數(shù)學(xué)-高中必修五-解三角形-經(jīng)典題目

1、解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型題剖析】考察點1:利用正弦定理解三角形例1在 VABC 中，已知 A:B:C=1:2:3,求 a :b :c.【點撥】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，利用三角形內(nèi)角和定理及正 弦定理的變形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。QA:B:C 1:2:3，而 A B C .1: , 3:2.解：A 6,b 3,c 萬,a :b: sin A:sinB:sinC sin: sin:sin 632【解題策略】要牢記正弦定理極其變形形式，要做到靈活應(yīng)用。例2在ABC中，已知c=V2+J6, C=30°

2、 ,求a+b的取值范圍?！军c撥】 此題可先運用正弦定理將 a+b表示為某個角的三角函數(shù)，然后再求解。解： C=30° , c=J2+J6, .由正弦定理得:2 .6sin Asin Bsin Csin 30a=2( V2 + 76)sinA,b=2( 42 + 石)sinB=2(42 + 醫(yī))sin (150° -A). a+b=2( 72+春)sinA+sin(150 ° -A)= 2( 貶+ 展) 2sin75 ° cos(75 ° -A)='2、6 cos(75-A) 當(dāng) 75° -A=0° ,即 A=75&#

3、176; 時，a+b 取得最大值 J2 J6 2=8+4 J3; -.=180° -(C+B)=150 ° -B, .Ac 150° , 1. 0° vAv 150° -75° <75° -Av 75° ,cos75 ° V cos(75 ° -A) < 1 ,>2cos75=金石2x®XL%+底4綜合可得a+b的取值范圍為（J2 +J6,8+4J3>考察點2：利用正弦定理判斷三角形形狀例3 在 ABC中，a2 tanB= b2 tanA ,判斷三角形 ABC的

4、形狀。ABC的形狀。2Rsin A2 - sin B ?cosB2RsinB2 - sin A?cosA【點撥】通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，利用角的關(guān)系判斷解：由正弦定理變式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：sin Acos A sin B cosB,即 sin2A sin2B, 2A 2B或2A 2B ,A B或 A B . 2VABC為等腰三角形或直角三角形?！窘忸}策略】“在 ABC中，由sin 2A sin 2B得/ A=Z B”是常犯的錯誤，應(yīng)認(rèn)真體會上述解答過程中"/ A=/B或/A+/ B=”的導(dǎo)出過程。2例4在 ABC中，如果lg a lg c 1g

5、sin B1g J2 ,并且B為銳角，試判斷此三角形的形狀?！军c撥】通過正弦定理把邊的形式轉(zhuǎn)化為角的形式，利用兩角差的正弦公式來判斷ABC的形狀。解：Q lg sin B 1g : 2,sinB 二 2又B為銳角，B=45°由 lg a lg c1g應(yīng)得;今由正弦定理，得sin Asin C A 180 45C,代入上式得:,2sinC 2sin 135 C2 sin135 cosC cos135sinC,2cosC ,2sinC,cosC 0, C 90 , A 45 .VABC為等腰直角三角形。考察點3：利用正弦定理證明三角恒等式例5a2 b2在 ABC中，求證,22b ccos

6、A cosB cosB cosC cosC cosA0.a2, b2, c2 轉(zhuǎn)化cos A cos Bcos A cos B4R2( 1-cos2A) -(1- cos2B)cos A cos B(cos2 B cos2 A)cos AcosB2 ，4R (cos Bcos A)b2同理 cosB cosC 22c acosC cosA24R2(cosC2 ,4R (cos AcosB),cosC).左邊=4 R2 (cos B0右邊 等式成立。cos A cosC cosB cos A cosC)【解題策略】在三角形中，解決含邊角關(guān)系的問題時，常運用正弦定理進行邊角互化, 利用三角知識去解

