找規(guī)律及定義新運算

1、板塊1模塊一、【例1】【鞏固】（2008北京中考）一組按規(guī)律排列的式子：子是,第n個式子是 （2008年陜西中考）搭建如圖的單頂帳篷需要,2 .5,8 .112 ,上，b_, .b_ , . （ab 0）,其中第7個式 a aaan為正整數）.17根鋼管，這樣的帳篷按圖、圖的方式串、找規(guī)律代數中的找規(guī)律點A、A、A3、An （ n為正整數）都在數軸上.點 A1在原點O的左邊，且AO 1 ;點& 在點A的右邊，且A2A 2；點A在點4的左邊，且A3fA 3 ;點A4在點A的右邊，且A4A3 4 ；, 依照上述規(guī)律，點 4008、A2009所表示的數分別為（）.A. 2008、2009 B

2、.2008、2009C. 1004、 1005 D. 1004、 1004如圖，點A、B對應的數是a、b,點A在3、 2對應的兩點（包括這兩點）之間移動，點B在1、 0對應的兩點（包括這兩點）之間移動，則以下四式的值，可能比 2008大的是（）.-3a-2-1 b0»1 ,-1 入11r ,、2A. ba B. C.D. （ab）b a a b起來搭建，則串7頂這樣的帳篷需要 根鋼管.【例2】（2010年北京中考）右圖為手的示意圖，在各個手指間標記字母A,B,C, Do請你按圖中箭頭所指方向（即A BCDCBABC的方式）從A開始數連續(xù)的正整數 1, 2, 3,4，當數到12時，對應

3、的字母是 ;當字母C第201次出現(xiàn)時，恰好數到的數是 ;當 字母C第2n 1次出現(xiàn)時（n為正整數），恰好數到的數是 （用含n的代數式表示）。（2010河北中考）將正方體骰子（相對面上的點數分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1 .在圖2中，將骰子向右翻滾 90 ,然后在桌面上按逆時針方向旋轉90 ,則完成一次變換.若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數是（）向右翻滾90°圖1逆時針旋轉90°A. 6B. 5 C. 3 D. 2（2010濟南中考）觀察下列圖形及圖形所對應的算式，根據你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算1 8 16

4、 24 . 8n1+8+1+8+16+24=?（n是正整數）的結果為（）1中：共有1個小立方體，其中1個他們研究過圖1 2中的A. 15B. 25C. 55D. 1225（2010山東青島）如圖，是用棋子擺成的圖案，擺第1個圖案需要7枚棋子，擺第2個圖案需要19枚棋子，擺第3個圖案需要枚棋子，擺第n個圖案需要37枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第 枚棋子.6個圖案需要A. (2n 1)2B. (2n 1)2C. (n 2)2D. n2【鞏固】觀察下列由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖看得見，0個看不見；如圖2中：共有8個小立方體，其中7個看得見，1個看不見；如圖3中：共有27個小

5、立方體，其中有 19個看得見，8個看不見；，則第 6個囪出 蕓木m的爪壬十 個.（2010日照中考）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，例如：中的1,3 6 10,.,由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似地，稱圖1,4 9 16,.,這樣的數為正方形數.下列數中既是三角形數又是正方形數的是（）(4) (2010安徽中考)下面兩個多位數1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：將第一位數字乘以2,若積為一位數，將其寫在第2位上，若積為兩位數，則將其個位數字寫在第 2位。對第2位數字再進行如上操作得到第3位數字，后面的每一位數字都是由前一位數字進行如上操作得

6、到白當第1位數字是3時，仍按如上操作得到一個多位數，則這個多位數前100位的所有數字之和是()A. 495 B. 497 C. 501 D. 503【鞏固】觀察按下列規(guī)則排成的一列數:112123123412345一，一，一，一，一，一，一，一，一，一121321432154321-,在式子中，從左起第6m個數記為F(m),當F(m)22001時，求m的值和這m個數的積.【例3】觀察下面的變形規(guī)律:2, 2 3解答下面的問題: 若n為正整數，請你猜想 證明你猜想的結論;求和：2009 2010【鞏固】閱讀下列材料：11 2 一 1 2 3 0 1 2, 312 3 -234123,3c1cC

7、C3 4 - 3 4 5 2 3 4, 3由以上三個等式相加，可得 1c “1 2 2 3 3 4 - 3 4 5 20。 3讀完以上材料，請你計算下列各題：(1)122334.10 11 (寫出過程)；122334n n 1;12323434 5 7 8 9【鞏固】已知：C32323,C535 4 310, C646 5 4 315,.觀察上面的計算過程，尋找規(guī)律并1 21 2 31 2 3 4計算C106 .【例4】現(xiàn)有一列數為，a2,a3,，a98 ,a99, a100，其中a39 ,a77 ,a981 ,且滿足任意相鄰二個數的和為常數，則a1 a2 a3 La99 a100的值為（）.

