不定積分滴學(xué)習(xí)ppt課件

1、4.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)4.2 不定積分的換元積分法不定積分的換元積分法4.3 不定積分的分部積分法不定積分的分部積分法4.4 積分表的用法積分表的用法第第4章章 不定積分不定積分完畢前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x的原函數(shù).定義定義 設(shè)設(shè)f (x) f (x) 在某區(qū)間上有定義，如果對該區(qū)間的任在某區(qū)間上有定義，如果對該區(qū)間的任意點(diǎn)意點(diǎn)x x都有都有 F(x)=f (x) F(x)=f (x) 或或 dF(x)=f (x)dxdF(x)=f (x)dx則稱則稱F(x)F(x)為為 f (

2、x)f (x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù). .4.1.1 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念 例如: ， 是函數(shù) 在 上的原函數(shù). ,sin x是cos x在 上的原函數(shù).(,) 32()3xx 2x33x(,) (sin )cos x x4.1 4.1 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 (2) (2)如果如果f(x)f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的不是唯一的, ,且有無窮多個(gè)且有無窮多個(gè)注注:(1):(1)如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數(shù)一定存在具體理由將在下一

3、章給出在具體理由將在下一章給出 例如例如而而在在 上上 是是 的原函數(shù)的原函數(shù)(,) sin1,sin2xx sin xcosxsin1,sin3xx 也是它的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即即 加任意常數(shù)都是加任意常數(shù)都是 的原函數(shù)的原函數(shù).sinxcosx (3) 若函數(shù) f (x) 在區(qū)間 I 上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).此結(jié)論由此結(jié)論由Lagrange定理推論可證定理推論可證前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁定義定義2 2 如果函數(shù)如果函數(shù)F(x)F(x)是是f (x)f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I I 上的一個(gè)原函數(shù)，上的一個(gè)原函數(shù)，那么那么f (x)f (x)的全體原函數(shù)的全體原函數(shù)F

4、(x) F(x) C(CC(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )稱為稱為f f (x)(x)在區(qū)間在區(qū)間 I I 上的不定積分上的不定積分. . 記作記作( )df xx其中記號其中記號 稱為積分號，稱為積分號，f (x)f (x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，f f (x)dx(x)dx稱為被積表達(dá)式，稱為被積表達(dá)式，x x稱為積分變量，稱為積分變量，C C為積分常數(shù)為積分常數(shù). . ( )d( )f x xF xC，即2.不定積分的概念不定積分的概念前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例2 2 求求21d .1xx21(arctan )()1 ，x xx解解2 1darctan.1 所所以以在在上上有有xxx

5、Cx例例1 1 求求.d4xx54()5由由于于，xx解解54d.5xCxx所所以以前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 3 求求.d1xx,1) 1(1)(1 )ln(0 xxxxxx 時(shí)，有當(dāng)解解)0( lnd1 .1)(ln0 xCxxxxxx時(shí)，有當(dāng)1dln (0).xxCxx所所以以, 0 )ln(, 0 lnlnxxxxx當(dāng)當(dāng)1dln().xxCx又又前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁3 3 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. . (1) ( )d ( ) d( )d( )df xx f xf xxf xx或或，特別地，有特別地，有d

6、.xx C(2) ( )d( ) d ( )( )F xxF xCF xF xC或或，前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(6) sin dcosxxxC (1) d kxkxC4.1.24.1.2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式d(3) ln|.xxCx(5) d.eexxxC1(2) d (1).1xxxC (4) d.lnxxxCaaa前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁22d(8) csc d cot .sinxxxxCx(10) sec tan dsec .xxxxC(7) cos dsin .xxxC22d(9) sec dtan .cosxxxxCx(11) csc cot dcsc .xx

7、xxC 21(12) darcsin .1xxCx21(13) darctan.1xxCx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例4 4 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分.d1(3) .d1(2) .d) 1 (23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxd d1(2)21解解xxxxd d(1) 313xxxxdd1(3)22.22111 211CxCx.112112CxCx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例5 計(jì)算下列積分計(jì)算下列積分(1) 2.( ).21d (2)d (3)dxxxxxex解解 (1)22 dln 2xxxC(3). deexxxC11111( ) d( )( )122ln 2 2l

