圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)(詳實(shí)而完備)總結(jié)版

1、直線圓圓錐曲線，基礎(chǔ)知識(shí)橢圓雙曲線拋物線定義與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的與一個(gè)定點(diǎn)和一條定和等于常數(shù)差的絕對(duì)值等于常數(shù)直線的距離相等標(biāo)準(zhǔn)方程X2 y2a b2 2 （或詁+4 J,2 2x y _1 孑卞-12 2（或占-右=1）y2 =2 px2（或 X =2p y）X =acos0（X=a sece廠2x=2 pt參數(shù)方程y =bsi n 6y= bta n8J=2 ptfx =bsi n0（或 iy =acosJ（x= b ta n0 （或 iy =asefx = 2pt（或 «2 ）2 pt隹占八'、八、（±c,0）或（0, ±c）（

2、77;c,0）或（0, ±c）（上,0）或（0,上）2 2正數(shù)a,b,c.c2 =a2 -b2c22丄門(mén)=a +bP的關(guān)系（a Ab >0）（a :>0, b :>0 ）離心率e<1ae= >1 ae =1準(zhǔn)線2 2 aaX = ±（或 y = ±）cc2 2 aaX = ±（或 y = ±）ccX =-呂（或 y = - ）2 2漸近線bby = ± X （或 X = ± y ）aa|P F1I =a +ex）PF1=ex0 a|PF 1 =X0 埠|p F2 =a -ex0PF21 = -e

3、x0 +a（或 |PF "0+衛(wèi)）2焦半徑（或 |p F1I =a+ey0（|PF1I = ey0 -a,|p F2卜a-ey。）PF2I 二yy。+a）,（點(diǎn)P在左或卜支）統(tǒng)一定義到定點(diǎn)的距離與到定,（注:焦點(diǎn)要與對(duì)應(yīng)的距離之比等于定值的點(diǎn)的集合準(zhǔn)線配對(duì)使用）二，跟蹤訓(xùn)練AO丄BO （如圖4y ”1-1, （05廣東）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，拋物線 y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn) 0的兩不同動(dòng)點(diǎn) A、B滿(mǎn)足 所示）.（1）求 AOB的重心G （即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（n）A AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2, （ 05廣東）在平面

4、直角坐標(biāo)系中，已知矩形 ABCD的長(zhǎng)為2,寬為1, AB、AD邊分別在x 軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖 5所示）.將矩形折疊，使 A點(diǎn)落在線段DC 上.（I）若折痕所在直線的斜率為 k,試寫(xiě)出折痕所在直線的方程；（n）求折痕的長(zhǎng)的最大值2=1 ( a aO )與直線I : x + y =1相交于兩個(gè)不同3, (O4全國(guó)I)雙曲線C：冷-y2a的點(diǎn)A , B. (I)求雙曲線 C的離心率e的取值范圍；(II)設(shè)直線I與y軸的交點(diǎn)為 P,且5 PA =PB，求a的值。124, (05重慶)2X2已知橢圓 G的方程為+ y =1,雙曲線C2的左，右焦點(diǎn)分別為4Ci的左，右頂點(diǎn)，而C2

5、的左，右頂點(diǎn)分別是C1的左,右焦點(diǎn)。(I)求雙曲線C2的方程;(II)若直線I : y =kx +罷與橢圓G及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且I與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿(mǎn)足OA OB <6 (其中0為原點(diǎn))，求k的取值范圍。2 2-y2=1X y25, ( 04廣東)設(shè)直線I與橢圓 一+二=1相交于A, B兩點(diǎn)，I又與雙曲線X2516相交于C，D兩點(diǎn)，C，D三等分線段AB。求直線I的方程。 三，簡(jiǎn)明提示1,2 2(I)設(shè) G(x,y), A(X1, y1),B(X2,y2)，則消去為，2,%,丫2得 y=2x +-； 31II ) S饑B = OA OB =22J(x12 +y 12)(

6、x22 + y22) =2Jx14 +X24 +2 冷J2(x,x2)2 +2 =1 ,當(dāng) X|4 = %4 ，即=-X2 = -1時(shí)，等號(hào)成立。解：設(shè)點(diǎn)A落在DC上的點(diǎn)1(I ) AE的方程為：y = -一 xk2,E處，則折痕所在的直線是線段 AE的垂直平分線E點(diǎn)的縱坐標(biāo)恒為1，代入得E點(diǎn)橫坐標(biāo)為k ,由：0 < k < 2，得2 < k < 0折痕的方程為：y-yA+yE2寧”心+寧(其中一2 <k <02(II)若折痕所在直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于1,則折痕與線段CD有交點(diǎn) 若折痕所在直線與直線 X = 2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0，則折痕與線段 AB有

