不定積分滴學習ppt課件

1、4.1 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質4.2 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法4.3 不定積分的分部積分法不定積分的分部積分法4.4 積分表的用法積分表的用法第第4章章 不定積分不定積分完畢前頁前頁結束結束后頁后頁 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函數.定義定義 設設f (x) f (x) 在某區(qū)間上有定義，如果對該區(qū)間的任在某區(qū)間上有定義，如果對該區(qū)間的任意點意點x x都有都有 F(x)=f (x) F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dxdF(x)=f (x)dx則稱則稱F(x)F(x)為為 f (

2、x)f (x)在該區(qū)間上的一個原函數在該區(qū)間上的一個原函數. .4.1.1 原函數的概念原函數的概念 例如: ， 是函數 在 上的原函數. ,sin x是cos x在 上的原函數.(,) 32()3xx 2x33x(,) (sin )cos x x4.1 4.1 不定積分的概念與性質不定積分的概念與性質前頁前頁結束結束后頁后頁 (2) (2)如果如果f(x)f(x)在某區(qū)間上存在原函數，那么原函數在某區(qū)間上存在原函數，那么原函數不是唯一的不是唯一的, ,且有無窮多個且有無窮多個注注:(1):(1)如果函數在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數一定存如果函數在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數一定存在具體理由將在下一

3、章給出在具體理由將在下一章給出 例如例如而而在在 上上 是是 的原函數的原函數(,) sin1,sin2xx sin xcosxsin1,sin3xx 也是它的原函數也是它的原函數即即 加任意常數都是加任意常數都是 的原函數的原函數.sinxcosx (3) 若函數 f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數，則其任意兩個原函數只差一個常數項.此結論由此結論由Lagrange定理推論可證定理推論可證前頁前頁結束結束后頁后頁定義定義2 2 如果函數如果函數F(x)F(x)是是f (x)f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I I 上的一個原函數，上的一個原函數，那么那么f (x)f (x)的全體原函數的全體原函數F

4、(x) F(x) C(CC(C為任意常數為任意常數) )稱為稱為f f (x)(x)在區(qū)間在區(qū)間 I I 上的不定積分上的不定積分. . 記作記作( )df xx其中記號其中記號 稱為積分號，稱為積分號，f (x)f (x)稱為被積函數，稱為被積函數，f f (x)dx(x)dx稱為被積表達式，稱為被積表達式，x x稱為積分變量，稱為積分變量，C C為積分常數為積分常數. . ( )d( )f x xF xC，即2.不定積分的概念不定積分的概念前頁前頁結束結束后頁后頁例例2 2 求求21d .1xx21(arctan )()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxx

5、Cx例例1 1 求求.d4xx54()5由由于于，xx解解54d.5xCxx所所以以前頁前頁結束結束后頁后頁例例3 3 求求.d1xx,1) 1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 時，有當解解)0( lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx時，有當1dln (0).xxCxx所所以以, 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx當當1dln().xxCx又又前頁前頁結束結束后頁后頁3 3 不定積分與微分的關系不定積分與微分的關系微分運算與積分運算互為逆運算微分運算與積分運算互為逆運算. . (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特別地，有特別地，有d

6、.xx C(2) ( )d( ) d ( )( )F xxF xCF xF xC或或，前頁前頁結束結束后頁后頁(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxC4.1.24.1.2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式d(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa前頁前頁結束結束后頁后頁22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xx

7、xxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx前頁前頁結束結束后頁后頁例例4 4 計算下列積分計算下列積分.d1(3) .d1(2) .d) 1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx前頁前頁結束結束后頁后頁例例5 計算下列積分計算下列積分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111( ) d( )( )122ln 2 2l