8、n2xxxxCC (2)前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁4.1.3 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號的前面號的前面. .( )d( )dkf xxk f xx).0(kk是常數(shù)，性質(zhì)性質(zhì)2 2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即1212( )( )( ) d ( )d( )d( )d .nnxxxxxxxxxxffffff性質(zhì)性質(zhì)2 2 兩個(gè)函數(shù)的和兩個(gè)函數(shù)的和( (或差或差) )的不定積分等于各函數(shù)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和不定積分的和( (或差或差) )，即，即 ( )( )

9、d( )d( )d .f xg xxf xxg xx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例6 6 求求32543)d .(2xxxx32 2d5d4d3 dxxx xxxx3232 543)d 2d5d4 d3d(2xxxxx xxxxxx解解43215 23.23xCxxx 注 逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例7 7 求求xxxd )sin23(xxxxxxxdsin2d d)sin233(解解2 ( cos )2cos.ln3ln333xxxCxC 例例8 8 求求2d .(1)xxx 5312222

10、21()(所所以以xxxxxxxd)d53122222,(1) xxxxx解解xxxxxxdd2d212325.325472232527Cxxx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例9 9 求求2cosd2xx21cos1cosdddcos d222xxxxxxx1(sin )2xxC解解.arctanCxx例例10 10 求求xxxd122xxxxxd)11(1 d1222解解xxxd11d2前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.arctan33Cxxxxxxd 11) 1( 22xxxxxxxd11) 1)(1(d1222224解解xxxxd11 d) 1(22.d1224xxx例例11 11 求求前頁前頁結(jié)束

11、結(jié)束后頁后頁.dtan2xx.tan Cxx例例12 12 求求xxxx)d1(secdtan 22解解xxxddsec2 有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但有些積分在基本積分公式中沒有相應(yīng)的類型，但經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)經(jīng)過對被積函數(shù)的適當(dāng)變形，化為基本公式所列函數(shù)的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例的積分后，便可逐項(xiàng)積分求得結(jié)果如例9 91212。 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 函數(shù)f (x)的原函數(shù)圖形稱為f (x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù),而是無窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f (x)的積分曲線族

12、.4.1.4.4.1.4.不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義 在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因而,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行如圖）.f (x)為積分曲線在(x, f (x)處的切線斜率.前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 21d2所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得，例例13設(shè)曲線通過點(diǎn)設(shè)曲線通過點(diǎn)(2,3),(2,3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等且其上任一點(diǎn)的切線斜率等于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程. .解解 設(shè)所求的曲線方程為設(shè)所求的曲線方程為 ,依題意可知依題意可知( ) yf x ，yx因

13、此所求曲線的方程為因此所求曲線的方程為21.2xy前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.d2cosxx求4.2.1 4.2.1 第一類換元法第一類換元法例例11dd2，xu 原因在于被積函數(shù)cos 2x與公式 中的被積函數(shù)不一樣.如果令u=2x，則cos2x=cos u，d u=2dx，從而xx d cos11 cos2 dcosdcos d22xxuuuu所以有所以有？1cos2 dsin2.2x xxC分析分析4.2 4.2 換元積分法換元積分法前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.sin21dcos21 cossincossinddCuuuuuuuuu的原函數(shù)，因此有被積函數(shù)是而言，即對新的積分變量由于.2si

14、n21sin21 2CxCuxu代回，得再把綜合上述分析，此題的正確解法如下：綜合上述分析，此題的正確解法如下：前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos 解解.2sin21sin21CxCu，則有得uxd21d .d2cosxx求前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁 )()()d( 有具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則如果，設(shè)xuCuFuuf ( )( )d ( ) (1)fx xxFxC 定理定理1 1證證依題意有依題意有 )()d(，CuFuuf即有即有),()(ddufuFx又由復(fù)合函數(shù)微分法可得又由復(fù)合函數(shù)微分法可得)()(xuf. )()(xxf)(ddxFuxuuFudd)

