傅里葉級(jí)數(shù)課程及習(xí)題講解

1、傅里葉級(jí)數(shù)一 基本內(nèi)容一、傅里葉級(jí)數(shù)f(x)anXn在幕級(jí)數(shù)討論中nl，可視為f(X)經(jīng)函數(shù)系線性表出而得不妨稱(chēng)1，x，x2丄，xn,L為基，則不同的基就有不同的級(jí)數(shù)今用三角函 數(shù)系作為基，就得到傅里葉級(jí)數(shù)1 1 三角函數(shù)系函數(shù)列1, cosx, sinx,cos2x, sin2x, L , cosnx, sin nx, L稱(chēng)為三角函數(shù)系.其有下面 兩個(gè)重要性質(zhì).(1)(1) 周期性 每一個(gè)函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)；(2)(2) 正交性 任意兩個(gè)不同函數(shù)的積在,上的積分等于 零，任意一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分不等于零.對(duì)于一個(gè)在,可積的函數(shù)系Un(x). x a, b,n 1,2丄，定義兩個(gè)

2、函數(shù)的內(nèi)積b為Un(X),Um(X)；玄厲&)Um(X)d X/.10 m n(Un(X),Um(X)X如果.0 m門(mén)，則稱(chēng)函數(shù)系Un(X)：Xa,b,n 1,2丄為正交系.所以三角函數(shù)系在,上具有正交性，故稱(chēng)為 正交系.1 1an一xcos nxdx xd(s innx)當(dāng)n 1時(shí)，n1 1xsinnx|sinn xdx 0第15章傅里葉級(jí)數(shù)1, sin nx1sin nxd x1 cos nxdx0；sin mx,sin nxsin mx sin n xd x0 im n mn.cosmx,cos nxcosmx cos nxdx0m n mnsin mx,cosnxsin mx

3、cosnxd x0；71, 112dx2由于利用三角函數(shù)系構(gòu)成的級(jí)數(shù)稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)，其中a0,a1,b1丄，an,bn丄為常數(shù)2 2 以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)定義 1 1設(shè)函數(shù)f(x)在,上可積，1 1ak-(f (x),coskx)-f (x)coskxdxk。仁f (x)sinkxdxk 1 2 L稱(chēng)為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)，而三角級(jí)數(shù) 稱(chēng)為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)，記作2n 1其中務(wù),0為f(x)的傅里葉系數(shù).定義 2 2 如果f(x) Ca，b，則稱(chēng)f(x)在a，b上光滑.若x a,b), f(x 0), f (x 0)存在；x (a,b, f (x 0)，f (x 0)存在，且至多存在有限

4、個(gè)點(diǎn)的左、右極限不相等，則稱(chēng)f(x)在a,b上按段光滑.幾何解釋如圖.按段光滑函數(shù)圖象是由有限條光滑曲線段組成，它至多有有限個(gè) 第一類(lèi)間斷點(diǎn)與角點(diǎn).段光滑，則x R，f (x)ancosnx bnsinnx有2n 1,上有定義，函數(shù)二習(xí)題解答1 1 在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)(1)(1)f(x) x, (i)x , (ii) 0 x 2；解：(i)、f(x)=x，x (,)作周期延拓的圖象如下. 其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得1 1a0f (x)d xxdx 0a。ancosnx bnsin nx1.f(x)按定義 1 1 所得系數(shù)而獲得的傅里葉級(jí)數(shù)并a。f (x)

5、2這里之所以不用等號(hào)，是因?yàn)楹瘮?shù) 不知其是否收斂于f(x).二、傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理定理 1 1 若以2為周期的函數(shù)f(x)在，上按段光滑，則f(x 0) f(x 0) ancosnx bns innx、y推論 如果f(x)是以1 2為周期的連續(xù)函數(shù)，且在x,上按定義 3 3 設(shè)f(x)在(稱(chēng)f(x)為的周期延拓.角點(diǎn)4420】xcosnx|cos nxdx ( 1)n 1n八n 1sin nx1)nf (x)所以(ii)、f(x)=x,x(0,2)作周期延拓的圖象如下. 其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得120f(x)d x(，)為所求.a。2xdx 21時(shí)，12xsin nx|n