8、n2xxxxCC (2)前頁前頁結束結束后頁后頁4.1.3 不定積分的性質不定積分的性質性質性質1 1 被積函數中不為零的常數因子可以移到積分被積函數中不為零的常數因子可以移到積分號的前面號的前面. .( )d( )dkf xxk f xx).0(kk是常數，性質性質2 2可以推廣到有限多個函數的情形，即可以推廣到有限多個函數的情形，即1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .nnxxxxxxxxxxffffff性質性質2 2 兩個函數的和兩個函數的和( (或差或差) )的不定積分等于各函數的不定積分等于各函數不定積分的和不定積分的和( (或差或差) )，即，即 ( )( )

9、d( )d( )d .f xg xxf xxg xx前頁前頁結束結束后頁后頁例例6 6 求求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注 逐項積分后，每個積分結果中均含有一個任意常數由于任意常數之和仍是任意常數，因此只要寫出一個任意常數即可 前頁前頁結束結束后頁后頁例例7 7 求求xxxd )sin23(xxxxxxxdsin2d d)sin233(解解2 ( cos )2cos.ln3ln333xxxCxC 例例8 8 求求2d .(1)xxx 5312222

10、21()(所所以以xxxxxxxd)d53122222,(1) xxxxx解解xxxxxxdd2d212325.325472232527Cxxx前頁前頁結束結束后頁后頁例例9 9 求求2cosd2xx21cos1cosdddcos d222xxxxxxx1(sin )2xxC解解.arctanCxx例例10 10 求求xxxd122xxxxxd)11(1 d1222解解xxxd11d2前頁前頁結束結束后頁后頁.arctan33Cxxxxxxd 11) 1( 22xxxxxxxd11) 1)(1(d1222224解解xxxxd11 d) 1(22.d1224xxx例例11 11 求求前頁前頁結束

11、結束后頁后頁.dtan2xx.tan Cxx例例12 12 求求xxxx)d1(secdtan 22解解xxxddsec2 有些積分在基本積分公式中沒有相應的類型，但有些積分在基本積分公式中沒有相應的類型，但經過對被積函數的適當變形，化為基本公式所列函數經過對被積函數的適當變形，化為基本公式所列函數的積分后，便可逐項積分求得結果如例的積分后，便可逐項積分求得結果如例9 91212。 前頁前頁結束結束后頁后頁 函數f (x)的原函數圖形稱為f (x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個原函數,而是無窮多個(全部)原函數,通常說成一族函數,反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f (x)的積分曲線族

12、.4.1.4.4.1.4.不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 在相同的橫坐標處,所有積分曲線的斜率均為k,因而,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標的點處的切線彼此平行如圖）.f (x)為積分曲線在(x, f (x)處的切線斜率.前頁前頁結束結束后頁后頁 21d2所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得，例例13設曲線通過點設曲線通過點(2,3),(2,3),且其上任一點的切線斜率等且其上任一點的切線斜率等于這點的橫坐標，求此曲線方程于這點的橫坐標，求此曲線方程. .解解 設所求的曲線方程為設所求的曲線方程為 ,依題意可知依題意可知( ) yf x ，yx因

13、此所求曲線的方程為因此所求曲線的方程為21.2xy前頁前頁結束結束后頁后頁.d2cosxx求4.2.1 4.2.1 第一類換元法第一類換元法例例11dd2，xu 原因在于被積函數cos 2x與公式 中的被積函數不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cos u，d u=2dx，從而xx d cos11 cos2 dcosdcos d22xxuuuu所以有所以有？1cos2 dsin2.2x xxC分析分析4.2 4.2 換元積分法換元積分法前頁前頁結束結束后頁后頁.sin21dcos21 cossincossinddCuuuuuuuuu的原函數，因此有被積函數是而言，即對新的積分變量由于.2si

14、n21sin21 2CxCuxu代回，得再把綜合上述分析，此題的正確解法如下：綜合上述分析，此題的正確解法如下：前頁前頁結束結束后頁后頁,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解解.2sin21sin21CxCu，則有得uxd21d .d2cosxx求前頁前頁結束結束后頁后頁 )()()d( 有具有連續(xù)導數，則如果，設xuCuFuuf ( )( )d ( ) (1)fx xxFxC 定理定理1 1證證依題意有依題意有 )()d(，CuFuuf即有即有),()(ddufuFx又由復合函數微分法可得又由復合函數微分法可得)()(xuf. )()(xxf)(ddxFuxuuFudd)