8、A. 0B. 40C. 32 D. 26【鞏固】如果一個序列 a滿足ai 2, an 1 an 2n （n為自然數），求a.的值.例5 右圖是中國古代著名的 “楊輝三角形”的示意圖，根據圖中所示規(guī)律,前n橫行的數字和為1010觀察下列等式：13 12, 132332,13233362,13 23 33 43 102,，想一想:等式左邊各個哥的底數與右邊哥的底數有什么關系，13 23 33 43 . 1003 的值.并用等式表示出規(guī)律；再利用這一規(guī)律計算例6 15在數軸上，點A和點B都在與 對應的點上,4若點A以每秒3個單位長度的速度向右運動， 點B以每秒2個單位長度的速度向左運動，則 段AB的

9、長度是多少？7秒之后，點 A和點B所處的位置對應的數是什么？這時線如圖所示，數軸被折成90 ,圓的周長為 讓圓周上數字2所對應的點與數軸上的數4個單位長度，在圓的4等分點處標上數字0,1, 2 , 3 .先3所對應的點重合,向滾動，那么數軸上的數 2009將與圓周上的數字數軸固定, 重合.圓緊貼數軸沿著數軸的正方第3段為5個單位長度，,把一數軸折成如圖所示， 第1段為1個單位長度，第2段為3個單位長度,有一個圓，圓上刻一指針，開始指針朝東，圓周為4個單位長度，圓所示位置為數軸原點，現(xiàn)開始緊貼數軸沿著數軸的正方向滾動，當圓與2009接觸時，指針指向把一數軸折成如圖所示，第1段為1個單位長度，第2

10、段為2個單位長度，第3段為3個單位長度,4個單位長度，圓緊貼數軸沿著數軸的正點O處有一個圓，圓上刻一指針，開始指針朝東，圓周為（東、南、西、北），當圓與2009接觸時，指針指向方向滾動，當圓與點 A接觸時，指針指向 （東、南、西、北）.如圖所示，圓的周長為 4個單位長度，在圓的4等分點處標上數字0, 1, 2, 3.先讓圓周上數字0 所對應的點與數軸上的數1所對應的點重合，再讓數軸按逆時針方向繞在該圓上，那么數軸上的數2006將與圓周上的數字 重合.如圖所示，按下列方法將數軸的正半軸繞在一個圓（該圓周長為 點處分別標上了數字 0、1、2）上：先讓原點與圓周上數字-5-4-3-23個單位長度，且

11、在圓周的三等分0所對應的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數軸上 1、2、3、4、所對應的點分別與圓周上 應的點重合.這樣，正半軸上的整數就與圓周上的數字建立了一種對應關系.1、2、 0、1、所對圓周上的數字a與數軸上的數5對應，則a數軸上的一個整數點剛剛繞過圓周n圈（n為正整數）后，并落在圓周上數字位置，這個整數是 （用含n的代數式表示）1所對應的5【鞏固】如圖所示，一數軸被折圍成長為 3,寬為2的長方形，圓的周長為的情況下，圓緊貼數軸沿數軸正方向滾動，當圓與7接觸的時候,4且圓上刻一指針，若在數軸固定 指針的方向是（）76【鞏固】如圖，用數軸繞圓O三圈，圓周上的點B與數軸上表示

12、 6.9、 合的點所對應的數最接近是（）0.9、5.1的點重合，數軸上與點A重A.2.3 B. 1.9 C. 2.7D. 6.2研究下面的一列數：1, 3, 5,7,9,11, 13,，照此規(guī)律，請你用表達式表示出第n個【例9】 右圖是一回形圖，其回形通道的寬和OB的長均為1,回形線與射線 OA交于A1, A2, Aa,.若從O點到A點的回形線為第1圈（長為7）,從A1點到A2點的回形線為第2圈，依此類推.則第10圈 的長為.1【例 10 如果 an1 (n 1, 2, 3,，2009),那么，當 a1 1 時，a/ a2a3a a2008a2009 的值是多1 an少？【例11】一根拉直的繩

