5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式(2)

1、5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識精讀】對于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式2X +(a+ b)x +ab=(x + aj(x +b )進(jìn)行因式分解。掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的 兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù)。對于二次三項(xiàng)ax2 +bx + c(a、b、c都是整數(shù)，且aO)來說，如果存在四個(gè)整數(shù)a1， C1， a2， Q 滿足 a1a2 = a，qc? =c ，并且 arq + azS = b ，那么 二.次三項(xiàng)式2 2ax +bx+c即 a1a2X +(816 +826 )x+&勺可以分解為(a + & Ia2X+

2、C2 卜這里要確定四個(gè)常數(shù)a1, c1，a2，c2，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借 助畫十字交叉線的辦法來確定。下面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解。【分類解析】1.在方程、不等式中的應(yīng)用2例1.已知：X -11x +24a0，求X的取值范圍。分析：本題為二次不等式，可以應(yīng)用因式分解化二次為一次，即可求解。解：寫 X2 -11X+24 >0”".(X -3 x -8)>'0(x 3>0亠(x3<0lX-8>0lX-8<0”X A8 或 X < 3例2.如果X4 -x3 +mX2 -2mx-2能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)

3、的二次因式的積，試求m的 值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。分析：應(yīng)當(dāng)把X4分成X2 X2，而對于常數(shù)項(xiàng)-2，可能分解成(-1)X2，或者分解成 (-2)X1，由此分為兩種情況進(jìn)行討論。2 2解：(1)設(shè)原式分解為(X + ax-14 +bx+2),其中a、b為整數(shù)，去括號，得:x4 +(a +小3%2 +(2a-bX-2將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對比，得:a+b=1, m=1, 2ab=2m解得：a=1, b=0, m=1此時(shí)，原式=(X +2jx2 -x-1)(2)設(shè)原式分解為(X2 +cx-2j(x2 +dx+1),其中c、d為整數(shù)，去括號，得:x/. (x-y -2)(x -y+1) = 0

4、+(c +d jx(x-y) -(x-y)2=0 _ x2 + (c - 2d $ -2將它與原式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行對比，得:c+d=1, m = 1, c2d=2m解得：c=0, d=1, m = 12 2此時(shí)，原式=(X -2j(x -x+1)2.在幾何學(xué)中的應(yīng)用例.已知：長方形的長、寬為X、y,周長為16cm，且滿足x y-x22+2xyy +2=0，求長方形的面積。分析:解：解得：jx=5或!xJ =3,y=35= 4.5要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。2 2xyx +2xy-y +2=02-2xy+ y )-(x -y )-2 =0長方形的面積為15cm2或3cm

5、243、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用2 2例.證明：若4x-y是7的倍數(shù)，其中X, y都是整數(shù)，則8x + 10xy-3y是49的倍數(shù)。分析：要證明原式是49的倍數(shù)，必將原式分解成 49與一個(gè)整數(shù)的乘積的形式。2 2證明一：8x +10xy-3y = (2x + 3y )(4x - y)2(2x + 3y ) = 4x +6y = 4x y + 7y 4x - y是7的倍數(shù)，7y也是7的倍數(shù)（y是整數(shù)） 2(2x +3y )是7的倍數(shù)而2與7互質(zhì)，因此，2x+3y是7的倍數(shù)，所以8x2 +10xy-3y2是49的倍數(shù)。證明二：/ 4x - y是7的倍數(shù)，設(shè)4x - y = 7m (m是整數(shù)) 則 y

6、=4x-7m2 2又 8x +10xy-3y = (2x+3y J4x - y )”(2x +12x 21m j(4x -4x +7m )= 7m(14x -21m) = 49m(2x 3m) x, m是整數(shù)， m（2x-3m ）也是整數(shù)所以，8x2 +10xy-3y2是49的倍數(shù)。4、中考點(diǎn)撥4 2 2 2 2例1.把4x y -5x y -9y分解因式的結(jié)果是42222解：4x y -5x y -9y=y2(4x4 -5x2 -9)= y2(4x2 -9 Kx2 +1 )= y2(x2 +1 )(2x+3)(2x-3)說明：多項(xiàng)式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。例2