7、決，要注意體會其中的轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。例6然后22在 ABC中，a,b,c分別是角 A,B,C的對邊，C=2B求證c b ab .【點撥】本題考查正弦定理與倍角公式的綜合應(yīng)用證明：QA B C 180 , B C 180 A.又QC2B, C BB.Qsin(BC) sin(180A) sin A,224R2(sin2Csin2 B)4R2 (sin C sin B)(sinC sin B)2 B C C B B C C B4R ?2sin?cos?2cos?sin 一22224R2 sin(C B)sin(C B) 4R2 sin Asin B ab 右邊.等式成立.【解題策略】有關(guān)三角

8、形的證明題中，要充分利用三角形本身所具有的性質(zhì)?！军c撥】觀察等式的特點，有邊有角要把邊角統(tǒng)一，為此利用正弦定理將 為 sin2 A,sin 2 B,sin 2 C .證明：由正弦定理的變式 a 2Rsin A, b 2RsinB得:a2 b24R2sin2 A 4R2sin2B(1) ABC ,A BC,cosC,tan(A B)2B 22C.(2)sin( A B) sinC,cos(A B)tanC.(3)sin2 cosC,cos2 sinC,tani 22222C cot 一.2cos2C,(4)sin(2 A 2B) sin2C,cos(2A 2B) tan(2A 2B) tan2C

9、.考察點4:求三角形的面積例7在 ABC中，a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊，若a2,CB,cos 一42的面積S.【點撥】先利用三角公式求出sinB,sinA 及邊c,再求面積。解：由題意 cosB 2- ,得 cosB 2cos2 B 1 3, 25254，B為銳角，sin B-,sin A5sin(B C)sin(3- B) 72410由正弦定理得c10c 1S acsin B2【解題策略】在47110c4?2? ?-27 5ABC,以下三角關(guān)系式在解答三角形問題時經(jīng)常用到，要記準(zhǔn)、并能靈活應(yīng)用，AB C ,sin(A B) sinC,cos(A B) cosC;sin記熟，A

10、 B2.Csin 一.2C A B cos,cos22已知 ABC中a,b,c分別是三個內(nèi)角 A,B,C的對邊， ABC的外接圓半徑為12,且C 一，3求 ABC的面積S的最大值?！军c撥】本題主要考察正弦定理與三角形面積公示的綜合應(yīng)用。1 . 一 1 一斛：SVABC - absin C -g2Rsin Ag2Rsin Bgsin C、，3r2 sin Asin B R2cos(A B) cos(A B) 2/ R2cos(A B) J當(dāng) cos(A B) 1,即A B時,(SVABC)maxR2 -444 108 . 3.求得面【解題策略】 把三角形的面積公式和正弦定理相結(jié)合，通過討論三角函

11、數(shù)值的取值,積的最大值?？疾禳c5:與正弦定理有關(guān)的綜合問題例9已知 ABC的內(nèi)角A,B極其對邊a,b滿足a b a cot A bcotB,求內(nèi)角C【點撥】本題主要考察解三角形中的正弦定理、和差化積公式等基礎(chǔ)知識，考察運算能力、 分析能力和轉(zhuǎn)化能力。解法1：a bQ a b a cot A bcotB,且 2R( R為 ABC 的外接圓半徑)，sin A sin Bsin A cos A cosB sin B, 1 sin 2A 1 cos2B.cos2A cos2B 0又Qsin2A sin2B 2cos(A B)sin(A B).cos(A B)sin(A B) 0,cos(A B) 0或

12、sin(A B) 0.又 A,B為三角形的內(nèi)角，A B 或A B,2當(dāng)A B 一時，C 22當(dāng)A B時，由已知得cot A 1, A B , C .42綜上可知，內(nèi)角C -.2解法2:由a b acot A bcot B及正弦定理得, sin A sin B=cos A cosB ,sin A cosA cosB sin B ,從而 sin Acos cosAsin cosBsin sin Bcos,4即 sin(A ) sin( B).又. OvA+BcTt,A B,44A B , C . 22【解題策略】 切化弦、邊化角是三角關(guān)系化簡的常用方法，熟練運用三角恒等變換公式是解題的關(guān)鍵。4,，