15、(dd)(xx令 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁根據(jù)不定積分的定義，則有根據(jù)不定積分的定義，則有.)(d)( )(CxFxxxf 公式(1)稱為不定積分的第一換元積分公式，應(yīng)用第一換元積分公式計(jì)算不定積分的方法稱第一換元積分法.也稱“湊微分法 應(yīng)用定理應(yīng)用定理1 1求不定積分的步驟為求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( ) d ( )g xxfxxxfxx湊微分( )d( )( )( )( )f uuF uCFxCxuux變量代換還原前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例2 求求.d) 13(2008xx d31 d 20082008) 13(uxux于是有，得，得令uxxuxud31d3dd13解解

16、uud31=200820092009111(31).320096027CxCu.d 42xxx d2d4 2則，則令xxuux解解 d21 d42uuxxx例例3 求求Cu233221=.31)4(223Cx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例4 4 求求2dxxex解222211ddd22xxuxexexeuxu變量代換湊微分221122uxeCeCux還還原原例例5 求求 .d tanxx=ln |cos|.xC類似地，有類似地，有 dln sincot|.xxxC dcossin d tan xxxxx解解)d(cos cos1xx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(1)(1)22d xax=1arcta

17、nxCaa0a221 dxab arcsin.xCa(2)(2)2211 d ln.2xaxCaxaxa(3)(3)cscdln csccotxxxxC(4)(4)secdxx ln sectanxxC(5)(5)此外還可以得到一組積分公式：此外還可以得到一組積分公式： 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁4.2.2 第二類換元積分法第二類換元積分法12dd 11txttx1d .1xx例例6 求求22d1tt22ln 1.xxC12 d2d(1)1ttt22ln 1ttC解解 作變量代換作變量代換,令令 ,可將無理函數(shù)化為可將無理函數(shù)化為 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分,所以有所以有,xt前頁前頁結(jié)束結(jié)束

18、后頁后頁 一般的說，若積分 不易計(jì)算可以作適當(dāng)?shù)?變量代換 ，把原積分化為 的形式而可能使其容易積分.當(dāng)然在求出原函數(shù)后， 還要將 代回.還原成x的函數(shù)，這就是第二換元積分法計(jì)算不定積分的基本思想.xxfd)()(txtxxfd )()()(1xt前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁設(shè)設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)， 且且定理定理2)(tx( )0t( )( )d( )ftttF tC那么那么( )d( )( )d( ) f xxftttF tC1( ) FxC應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為應(yīng)用第二類換元法求不定積分的步驟為 ( )d( )( )d( )d( )( )f xxftttg ttF

19、 tCxt 換換元元( ) tx 還還原原1( )FtC 前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例7 求求.d1xxxtt)d1(22，所以有，得，得令ttxxtxtd2d112解解tttxxtd21d11 2 .1)1 (3212CxxxCtt3322前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁).0( d22axxa，例例8 求求ttattataxxadcos dcoscosd 2222解解 ).22( x cos sin1 sin dcosdsin222222tatataaxattaxtax，而，設(shè)）（tttattad2cosd2d22cos122.cossin22sin21222CtttaCtta前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁

20、后頁并有，則，因?yàn)?arcsinsinsinaxtaxttax,1sin1cos2222axaaxxtCxaxaxaxxa2arcsin2d 22222.cos ,cos2222axataxat斜邊鄰邊直接寫出：角形也可由圖所示的直角三上面axtax22前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁0).( d22axax，例例9 求求ttataxaxdseccos1d1222解解，于是令tataataxataxcos1sec1tan11 ,tan22222，ttaxdsecd2.tansecln dsecCtttt前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁，鄰邊斜邊可得，利用圖所示三角形，根據(jù)aaxtaxt22sec tan).l

21、n( ln lnd1 12212222aCCCxaxCaxaaxxax其中ax22ax t前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁0).( d122axax，例例10 求求，令 sec tax 解解，于是tttaxtaataaxd tansecd tan1sec1122222 d sec=tt dtantansec=d 22ttattaaxx.|tansec|ln=Ctt前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁，鄰邊對邊得利用圖所示三角形，易根據(jù)aaxtaxt22tan ,sec).ln( ln ln d1 12212222aCCCxaxCaaxaxxax其中ax22ax t前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.),(2222根號的是去

