壓縮映射原理

1、泛函分析題1_1壓縮映射原理p9證明完備度量空間的閉子集是完備的子空間，而任一度量空間中的完備子空間必是閉子集.證明：(1)設(shè)訳，。是完備度量空間，A X，A是X的閉子集.若xn是A中的Cauchy列，則xn也是X中的Cauchy列.因(X, ?)完備，故Xn收斂于X中某點x.而A是X的閉子集，且Xn是A中的點列，故其極限x也在A中.因此，xn是子空間A中收斂列.所以，子空間(A,二)是完備的.(2)設(shè)(X, )是度量空間，B X，B是X的完備子空間.若xn是B中的點列，且在 X中收斂于x X .則xn是X中的Cauchy列，因此xn也是B中的Cauchy列.由B是X的完備子空間，故xn也是B

2、中的收斂列.若xn在B中收斂于y B，則xn作為X中的點列也收斂于y .由極限的唯一性，x y .故x B.所以B是X中的閉子集.1.1.2 (Newton 法)設(shè)f是定義在a, b上的二次連續(xù)可微的實值函數(shù)，z (a, b)使得f=0，f' (z) = 0.求證存在z的鄰域U(z)，使得一xo，U(z)，迭代序列Xn +1 = Xn_f(Xn)/f' (Xn) ( n = 0, 1,2,.)是收斂的，并且lim n .；: Xn = z.證明：首先，由f'(z) = 0，存在z的鄰域V (a, b)，使得f'在cl(V)上總不 設(shè) m = min | f

3、9; (x) | x cl(V), M = max | f' ' (x) | x cl(V)，則 m > 0 .由f (z) = 0，存在z的鄰域U = ( z - , z + - ) V，使得-t cl(U), | f (t) | < m2/( M + 1).設(shè) T : cl(U)；，T(x) = x-f (x)/f'(x).則 T 在 cl(U)上是連續(xù)可微的.則-x, y cl(U),存在 U，使得 T(x) -T(y) = T' ( )(x - y).故| T(x) -T(y) | = | T' ( ) | x-y | = | f(

4、) f' '( )/f ' ()2| x - y|< m2M/( M + 1) m2) -| x _y | = ( M/( M + 1)-|x y |.特別地，x cl(U)，| T(x) -T(z) | < (M/( M + 1)-| x - z| <| x - z |.而 T(z) = zf (z)/f' (z) = z，故 | T(x) -z | ，即 T(x) cl(U).所以，T是cl(U)上的壓縮映射.-X0 U，迭代序列 xn +1 = Xn - f (Xn)/f' (Xn) ( n = 0, 1,2,.)就是cl(U)上

5、的壓縮映射T所產(chǎn)生迭代序列xn +1 = T(xn) ( n = 0, 1,2,.).由壓縮映射原理，Xn是收斂的，并且lim n ； ： Xn = z.1.1.3 設(shè)(X,是度量空間，映射 T : X > X 滿足:?(Tx, Ty) < ?(x, y)x -y)，并 且已知T有不動點，求證此不動點是唯一的.證明：若不然，設(shè)T有不同的不動點x, y X，則'(x, y) = :?(Tx, Ty) < : (x, y)， 矛盾.故T的不動點是唯一的.設(shè)T是度量空間上的壓縮映射，求證 T是連續(xù)的.證明：設(shè)(X, :?)是度量空間，0 < : < 1，T :

6、X > X是滿足：(Tx, Ty) <： (x, y) (_x, y X )的壓縮映射.若Xn是X中收斂于X的點列，貝U *Xn, X) > 0 .而?(TXn, TX) < : (Xn, X)，故有 “TXn, Tx) > 0 .因此T連續(xù).設(shè)T是壓縮映射，求證T n (n+)也是壓縮映射，并說明逆命題不一定成立.證明：(1)設(shè)(X, ?)是度量空間，0 << 1，T : X > X是滿足：(Tx, Ty) < : (x, y) (x, y X )的壓縮映射.-n-+，若S = T n是壓縮映射，則-x, y X，有：(T n+1 x,

7、T n+1 y) = :?(T n(Tx), T n(Ty) = (S(Tx), S(Ty)遼'(Tx, Ty) (x, y).所以T n+1也是壓縮映射.由數(shù)學(xué)歸納法原理，T n (n+)都是壓縮映射.(2)逆命題不成立的例子：考慮T : 0, 2 > 0, 2，其中T定義如下：當(dāng) x 0, 1時，T(x) = 0 ;當(dāng) x (1,2時，T(x) = x - 1 .顯然T不是壓縮映射.但-x 0, 2，T(T(x) = 0 .因此，T2是壓縮映射.設(shè)M是(訃，：)中的有界閉集，映射 T : M > M滿足：?(Tx, Ty) < '(x, y)x, y M，

8、x =y).求證T在M中存在唯一的不動點.證明：(反證法)假若T在M中沒有不動點.顯然，T在M上是連續(xù)的，故函數(shù)'(X, Tx)在M上連續(xù)且恒大于0.因M是C；n,'）中的有界閉集，故（X, Tx）在M中某點xo處達到下確界.0 <(xo , Txo ) - ' (Txo , T2xo ) <(xo , Txo)，矛盾.所以，T在M中存在不動點.根據(jù)，該不動點是唯一的.1.1.7 對于積分方程 x(t) - .0, 1 et -sx(s) ds = y(t)，其中 y(t) C0, 1為一給定函數(shù)，'為常數(shù).| ' | < 1 ,求證存

9、在唯一解x(t)，C0, 1.證明：首先積分方程等價于 e -t x(t) - ' .o, 1 e -sx(s) ds = e -t y(t)，令 z(t) = e - x(t)，w(t) = e - w(t)，則方程變?yōu)?z(t) - ' jo, 1 z(s) ds = w(t).因此只要證明上面的方程有唯一解z(t)，Co, 1.設(shè) T : Co, 1> Co, 1，(Tz)(t) = w(t) + ' o, 1 z(s) ds.則一Z1, Z2 C0, 1，| (Tz1)(t) - (Tz2)(t) | = | ' | .o, 1(Z1(s) - Z2(s) ds |豈 | ' | .o, 1 | Z1(s) - Z2(s) | ds - |' | max t