15、(dd)(xx令 前頁前頁結束結束后頁后頁根據不定積分的定義，則有根據不定積分的定義，則有.)(d)( )(CxFxxxf 公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應用第一換元積分公式計算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分法 應用定理應用定理1 1求不定積分的步驟為求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx湊微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux變量代換還原前頁前頁結束結束后頁后頁例例2 求求.d) 13(2008xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解解

16、uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d 42xxx d2d4 2則，則令xxuux解解 d21 d42uuxxx例例3 求求Cu233221=.31)4(223Cx前頁前頁結束結束后頁后頁例例4 4 求求2dxxex解222211ddd22xxuxexexeuxu變量代換湊微分221122uxeCeCux還還原原例例5 求求 .d tanxx=ln |cos|.xC類似地，有類似地，有 dln sincot|.xxxC dcossin d tan xxxxx解解)d(cos cos1xx前頁前頁結束結束后頁后頁(1)(1)22d xax=1arcta

17、nxCaa0a221 dxab arcsin.xCa(2)(2)2211 d ln.2xaxCaxaxa(3)(3)cscdln csccotxxxxC(4)(4)secdxx ln sectanxxC(5)(5)此外還可以得到一組積分公式：此外還可以得到一組積分公式： 前頁前頁結束結束后頁后頁4.2.2 第二類換元積分法第二類換元積分法12dd 11txttx1d .1xx例例6 求求22d1tt22ln 1.xxC12 d2d(1)1ttt22ln 1ttC解解 作變量代換作變量代換,令令 ,可將無理函數化為可將無理函數化為 有理函數的積分有理函數的積分,所以有所以有,xt前頁前頁結束結束

18、后頁后頁 一般的說，若積分 不易計算可以作適當的 變量代換 ，把原積分化為 的形式而可能使其容易積分.當然在求出原函數后， 還要將 代回.還原成x的函數，這就是第二換元積分法計算不定積分的基本思想.xxfd)()(txtxxfd )()()(1xt前頁前頁結束結束后頁后頁設設 是單調可導的函數，是單調可導的函數， 且且定理定理2)(tx( )0t( )( )d( )ftttF tC那么那么( )d( )( )d( ) f xxftttF tC1( ) FxC應用第二類換元法求不定積分的步驟為應用第二類換元法求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( )d( )( )f xxftttg ttF

19、 tCxt 換換元元( ) tx 還還原原1( )FtC 前頁前頁結束結束后頁后頁例例7 求求.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112解解tttxxtd21d11 2 .1)1 (3212CxxxCtt3322前頁前頁結束結束后頁后頁).0( d22axxa，例例8 求求ttattataxxadcos dcoscosd 2222解解 ).22( x cos sin1 sin dcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，設）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta前頁前頁結束結束后頁

20、后頁并有，則，因為,arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d 22222.cos ,cos2222axataxat斜邊鄰邊直接寫出：角形也可由圖所示的直角三上面axtax22前頁前頁結束結束后頁后頁0).( d22axax，例例9 求求ttataxaxdseccos1d1222解解，于是令tataataxataxcos1sec1tan11 ,tan22222，ttaxdsecd2.tansecln dsecCtttt前頁前頁結束結束后頁后頁，鄰邊斜邊可得，利用圖所示三角形，根據aaxtaxt22sec tan).l

21、n( ln lnd1 12212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22ax t前頁前頁結束結束后頁后頁0).( d122axax，例例10 求求，令 sec tax 解解，于是tttaxtaataaxd tansecd tan1sec1122222 d sec=tt dtantansec=d 22ttattaaxx.|tansec|ln=Ctt前頁前頁結束結束后頁后頁，鄰邊對邊得利用圖所示三角形，易根據aaxtaxt22tan ,sec).ln( ln ln d1 12212222aCCCxaxCaaxaxxax其中ax22ax t前頁前頁結束結束后頁后頁.),(2222根號的是去