13、子從中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的繩子分成n 1段，需n刀，這就是說線段上n個點將線段分成n 1段，但是將一根繩子對折以后再從中剪一刀，繩子變成了3段；將一根繩子對折兩次后再從中剪一刀，繩子變成5段，試問：(1)將一根繩子對折 4次后，從中剪一刀，繩子變成幾段？(2)將一根繩子對折 2003次后，從中剪一刀，繩子變成幾段？(3)能否將一根繩子對折若干次后，從中剪一刀，繩子變成2003段，如果能，求出對折的次數，如果不能，請說明理由.【鞏固】 有依次排列的3個數：3, 9, 8,對任相鄰的兩個數，都用右邊的數減去左邊的數，所得之差寫在這兩個數之間，可產生一個新數串：3,6,9, 1,8,這稱

14、為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產生一個新數串：3, 3, 6,3, 9, 10, 1,9,8,繼續(xù)依次操作下去，問：從數串 3,9 , 8開始操作第一百次以后所產生的那個新數串的所有數之和是多少？【例12】在一個正方形的四個頂點處，按逆時針方向各寫了一個數：2, 0, 0, 1 .然后取各邊中點，并在各中點處寫上其所在邊兩端點處的兩個數的平均值.這四個中點構成一個新的正方形，又在這個新的正方形四邊中點處寫上其所在邊兩個端點處的兩個數的平均值.連續(xù)這樣做到第10個正方形，則圖上寫出的所有數的和是 .【例13有A1、A2、A3三個舞蹈演員在舞臺上跳舞，面對觀眾作隊形變化，其變化規(guī)律是：一個

15、舞蹈演員 A1跳舞，面對觀眾作隊形變化的種數是A1為1種.二個舞蹈演員 A1、A2跳舞，面對觀眾作隊形變化的種數是A1A2、A2A1為2種即1 2種.二個舞蹈演貝 A1、A2 > A 3跳舞，面對觀眾作隊形變化的種數是AA2A 3、AA 3A2、A2A1A3、A2A3A1、A3A1A2、A3A2A1 為 6種即 1 2 3 種.請你猜測： 四個舞蹈演員 A1、A2、A3、A4跳舞，面對觀眾作隊形變化的種數是 種.種.（用 六個舞蹈演員AA?、A3、A6跳舞，面對觀眾作隊形變化的種數是科學記數法表示）用1、2、3、4、5、6、7共7個數字排列成7位數的電話號碼.（在同一個電話號碼內每個數字

16、只能用一次）可能排成個電話號碼.模塊二、幾何圖形中的規(guī)律【例14 觀察下列圖形（每幅圖中最小.的三角形都是一樣的），請寫出第n個圖中最小.的三角形的個數有 個.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖 規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第七個疊放的圖形中,A. 25B. 66C.91D. 120圖32、圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的 小正方體木塊總數應是（圖2A,定義為第2005塊瓷磚最多能完整地鋪滿.組，此時還剩余塊瓷磚.用大小相同的正六邊形瓷磚按如圖所示的方式來鋪設廣場，中間的正六邊形瓷磚記為 一組，在它的周圍鋪上六塊同樣大小的正六邊形瓷磚，定義為第二組，在第二組的外圍用同樣大小 的正六邊形

17、瓷磚來鋪滿，定義為第三組，按這種方式鋪下去，用現(xiàn)有的【例15 一質點P從距原點1個單位的A點處向原點方向跳動， 第一次跳動到OA的中點A處，第二次從A1點 跳動到OA的中點A2處，第三次從 A2點跳動到OA2的中點A3處，如此不斷跳動下去，則第 n次跳動 后，該質點跳過的總距離為 .4 x【鞏固】如右圖，AOB 45 ,過OA上到點O的距離分別為1, 3, 5, 7, 9, 11,，的點作OA的垂線與OB相交得到并標出一組黑色梯形，它們的面積分別為S1 , S2 , S3 , S4 ,.觀察圖中的規(guī)律，求出第10個黑色梯形的面積 S10 .0 1 3 5 7 9 11 13 L A【鞏固】如