13、一-,求a,b及 ABC的內(nèi)3例10在 ABC中，A, B, C所對的邊分別為a,b,c,且c=10, cosA cosB切圓半徑。【點撥】欲求邊，應(yīng)將已知條件中的邊角統(tǒng)一，先求角再求邊。解：由cosA b,可得cosB acosA _ sin B , cosB sin A變形為sin Acos AsinBcosB, sin 2A sin 2B又Q a b, 2A2B, A.ABC是直角三角形。a2 b2 102由 b 4 解得aa 3,6,b8.VABC的內(nèi)切圓半徑為a r=6 8 10 22【解題策略】解此類問題應(yīng)注意定理與條件的綜合應(yīng)用。高考真題評析A, B, C所對的邊，若例1 （廣東

14、高考）已知 a, b, c分別是 ABC的三個內(nèi)角a 1,b "A C 2B,則 sinC【命題立意】本題主要考察正弦定理和三角形中大邊對大角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定角 的值。B 一,由正弦定理知3sinC 1。故填 1.【點撥】在 ABC中，ABC ，又AC 2B,故.asin B 1B , _sin A 一，又avb,因此A 從而可知C ,即b 262【名師點評】 解三角形相關(guān)問題時，應(yīng)靈活掌握邊角關(guān)系，實現(xiàn)邊角互化。例2 （北京高考）如圖1-9所示，在 ABC中，若b 1,c J3,C 3則a .【命題立意】本題考查利用正弦定理解決三角形問題，同時要注意利用正弦定理得到的兩解如

15、何取舍?！军c撥】由正弦定理得， , sinB.2 sin Bsin3C為鈍角，B必為銳角,B A . a b66故填1 【名師點評】1.在0, 范圍內(nèi)，正弦值等于1 一一的角有兩個，因為角2C為鈍角，所以角 B必為銳角，防止忽略角的范圍而出現(xiàn)增解例3 （湖北高考）在 ABC中,a 15,b10, A60，則cosB等于（2 ”2A. 32.2B.3,6 D.3B的范 15【點撥】由正弦定理得5-sin60U sinB sin B10gsin601510返2153.a>b, 3A 60 ,B為銳角。cosB、.1 sin2 B【名師點評】例4根據(jù)三角形性質(zhì)大邊對大角準(zhǔn)確判斷角B的范圍,從而

16、確定角B的余弦值。（天津高考）AC在 ABC4 aCABcosBcosC（1）求證H1.（2）右 cos A -，求 sin 4B 3的值?！久}立意】本題主要考察正弦定理、兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、【命題立意】本題考查正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是確定角 圍。二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，同時考察基本運算能力。證明：（1）在 ABC中，由正弦定理及已知，得 snB £osB。sinC cosC于是 sin B cosCcosBsinC 0,即 sin B C 0.因為 v B-Cv,從而B-C=0,所以B=C .解：（2）由A B2B,故cos2

17、B cos 2B cosA又 0v2Bv22、2.4、2，于是 sin2B J1 cos2 2B 從而 sin4B 2sin 2Bcos2B ,39-2 _. 2 _7cos4B cos2 2B sin2 2B。所以 sin 4B 93sin4BcoA 4、2 73318【名師點評】（1）證角相等，故由正弦定理化邊為角。（2）的函數(shù)關(guān)系，在求 2B的正弦值時要先判斷 2B的取值范圍。在（1）的基礎(chǔ)上找角 A與角B知能提升訓(xùn)練學(xué)以致用1、A.C.在 ABC中，下列關(guān)系式中一定成立的是（2、a > bsin Aa < bsin A（山東模擬）A.1B.2 C.B.D.ABC 中,3、（

18、廣東模擬）在4a = bsin Aa > bsin A角A,3B, C的對邊分別為a,b,cx/3,b 1,則 c 等ABC 中,15,b 10, A 60 ,則 sin B 等于(B.A.D.C.4、在 ABC中，若A.C.直角三角形鈍角三角形acosAB.D.cosB cosC等邊直角三角形等腰直角三角形5、在銳角ABC中，若 C=2B,c則c的范圍是（bA.0,2B.D.C.6、在 ABC中,b,A 45 ,則，滿足此條件的三角形有（A.7、0 個 B.1在 ABC中,C.2若 A: B:個C=3:D.4: 5,無數(shù)個則a ： b ： c等于（）A. 3: 4: 5B.2:c. 1