22、掉被積函數中的函數，三角換元法的目構成的有理和表示由其中xaxxaxR 例8例10中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法.dtansecd,sec,d ),(dsecd,tan,d ),(dcosd,sin,d ),(2222222tttaxtaxxaxxRttaxtaxxxaxRttaxtaxxxaxR可令；可令；可令 一般的說，應用三角換元法作積分時適用于如下情形：前頁前頁結束結束后頁后頁(14) tan dln|cos|.x xxC 補充的積分公式：補充的積分公式：(15) cot dln|sin|.x xxC(16) sec dln|sectan|.x xxxC22d1(19) ln|

23、.2xxaCxaaxa(17) csc dln|csccot|.x xxxC22d1(18) arctan.xxCaxaa前頁前頁結束結束后頁后頁22d(20) arcsin.xxCaax2222d(21) ln|.xxxaCxa2222d(22) ln|.xxxaCxa前頁前頁結束結束后頁后頁由函數乘積的微分公式由函數乘積的微分公式d()d( )d( )uvvuuv，移項得移項得d( )d()d( )uvuvvu，dd (1)u vuvv u對上式兩端同時積分，得對上式兩端同時積分，得公式公式(1)或公式或公式(2)稱為分部積分公式稱為分部積分公式 . dd (2)uv xuvu v x或或

24、4.3 4.3 分部積分法分部積分法前頁前頁結束結束后頁后頁注意：注意： 使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關鍵在于恰當的選擇關鍵在于恰當的選擇u和和v.選選u的法則是的法則是: 指多弦多只選多指多弦多只選多 反多對多不選多反多對多不選多 指弦同在可任選指弦同在可任選 一旦選中要固定一旦選中要固定前頁前頁結束結束后頁后頁.d, dedcosdsin. 1vxuxxxkxxxkxxnkxnnn余下的為令的不定積分，形如.,dd darcsin,darctan,dln. 2uxxvxxxxxxxxxnnnn余下的為定積分，令的不形如即一般情況下

25、，即一般情況下，u與與dv按以下規(guī)律選擇按以下規(guī)律選擇.d ,d dcose,dsine. 3應保持一致和部積分公式，兩次選擇因為要使用兩次分，但應注意和任意選擇的不定積分，可以形如vuvuxbxxbxaxax前頁前頁結束結束后頁后頁例例1 求求.dsinxxx cosdddsind ，則，則，令xvxuxxvxu解解xxxxxxxd )cos(cos dsin.sincosCxxxxxxxd coscos前頁前頁結束結束后頁后頁.de2xxx例例2 求求 d2dddee2xxvxxuxvux，則，令解解d 2d eeee22xxxxxxxxx則 dd eee22xxxxxxxx則eedd d

26、 d xxvxuxvxu，則，令繼續(xù)使用分部積分法 . )22 (22 22eeeeCxCxxxxxxx前頁前頁結束結束后頁后頁例例3 求求.dtanarcxxx解解 ddarctan，令xxvxuxxxxxxxxd112arctan21 darctan 222 d)111 (21arctan2122xxxx.arctan 21 2arctan21 2Cxxxx 2d11d22，則，則xxvxu前頁前頁結束結束后頁后頁.dln4xxx例例4 求求 )5(dlndln 54xxxxx解解xxxxd51ln545 .25ln555Cxxx例例5 求求.dlnxx)ln(dlndln xxxxxx解解.lndlnCxxxxxx前頁前頁結束結束后頁后頁.dcosexxx例例6 求求 )(dcos dcos eexxxxx解解xxxxxdsincosee)(dsincos eexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcos eeeexxxxxxxxxx這樣便出現了循環(huán)公式,sincosdcos2 1eeeCxxxxxxx移項得).2( )si