18、圖是一組有規(guī)律的圖案， 第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖形組成, 第n ( n是正整數)個圖案中由個基礎圖形組成.(1)(2)【鞏固】 假設有足夠多的黑白圍棋子，按照一定的規(guī)律排成一行，如圖：oo»eo«oo*o*oo»»o«oo»»o* 那么請問第2007個棋子是黑的還是白的？ 答： .【鞏固】 探索圖形規(guī)律，在數學活動課上，小紅同學準備用兩種不同顏色的布拼接一個正方形杯墊，杯墊的 圖案設計如上圖所示，最后應選擇下圖中的哪一個才能使其與上圖拼接后符合圖案的設計模式( ).【鞏固】觀察下列圖形:根據圖1、

19、圖2、圖3的規(guī)律，圖4中的三角形的個數為 【例16如圖擺放在地上的正方體的大小均相等，現(xiàn)在把露在外面的表面涂成紅色,-第一層-第二層-第三層從上向卜.數，每層正方體被涂成紅色的面數分別為A層：側面?zhèn)€數 上面?zhèn)€數 14 15;第二層：側面?zhèn)€數上面?zhèn)€數 2 4 3 11；第三層：側面?zhèn)€數上面?zhèn)€數 3 4 5 17;第四層：側面?zhèn)€數上面?zhèn)€數 4 4 7 23;根據上述的計算方法，總結規(guī)律，并完成下列問題：求第6層有多少個面被涂成了紅色？求第n層有多少個面被涂成了紅色？（用含n的式子表示） 若第m層有89個面被涂成紅色，請你判斷這是第幾層？并說明理由.【例17 電子跳蚤游戲盤是如圖所示的ABC , A

20、BBP0 2 .跳蚤第一步從 P0跳到AC邊的P1 （第的巳（第2次落點）處，且AB 跳蚤按照上述規(guī)則一直跳下去，第AP1;第三步從 n次落點為AC BC 6 .如果跳蚤開始時在 BC邊的P0處，1次落點）處，且 CP1 CP0 ;第二步從P1跳到AB邊 巳跳到BC邊的E（第3次落點）處，且BE BP2； R （n為正整數），則點P2009與點B010之間的距離為【例18 圖1是棱長為a的小正方體，圖 上而下分別叫第一層、第二層、2、第圖3由這樣的小正方體擺放而成.按照這樣的方法繼續(xù)擺放，由n層，第n層的小正方體的個數為 s .解答下列問題：圖3n1234s136寫出當n10 時，s圖1圖2按

21、照要求填表：【例19】如下圖，將一張正方形紙片，剪成四個大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一個小正方形再按 同樣的方法剪成四個小正方形，再將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如此循環(huán)進行下去；填表:剪的次數12345止方形個數47 如果剪了 100次，共剪出多少個正方形? 如果剪n次，共剪出多少個正方形?(4)觀察圖形，你還能得出什么規(guī)律？【例20】如圖，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點， 這個六邊形點陣共有 n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共 有多少個點？【例21】圖1是一個方陣圖，每行的 3個數，每列的3個

22、數，斜對角的3個數相加的和均相等.如果將方陣圖中的每個數都加上同一數，那么方陣圖中每行的3個數，每列的3個數，斜對角的3個數相加的和仍然相等，這樣形成一個新的方陣圖.根據圖 成圖2、3、4的方陣圖嗎？2、圖3、圖4中給出的數,對照原來的方陣圖，你能完S圖2一圖3【鞏固】“九宮圖”傳說是遠古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中國古代數學史上經常研究這一神話. 現(xiàn)有1、2、3、4、5、6、7、8、9共九個數字，請將它們分別填入圖1的九個方格中，使得每行的三個數、每列的三個數、斜對角的三個數之和都相等.每一列的三個數的和為多 少？給出一種填法.通過研究問題，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，將3、5