7、.因式分解：6x2-7x-5 =解: 6x2-7x-5 =(2x+1I3X -5)說明：分解系數(shù)時(shí)一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯(cuò)誤。5、題型展示2 2例1.若x -y +mx+ 5y-6能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（）D. 2C. ±1A. 1 B.-12 2解：x - y + mx+5y-6 =(X + y Ix - y ) + mx+5y - 6-6可分解成（2產(chǎn)3或（）x 2，因此,存在兩種情況:3-3由（1）可得:X 2m = 1由（1）可得：故選擇C。說明：對二元二次多項(xiàng)式分解因式時(shí)，要先觀察其二次項(xiàng)能否分解成兩個(gè)一次式乘積, 再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是

8、一種常用的方法。2例2.已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿足 （a-c） =4（b-alc-b）。求證：a-b =b-c2證明： (a-c) =4b -ajc-b)/. (a-c$-4(b-ai(c-b)=0”a2-2ac +c2 -4bc +4ac-4ab +4b2 =0”(a-4b(a +c)+4b2 =02/. (a +c-2b) =0”a +c-2b =0說明：抓住已知條件，應(yīng)用因式分解使命題得證。例3.若x3+5x2+7x+a有一因式x+1。求a，并將原式因式分解。解：寫 X3 +5X2 +7x+a有一因式 x+132當(dāng) x+1=0,即卩 x=1 時(shí)，x+5x +7x+a=0a =

9、 3X3 +5x2 +7x +3=x3 x2 +4x2 +4x +3x +3=x2(x +1 )+4x(x +1 )+3(x +1)=(x +1 Jx2 +4x +3)= (x+14+3)=(x +1 心+3)說明：由條件知， x = -1時(shí)多項(xiàng)式的值為零，代入求得a,再利用原式有一個(gè)因式是X +1，分解時(shí)盡量出現(xiàn) X +1，從而分解徹底。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.分解因式:2 2(1) a b +16ab+39/C、 /IL 2n , _ n n屮 .2n 卡(2) 15x+7xy -4y2 25.已知：x + y=05，x+3y=1.2，求 3x+12xy+9y 的值。 2(3)(X +3x) 22

10、(x +3x)+722.在多項(xiàng)式 x+1, X +2, x+3, X2 +2X-3, X2 + 2x-1, x2 +2x+3，哪些是多項(xiàng)2422式(X +2x) -10(x +2x) +9 的因式?323.已知多項(xiàng)式2x-x-13x + k有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式。2 24.分解因式：3x +5xy-2y +x+9y-4【試題答案】1.解:原式2=(ab) +16ab + 39 =(ab+ 3jab+ 13)2.(x23.解:解:原式原式=(3x= (x2nn 彳1 I- n-y )(5x2+ 3x -4)(x解：寫(X2 +2x) -10(x2 +2x)+ 4嚴(yán)）+ 3x -1

11、8) = (x + 4)(x-1 Jx + 6IX-3)=如2 +2x( -9収 +2x( -1= (x2 +2x+ 3Ix2 +2x Tx2 +2x+ 1)(x2 +2x-1)2 2 2= (x2 +2x+3)(x+3)(x-1)(x+1) (x2 +2x-1)2 2其中 x+1, x+3, x +2x+3, x +2X-1 是多項(xiàng)式422+ 2x) -10X2 +2x) +9 的因式。說明：先正確分解，再判斷。解:設(shè)2x3-X2 -13x + k =(2x+1Ix2+ax+b)貝y 2x3 -x2 -13x + k =2x3 +(2a +1 ；x2 +(a + 2b Jx +b'2

12、a+1 =-1/. y+ 2b = -13 b =ka = -1解得：= 6k = 6/. k =-6且2x3 - x2 -13x-6=(2x-1；(x2 -x-6) = (2x-1)(x-3)(x + 2)說明：待定系數(shù)法是處理多項(xiàng)式問題的一個(gè)重要辦法，所給多項(xiàng)式是三次式， 已知有一個(gè)一次因式，則另一個(gè)因式為二次式，由多項(xiàng)式乘法法則可知其二次項(xiàng)系數(shù)為1。4.解：簡析：由于項(xiàng)數(shù)多，直接分解的難度較大，可利用待定系數(shù)法。設(shè) 3x + 5xy-2y +x+9y-4= (3x- y + mjx +2y +n)= 3x2 +5xy-2y2 +(m + 3n + (2m-n)y+mn比較同類項(xiàng)系數(shù)，得:(m + 3 n = 1 bm-n = 9 mn = -4Tm =4解得：仁12 2/. 3