n一一1解：n=1時(shí)，-a1=215,a1=142一，11n之2時(shí)，-a1+力2122a21-,2vJan:25一，1一<2>得：2an二2an=2n1an14(n=1)一2n1(n-2)練習(xí)1數(shù)列團(tuán)滿足Sn+Sn+5=Wan書，3a1=4,求an（注意到an書=Sn書Sn代入得:Sn!=4Sn又S1=4,：Sn是等比數(shù)列,Sn=4nn&g

13、t;2時(shí)，a2-a1=f(2)“aLa2="3)，兩邊相加，得：-an-an=f(n).an-a1=f(2)+f(3)+f(n).an=ao+f(2)+f(3)+f(n)練習(xí)1數(shù)列an,*=1,an=3n/+an22),求an1 c(an=-(3n-1)6、等比型遞推公式an=can+d(c、d為常數(shù),c#0,c#1,d#0)n之2時(shí)，an=Sn-Sn4n可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)anx=canx4、疊乘法二an二canc-1X例如：數(shù)列aj中，a1=3,an1解：曳a3ananana1a2an-1a1又a1=3,5、等差型遞推公式由anani=f(nD，a1求an,用迭加法ad令(c一1

14、)x=d,.x=c-1an+d-l是首項(xiàng)為c-1.ana1a1-d,c為公比的等比數(shù)列c。1n1,cann1c練習(xí)1數(shù)歹Uan滿足a1=9,3an+an=4,求an,-4(an=8|、n+1)7、倒數(shù)法例如：a1an12ann，求anan2由已知得:1an211=Ian12an2an.2n(n+l)(2n+l)1+2+3+n=：+訝+費(fèi)【例8】求數(shù)歹U1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n項(xiàng)的和。1解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+n=n(n+1)2個奇數(shù)，最后一個奇數(shù)為：1+n(n+1)-1x2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為111

15、-=an1an2,一2I為等差數(shù)列，1=1,公差為-ana121Sy1(n+1)*(n+1)111=1+(nT).一=(n+1)an22(2)、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合【例9求和S=1(n2-1).an，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。+2(n2-22)+3-(n2-32)+n(n2-n2)解S=n2(1+2+3+n)-(13+23+33+n3)Cn + 1) (n -1)2.數(shù)列求和問題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。,h,口(口+1)1 +2+3+2_，一一21+3+5+(2n-1)=n=124n4n

16、(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。例10、求和：Sn=3Cn+6C；+|+3nCn例10、解Sn=0C：+3C：+6C：+|+3nCnn又邑=3nC：+3G-1)C'】+0C：相加，且運(yùn)用ct=c3可得2sli=3口©+C：+,+C：)=3n*2"例12、求和例31111T1+|1*53*75*9(2n-1)(2n3)升H1111采京口+*"+1*53-75*9(2n-l)(2n+3)Sn=3n-2n-1(4)、錯位相減法如果一個數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)

17、成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯位相減求和.例11、求數(shù)列1,3x,5x2，,(2n-1)xn-1前n項(xiàng)的和.解設(shè)S=1+3+5x2+(2n-1)xn-1.當(dāng)x=l時(shí)，S譏J+Q：I(2)x=0時(shí)，Sn=1.(3)當(dāng)xw0且xw1時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn,-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn.12M1-產(chǎn))H由公式知二;一1+T-1)力11+x-(2n+(2n-l)xh+1=(1-x)3-(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見裂項(xiàng)方法：11ri11n(n+k

18、)knn+k11iiL-n(n+l)(n+2)2nn+1n+2(2n-l)(2n+3)42n-1=1+F'''+1+a4l537592n-32n+12n-12n+3-1+4l32n+l2n+3Jn(4n+5)3(2口+l)(2n+3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3】等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0,前n項(xiàng)的和為Sn,若S=S<(lwk)問n為何值時(shí)Sn最大

19、？解依題意，設(shè)f(ti)=£乳=啊+"(口"d乙二f(n)此函數(shù)以n為自變量的二次睦a1>0S產(chǎn)Sk(lwk),，d<0故此二次函數(shù)的圖像開口向下：當(dāng)然=f(l)=f(k)1時(shí)fQ)最大，f(口)中，nENo，當(dāng)1+k為偶數(shù)時(shí)，n1+k.日=：-時(shí)限取大。1+Js±1Rd-C星32.方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為S,若S+$=2&,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識及推理能力。解:依題意可知qwl。;如果q=1,則S3=3ai,Q=6ai,&=9ai。由此應(yīng)推出ai=0與等比數(shù)列不-qw1力(1寸)(1-qd)2%(1-q),有i'=z1-q1-q1-q整理得q3(2q6-q3-1)=0=qw。.1.2q6-q3-1=0q；=佶,q”-g此題還可以作如下思考：S6=S3+q3S3=(1+q3)S9=S3+q3S6=$(1+q3+q6),.由S3+S6=2S可彳導(dǎo)2+q3=2(1+q3+q6),2q6+q3=031Mq=-5，3.換元思想【例15】已知a,b,c是不為1的正數(shù)，x,y,zCR+,且1 12有小二父二和十=xzy求證：a,b,c順次成等