22、掉被積函數(shù)中的函數(shù)，三角換元法的目構(gòu)成的有理和表示由其中xaxxaxR 例8例10中的解題方法稱為三角代換法或三角換元法.dtansecd,sec,d ),(dsecd,tan,d ),(dcosd,sin,d ),(2222222tttaxtaxxaxxRttaxtaxxxaxRttaxtaxxxaxR可令；可令；可令 一般的說，應(yīng)用三角換元法作積分時(shí)適用于如下情形：前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁(14) tan dln|cos|.x xxC 補(bǔ)充的積分公式：補(bǔ)充的積分公式：(15) cot dln|sin|.x xxC(16) sec dln|sectan|.x xxxC22d1(19) ln|

23、.2xxaCxaaxa(17) csc dln|csccot|.x xxxC22d1(18) arctan.xxCaxaa前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁22d(20) arcsin.xxCaax2222d(21) ln|.xxxaCxa2222d(22) ln|.xxxaCxa前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁由函數(shù)乘積的微分公式由函數(shù)乘積的微分公式d()d( )d( )uvvuuv，移項(xiàng)得移項(xiàng)得d( )d()d( )uvuvvu，dd (1)u vuvv u對上式兩端同時(shí)積分，得對上式兩端同時(shí)積分，得公式公式(1)或公式或公式(2)稱為分部積分公式稱為分部積分公式 . dd (2)uv xuvu v x或或

24、4.3 4.3 分部積分法分部積分法前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁注意：注意： 使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的使用分部積分公式的目的是在于化難為易，解題的關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇關(guān)鍵在于恰當(dāng)?shù)倪x擇u和和v.選選u的法則是的法則是: 指多弦多只選多指多弦多只選多 反多對多不選多反多對多不選多 指弦同在可任選指弦同在可任選 一旦選中要固定一旦選中要固定前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.d, dedcosdsin. 1vxuxxxkxxxkxxnkxnnn余下的為令的不定積分，形如.,dd darcsin,darctan,dln. 2uxxvxxxxxxxxxnnnn余下的為定積分，令的不形如即一般情況下

25、，即一般情況下，u與與dv按以下規(guī)律選擇按以下規(guī)律選擇.d ,d dcose,dsine. 3應(yīng)保持一致和部積分公式，兩次選擇因?yàn)橐褂脙纱畏郑珣?yīng)注意和任意選擇的不定積分，可以形如vuvuxbxxbxaxax前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例1 求求.dsinxxx cosdddsind ，則，則，令xvxuxxvxu解解xxxxxxxd )cos(cos dsin.sincosCxxxxxxxd coscos前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.de2xxx例例2 求求 d2dddee2xxvxxuxvux，則，令解解d 2d eeee22xxxxxxxxx則 dd eee22xxxxxxxx則eedd d

26、 d xxvxuxvxu，則，令繼續(xù)使用分部積分法 . )22 (22 22eeeeCxCxxxxxxx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁例例3 求求.dtanarcxxx解解 ddarctan，令xxvxuxxxxxxxxd112arctan21 darctan 222 d)111 (21arctan2122xxxx.arctan 21 2arctan21 2Cxxxx 2d11d22，則，則xxvxu前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.dln4xxx例例4 求求 )5(dlndln 54xxxxx解解xxxxd51ln545 .25ln555Cxxx例例5 求求.dlnxx)ln(dlndln xxxxxx解解.lndlnCxxxxxx前頁前頁結(jié)束結(jié)束后頁后頁.dcosexxx例例6 求求 )(dcos dcos eexxxxx解解xxxxxdsincosee)(dsincos eexxxxxxxxxxxdcossincoseee,dcossincosdcos eeeexxxxxxxxxx這樣便出現(xiàn)了循環(huán)公式,sincosdcos2 1eeeCxxxxxxx移項(xiàng)得).2( )si