數(shù)值線性代數(shù)(徐樹芳老師)第一章答案_第1頁
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文檔簡介

1、習(xí)題1求下三角陣的逆矩陣的詳細(xì)算法。解 設(shè)下三角矩陣L的逆矩陣為T我們可以使用待定法,求出矩陣T的各列向量。為此我們將T按列分塊如下:注意到我們只需運(yùn)用算法1·1·1,逐一求解方程便可求得注意 考慮到內(nèi)存空間的節(jié)省,我們可以置結(jié)果矩陣T的初始狀態(tài)為單位矩陣。這樣,我們便得到如下具體的算法:算法(求解下三角矩陣L的逆矩陣T,前代法)設(shè)為兩個上三角矩陣,而且線性方程組的算法,求解該方程組。 是非奇異的,試給出一種運(yùn)算量為解 因上三角矩陣T的逆矩陣,故為求解線性方程組,依照上題的思想我們很容易得到計算,可先求得的算法。于是對該問題我們有如下解題的步驟:(1)計算上三角矩陣T的逆矩

2、陣,算法如下:算法 1(求解上三角矩陣的逆矩陣,回代法。該算法的的運(yùn)算量為)(2)計算上三角矩陣。運(yùn)算量大約為.(3)用回代法求解方程組:.運(yùn)算量為;(4)用回代法求解方程組:運(yùn)算量為。 算法總運(yùn)算量大約為:證明:如果變換。 是一個Gauss變換,則也是一個Gauss解 按Gauss變換矩陣的定義,易知矩陣證明它是Gauss變換是Gauss變換。下面我們只需的逆矩陣。事實(shí)上注意到,則顯然有從而有確定一個Gauss變換L,使解 比較比較向量量和可以發(fā)現(xiàn)Gauss變換L應(yīng)具有功能:使向的第三行加上第一行的2的第二行加上第一行的2倍;使向量倍。于是Gauss變換如下證明:如果有三角分解,并且是非奇異

3、的,那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。證明 設(shè),其中都是單位下三角陣,都是上三角陣。因?yàn)锳非奇異的,于是注意到,單位下三角陣的逆仍是單位下三角陣,兩個單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣;上三角陣的逆仍是上三角陣,兩個上三角陣的乘積仍是上三角陣。 3因此,上述等將是一個單位下三角陣與一個上三角陣相等,故此,它們都必是單位矩陣。即從而即A的LU分解是唯一的。 設(shè)的定義如下,證明A有滿足的三角分解。證明 令下是單位下三角陣,是上三角陣。定義如容易驗(yàn)證: 設(shè)A對稱且,并假定經(jīng)過一步Gauss消去之后,A具有如下形式證明仍是對稱陣。證明 根據(jù)Gauss變換的屬性,顯然做矩陣A的

4、LU分解的第一步中的Gauss變換為其中,將A分塊為那么即由A的對稱性,對稱性則是顯而易見的。 設(shè)是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣,即A滿足又設(shè)經(jīng)過一步Gauss消去后,A具有如下形式試證:矩陣仍是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣。由此推斷:對于對稱的嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣來說,用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同樣的結(jié)果。證明 依上題的分析過程易知,題中的于是主對角線上的元素滿足(1)非主對角線上的元素滿足由于A是嚴(yán)格對角占優(yōu)的,即故從而(2)綜合(1)和(2)得即,矩陣仍是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣。設(shè)有三角分解。指出當(dāng)把Gauss消去法應(yīng)用于矩陣時,怎樣才能不必存儲L而解出Ax=b?需要多少次乘法運(yùn)算?解 用Gauss消去法

5、作A的LU分解,實(shí)際上就是對系數(shù)矩陣A作了一組初等行變換,將其化為上三角矩陣U。而這一組的初等行變換對應(yīng)的變換矩陣就是即如果把這一組初等行變換施加于方程右端向量b上,即有,這就是說,方程組和是同解方程。而后者是上三角形方程組,可運(yùn)用本章算法1·1·2求解。這樣我們就不必存儲L,通求解方程組來求解原方程組。算法如下:(1)用初等變換化;(2)利用回代法求解方程組。該算法所需要的加、減、乘、除運(yùn)算次數(shù)為10A是正定陣,如果對A執(zhí)行Gauss消去一步產(chǎn)生一個形式為的矩陣,證明證明 不妨設(shè)仍是正定陣。從而有由于非奇異,故對且,構(gòu)造,及,則由A的正定性有由x的任意性知,11設(shè)正定。并

6、且是非奇異的。矩陣稱為是在A中的Schur余陣。證明:如果有三角分解,那么經(jīng)過步Gauss消去以后,S正好等于(1·1·4)的矩陣證明 因?yàn)橛腥欠纸?,所以矩陣A可保證前步Gauss消去法可以順利完成。即有如下單位下三角矩陣使注意到比較兩式便知,故有12證明:如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU,則對任意有證明 略。13利用列主元Gauss消去法給出一種求逆矩陣的實(shí)用算法。解 設(shè)A是非奇異的,則應(yīng)用列主元Gauss消去法可得到這里:P是置換陣,L是單位下三角陣,U是上三角陣。于是,通過求解下列n個方程組便可求得于是也就是說,求A的逆矩陣,可按下列方案進(jìn)行:(1)用列