7、交點(diǎn)對(duì)于折痕上的點(diǎn)(x ,y )當(dāng) x=0 時(shí)，令 0<y<1，得：0<k2<1，又一2<k<0，所以1 <k <0 即:當(dāng)-1 <k <0時(shí)，折痕與線段 AD有交點(diǎn)當(dāng) x=2 時(shí)，令 0<y<1，得 3<(k+2)2 <5，又一2<k<0，所以一2 + J3<k<0 當(dāng)2蘭k蘭1時(shí)，折痕與線段 DC有父點(diǎn) 即：當(dāng)-2+J3<k<0時(shí)，折痕與BC的邊有交點(diǎn)當(dāng)-2<k<-2+J3時(shí)，折痕與線段 AB有交點(diǎn) 綜合、。記折痕的長(zhǎng)度為f (k )(1)當(dāng)2+ J3<

8、k<0時(shí)，折痕的兩個(gè)端點(diǎn)分別在AD、BC上f(k)=X2 -捲卜J1+ k2 =2J1 + k2當(dāng) k = 2 + 巧時(shí)，f (k )有最大值 4J2-73 = 2(J6 J2)AB、 ad 上（2） 當(dāng)-1<k <2+J3時(shí)，折痕的兩個(gè)端點(diǎn)分別在f (k )=卜2 -Yi X J1 +孑=21+k2 jh + k2 -用2j（1；k）設(shè)t = k2，gQ J1；），則 g（t）=t2 + 3t十彳+（-2+J5）<t <（1）2）對(duì) g（t）求導(dǎo)數(shù),2則：禺們丿乜-卜心皿一1）t2解 g'(t )3 0 ,得 t = 1 (舍去)或 t>-,而(2

9、 町3（< 因此：g（t）的最大值gmatt) = max *- + 曠)3 辰 打從而得到:fmax ( k )= max f ( 2 + 73), f(_1（3） 當(dāng)_2 <k < _1時(shí)，折痕的兩個(gè)端點(diǎn)分別在 AB、CD上fy2 - y1當(dāng)k =-1時(shí)，f （k淳最大值 罷綜合（1 ）、（2）、（3），得，當(dāng)k = 2 + J3時(shí)，f （k）有最大值2（J6-J5）。r 2區(qū) 2 =3，(I)由a2，得(1 a2)x2 +2a2x2a2 =0 ，有 0 <a < 且 a h1，Ix+y =1JE = J*十1，得 e的取 -值范圍為（w ,運(yùn)）U （邁,S

10、；2(II)設(shè) A(Xi,yi)B(X2,y2), P(0,1),5 5PA = 12 pb，得(" W22 -1)，2a21-a2512 X2-2a2 一1 -a2 '17消去x2，得a =。134, （I）設(shè)所求的方程為2 X2 a= 3,b22=c2-a2=1，有牛-y2 = 1 ；3r 2+ y =1(II)由 4Ly x +72有兩個(gè)不同解得k24,r 2區(qū).由4 3 '有兩個(gè)不同解得Ly =lx +72-y2 =12且k <1，由OACB <6得3k2 <6，即 k2一或 k2 vl 由，得 k 的取值范圍是（一1,-J）U （-一，-丄

11、）U（，一）U（ p3,1）。 3k -1153V15322 31155,解：首先討論I不與X軸垂直時(shí)的情況，設(shè)直線 I的方程為y=kx+b，如圖所示，I與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為:y= kx + b2 2A(X1, y1), B(X2 ,y2),C(X3, y3), D(X4 ,y4)依題意有 AC =DB,AB =3CD，由 x2 y2得I + 丄=1.25 162 2 2(16+25k )x -2bkx + (25b -400) =0.(1).為+x2_ 50bk_ 216 + 25k由丿y/kX/b 得(1k2)x2 2bkx(b2 +1)=0.(2) lx -y =1若k = ±

12、;1，則與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k H ±1X3+X4 二単1 -k2AC = DB = X3 X1 =X2 X4= X1 + X2 =X3 +X450bk 2bk , ,心 c二一2=2 二 bk =0二 k = 0或b =016 + 25k21 -k2(i)當(dāng) k =0時(shí),由(1)得 X1,2 = ±5M6-b2,由得 X3,4 =±Jb2 +14由AB =3CD= xx3(x -x3), 即10 j16-b2 =6jb2 +1 =4故I的方程為y = 土1613b-16201(ii)當(dāng) b=0 時(shí)，由(1)得 X1 2，由(2)得 X3 4 =± .j16 + 25k2j1-k2616由AB =3CD= X2 -為=3(& X3)即= k = ± Jl6 + 25k2 Jl-k22540故1的方程為八±25x再討論1與X軸垂直的情況.設(shè)直線1的方程為X=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得,y1,2