19、： ,3:2 d. .、2：、3：3228、（2011 浙江模擬）在ABC中，B135 ,C 15 ,a 5,則此三角形的最大邊長為A. 5,3 B. 4、3 C.5,2D. 4,29、在 ABC中 A 75 ,B 45 ,c 3 J2,則 b 。10、（2011 山東模擬）在 ABC中角 A, B, C的對邊分別為 a,b,c ,若a72, b 2,sin B cosB 72,則角 a 的大小為 。11、在 ABC中已知a xcm, b 2cm, B 45 ,如果利用正弦定理解三角形有兩解，那 么x的取值范圍是a2 b213、在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a,b,c ,求證 c

20、sin A Bosin C14、在 ABC中，c 2 72, tan A 3,tan B 2,求a,b及三角形的面積。15、已知方程x2bcosA x acosB 0的兩根之積等于兩根之和，且A, B為4ABC的內(nèi)角，a,b分別為A,B的對邊，判斷 ABC的形狀。,1_ 316、在 ABC中，tanA ,tanB .45(1)求角C的大??；（2）若 ABC的最大邊長為 折，求最小邊的長。1.1.2余弦定理典型題剖析考察點1：利用余弦定理解三角形例1:已知 ABC 中，b 3,c 373, B 30,求 A【點撥】解答本題可先由余弦定理列出關(guān)于邊長 定理求角A,角C,也可以先由正弦定理求出角 解

21、法1：C和a。a的方程，首先求出邊長 a ,再由再由正弦 C,然后再求其他的邊和角。由正弦定理 b2 a2 c2 2accosB,得32 a23.3 22a 373 cos30 ,a2 9a 18 0,解得 a 3或 6.當(dāng) a 3 時，A 30 , C 120a sin B o當(dāng)a 6時，由正弦定理得 sin A -2 1, A 90 , C 60 .b 3解法2:由 bvc, B 30 , b > csin 30八二 13.33V3 ,知本題有兩解。22由正弦定理得sinC csinB5 立,b 32C 60 或 120 ,當(dāng)C 60時，A 90 ,由勾股定理得：ab2 c2 32

22、3、3 2 6當(dāng)C 120時，A 30 ,ABC為等腰三角形，a 3?！窘忸}策略】 比較兩種解法，從中體會各自的優(yōu)點， 從而探索出適合自己思維的解題規(guī)律和 方法。三角形中已知兩邊和一角，有兩種解法。方法一利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量 關(guān)系列出方程，利用解方程的方法求出第三邊的長，這樣可免去判斷取舍的麻煩。方法二直接運用正弦定理，先求角再求邊。例 2： ABC中，已知 a2j6,b6273, c4J3 ,求A,B,C考察點2:利用余弦定理判斷三角形的形狀例3:在 ABC 中，已知 a b c a b c 3ab,且 2cosAgsin B sinC,試判斷 ABC 的形狀?！军c撥】本題主要考

23、察利用正弦定理或余弦定理判斷三角形的形狀，從問題的已知條出發(fā)，找到三角形邊角之間的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀。例4：已知鈍角三角形 ABC的三邊a k,b k 2,c k 4,求k的取值范圍?！军c撥】由題意知 ABC為鈍角三角形，按三角形中大邊對大角的原則，結(jié)合 a,b,c的大小 關(guān)系，故必有C角最大且為鈍角，于是可有余弦定力理求出k的取值范圍。解：Q c2 a2 b2 2abcosC,當(dāng)C為鈍角時，2abcosC >0, a2 b2 < c2,222k k 2 v k 4 ，解得-2 vk<6.而 k+k+2>k+4,k>2.故 2<卜6.故女的取值范圍是2,6 .【解題策略】應(yīng)用三角形三邊關(guān)系時，應(yīng)注意大邊對大角?？疾禳c3：利用余弦定理證明三角形中的等式問題例6在VABC中，角A, B, C的對邊分別是 a, b, c。sin A Bsin C