7、主元Gauss消去法得到:;(2)經(jīng)求解:得;(3)對X進(jìn)行列置換得:。14假定已知元素。解 求解方程組的三角分解:A=LU。試設(shè)計一個算法來計算的(i,j)則x的第i個分量就是的(i,j)元素。15證明:如果解A=LU并且 是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣(參見第8題),那么A有三角分證明 仿照第8題的證明,容易證明:對于一步Gauss消去后,得到是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣,經(jīng)過其中仍是嚴(yán)格對角占優(yōu)陣。A的三角分解A=LU中這樣,我們在對A進(jìn)行列主元三角分解時,不需要選擇主元,因?yàn)槊看蜗獣r,主元位置上的元素恰好是列主元。因此,16形如的矩陣稱作Gauss-Jordan變換,其中.(1)假定非奇異,試給出計算其逆矩陣

8、的公式。(2)向量滿足何種條件才能保證存在使得?(3)給出一種利用Gauss-Jordan變換求的逆矩陣的算法。并且說明A滿足何種條件才能保證你的算法能夠進(jìn)行到底。解 為解決本問題,我們引入Gauss-Jordan變換的兩個性質(zhì):性質(zhì)1:事實(shí)上, .性質(zhì)2:Gauss-Jordan變換非奇異的充分必要條件是.(1)運(yùn)用待定法,首先設(shè)的逆矩陣為,則有故應(yīng)有(2)欲使,則應(yīng)有即因此,應(yīng)滿足,便可按上述方法得到使得。(3)設(shè)A的逆矩陣,則應(yīng)有下面我們給出利用Gauss-Jordan變換求解方程組的計算方法。算法如下:假定A的各階主子陣非零,記第1步:假若用左乘和,令,得到,構(gòu)造,其中第2步:假定,用

9、,令左乘和,得到,構(gòu)造其中照此下去,直到第n步:假定,構(gòu)造,用左乘和,得到經(jīng)上述n步,我們得知:故證明 對于用歸納法。當(dāng)成立,下面只需證明:若即可。由歸納假定知可以進(jìn)行步,即可得到時,定理顯然成立。假定定理直到非奇異的充要條件是的充分必要條件是矩陣的各階順序主子陣非奇非奇異,則因此,Gauss-Jordan約化過程至少個Gauss-Jordan變換使(16-1) 由此可知的階順序主子陣有如下形式若將的階順序主子陣分別記為,則由(16-1)知注意到 所以即非奇異的充要條件是17證明定理1·3·1中的下三角陣L是唯一的。證明 因A是正定對稱矩陣,故其各階主子式均非零,因此A非奇

10、異。為證明L的唯一性,不妨設(shè)有和使那么注意到:和是下三角陣,和為上三角陣,故它們的逆矩陣也分別是下只能是對角陣,即三角陣和上三角陣。因此,從而于是得知18證明:如果A是一個帶寬為2m+1的對稱正定帶狀矩陣,則其Chelesky因子L也是帶狀矩陣。L的帶寬為多少?證明 帶寬為2m+1的矩陣的認(rèn)識:當(dāng)m=1時,2m+1=3,該帶寬矩陣形為:對m為任意一個合適的正整數(shù)來說,帶寬為2m+1的矩陣元素有如下特征:結(jié)合這一特征,對于帶寬為2m+1的對稱正定帶狀矩陣Ar的Colicky分解算法,可改寫成下列形式:從算法不難看出:Colicky因子L是下三角帶狀矩陣,L的帶寬為m+1.19若階順序主子陣是A的

11、Cholesky分解,試證L的i階順序主子陣的Cholesky因子。 16 正好是A的i證明 將A和L作如下分塊其中:為矩陣A和L的i階順序主子陣。顯然故有。即是的Colicky分解。20證明:若唯一的分解式是對稱的,而且其前個順序主子陣均非奇異,則A有其中L是單位下三角矩陣,D是對角矩陣。證明 先證明存在性。根據(jù)定理1·1·2知,存在單位下三角陣L和上三角陣U,使A=LU,且U的主對角線上元素除外,其余都不為零。令使,即有,則有單位上三角陣 又因?yàn)?,則從而根據(jù)L和的可逆性知:該等式左端是一個上三角陣,右端是下三角陣。因此它們等于對角陣。再注意到單位上三角陣的乘積仍是單位上

12、三角陣,單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣。因此兩端都等于D。于是從而有再證唯一性。令,故有。左邊為下三,故角陣,右邊為上三角陣,故等于對角陣。又因。21給出按行計算Cholesky因子L的詳細(xì)算法。解 略。22利用改進(jìn)的平方根法設(shè)計一種計算正定對稱矩陣的逆的算法。解 算法可分為以下幾個步驟:(1)首先利用算法1·3·2計算出正定矩陣的如下分解其中,L是單位下三角陣,D是對角陣。(2)求解矩陣方程其解矩陣.(3)求解矩陣方程其解矩陣(4)求解矩陣方程其解矩陣注意 以上(2)、(3)、(4)步都是求解非常簡單的方程組,算法實(shí)現(xiàn)起來很容易。23設(shè)用平方根法證明A是正定的,并給出方程組解 由Colesky分解可得其中的解。顯然,L是非奇異矩陣。因此,對.于是所以是正定的。由方程組,解得

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