23、、 7、1、7、 3、9、 5、 1,這九個數字分別填入圖2的九個方格中，使得橫、豎、斜對角的所有三個數的和都相等.圖1圖2【例22】n個數圍成一圈，每次操作把其中某一個數換成這個數依次加上相鄰的兩個數后所得的和，或者換 成這個數依次減去與它相鄰的兩個數后所得的差.例如： 能否通過若干次操作完成下圖中的變換？請說明理由. 能否通過若干次操作完成下圖中的變換？請說明理由. 能否通過若干次操作完成下圖中的變換？請說明理由.版塊二、定義新運算【例23】我們常用的數是十進制數，而計算機程序處理數據使用的只有數碼0和1的二進制數，這二者可以相互換算，如將二進制數1011換算成十進制數應為：1 23 0

24、22 1 21 1 20 11 .按此方式，則將 十進制數6換算成二進制數應為 .【鞏固】計算機在進行數學運算時采用的是二進制，二進制的所有數都用字符十進制數的對應關系如下表0和1的組合表示，二進制數與十進制0123456789二進制01101110010111011110001001二進制數的加法逢二進一，如:1 0 1 , 1 1 10, 10 0 10, 10 1 11 , 11 0 11 , 觀察上表，十進制的10怎么表示？二進制的兩個數相加：10 11 .若十進制數3與二進制數x的和為二進制數111 ，即3 x 111,求二進制數x .【例24】讀一讀：式子“ 1 2 3 4 5 L

25、 100”表示1開始的100個連續(xù)自然數的和.由于上述式子比 100較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可以將“1 2 3 4 5 L 100”表示為 n ,這n 1里"”是求和符號.50例如：1 3 5 7 9 L 99,即從1開始的100以內的連續(xù)奇數的和，可表示為（2n 1）;n 1 10 33333333333又如123456789 10可表本為n .n 1通過對以上材料的閱讀，請解答下列問題.（1） 2 4 6 8 10 L 100（即從2開始的100以內的連續(xù)偶數的和）用求和符合可表示為 . 5計算（n2 1） .（填寫最后的計算結果）n 1【鞏固】我們常用的數是十進制

26、數，如4657 4103610251017 100 ,數要用10個數碼（又叫數字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 ,在電子計算機中用的二進制，只要兩個數碼：0和1,如21054321一進制中110 1 2 1 2 0 2等于十進制的數 6 , 110101 1 2 1 2 0 2 1 2 0 21 20等于十進制的數53.那么二進制中的數 101011等于十進制中的哪個數？【例25（4級）（第20屆希望杯培訓試題）若用漢字的四角號碼作為密碼來傳送“希望杯”這三個字，即是“ 4022 0710 4199 ”.現(xiàn)在改換成新的密碼，規(guī)則是：原碼千位、十位不變，將百位、個位分別變成關于9的補

27、碼，即0變成9 ; 1變成8 ; 2變成7 ;.則“希望杯”這三個字的新密碼是 【鞏固】在密碼學中，你直接可以看到的內容為明文（真實文），對明文進行某種處理后得到的內容為密文，現(xiàn)有一種密碼把英文的明文單詞按字母分解，其中英文的26個字母（不論大小寫）依次又應1,2,3,26這26個自然數,見以下表格：abcdefghijklm12345678910111213noPqrstuvwxyz14151617181920212223242526x 1 x現(xiàn)給出一個公式：當1 x 26時，若x不能被2整除，則X' ；若x能被2整除，則x 1322將明文字母對應的數字 x按以上公式計算得到密文字母

28、對應的數字x',比如明文字母為 g,則有7 1g 7 4 d ,所以明文字母g對應的密文字母為d.2按照上述規(guī)定，將明文 good譯成的密文是什么？寫出你的計算過程；按照上述規(guī)定，請你寫出由密文字母x'得到明文字母x的公式；按照中得到的公式，密文gawqj所代表的明文單詞是什么？（直接寫出結果）【例26】有一個運算程序，可以使：a b n（n為常數）時，得（a 1） b n 1, a （b 1） n 2 .現(xiàn)在已知 1 1 2,那么 2008 2008 .【鞏固】我國古代先賢用一種絕妙而形象的二進制計數符號來表示萬事萬物，即用“一”表示“1”，用“-”表示“ 0”；亦用“三”表示“1”，即二進進的“ a b c 2 64 ”；用“三”表示“ 6”，即二進帛的“110”.那么“三”，“三”，“三三”，“三”，“三”和“三”依次表示 【例27】對于數x,符號x表示不超過x的最大整數.若關于x的方程3x忖 4有正整數解，則a的取值 3范圍為