6、02sin n xdx0所以1xcosnx nf(x)2I0sin nxcosnxd xn(0,2 )為所求.(ii) 0 xna0f(x)dxx0,b 0)作周期延拓的圖象如下.ao10 axdx1 bxdx(b a)0當(dāng)n 1時(shí),f (x)所以(b a)42(b a)2cos(2n1)21)x(a b)n 1(1)n1sin nxann,x (,是以2為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)1f (x)cos nxdx ,n 0,1,2,Lc 2f (x)cos n xdxbn2f (x)sin nxdx1f (x)sin nxd x, n 1,2,L證:因?yàn)閒(x),sin nx,1從而an1同

7、理可得)為所求.c,有cosnx都是以2為周期的可積函數(shù)，所以令t x 2有f (t)cos ntdt -c+2c+2f (x)cos nxdxc 2f (x)cos nxdxf (x)cos n xdxbn1f (x)s inn xdxf (x)s inn xdxf(x)3 3 把函數(shù)-1143展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并由它推出(1)(1)丄11丄13117(3)(3)6解：函數(shù)f(x),157111317.x (,)作周期延拓的圖象如下.244020n 2k其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得1f(x)dxao01dxdx404ann 1時(shí),1cos nxdx4cos nxdx 004

8、12kf (x)(1(1) )2k1sin(2n12n 12，則41 11 -35于是34121)X,0) U (0,)為所求.3，則41 15712丄丄111313 9丄171丄15121111L1131171111131174 4 設(shè)函數(shù) 什么特性.解：因?yàn)閒(x)滿(mǎn)足條件f(xf(x)f (x)滿(mǎn)足條件f(xf(x)，問(wèn)此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有所以f(x 2 )1于是由系數(shù)公式得0f(tf(x )d t -當(dāng)n 1時(shí),2f (x)cos nxdxf (x)sin nxdxf(x)即f(x)是以2為周期的函數(shù).f(x)d x 02k 12k2k 1020n 2k故當(dāng)f(x ) f(x)時(shí)

9、，函數(shù)f(x)在,內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是a2k0,b2k0.b2k 106 6 試證函數(shù)系cosnx, n 0,12L和sinnx, n1,2丄都是0,上的正交函數(shù)系，但 他們合起來(lái)的卻不是【，上的正交函數(shù)系.證：就函數(shù)系1, COSX, cos2x, L , cosnx, L ,解: 因?yàn)閒(x)滿(mǎn)足條件f(x )f(x)所以f(x2 ) f(x )f(x)，即f(x)是以2為周期的函數(shù).于是由系數(shù)公式得丄f01：(t )dt -0f(x)dx20f(x)d x當(dāng)n 1時(shí)，20f (x)cos n xdxn2k0n2k120f(x)sin nxdxn2k0n 2k1故當(dāng)f(x)f (x)時(shí)，

10、函數(shù)f(x)在,內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是a2k 10,)f(X)，問(wèn)此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有5 5 設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件：f(x什么特性.(cos2 nx 1)d x 2,sin nx,sin nxsin2nxdx00(1cos2 nx)d x又m, n,m1cos(n時(shí),n) xdxcos(mn)xdx 0因?yàn)閐x0就函數(shù)系sin x, sin2x, L , sin nx, L 因?yàn)閚,所以sinx,sin2x, L , sinnx, L在0,上是正交系又1,cosnxcosnxd x007m, n mn時(shí)，1cos(mn) xdx -cos(mn )xdx02020.所以1,cosx,c

11、os2x, L ,cos nx, L在0,上是正交系.cos nx,cosnx20ocosnxd x0)但1, sin x, cosx, sin 2x, cos2x,L , sin nx, cosnx, L 不是0,上的正交系7 7 求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式x,0 x22因?yàn)樗杂上禂?shù)公式得sin -sin nxdx2si nsi nn xdx02實(shí)因:0sin xdx 1 0sin-dx 20sin|dx當(dāng)n 1時(shí),2 2sin cos nxdx024 2(4n21)所以f（x）f(所以sinn x|22n02nsin nxd x2nf(x)-cosnx12sinnx2n2cos nxd

12、x0f(x)1n.1 cosx,（,2）為所求.f(x),1 cosx,解：其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù).x作周期延拓的圖象如下.f (x)1 cosx2si n27當(dāng)n1時(shí),(1)(1)f(x)0)時(shí),0) f(2f(1f (x)2,24.2n 14n21cosnx解:f (x) ax2bx c, (i) 0 x2 , (ii)，為所求.(ii)ao(i)由系數(shù)公式得12o(ax2 bx1時(shí),4ac)d2b2cf(x) axbx4a2cosnxn4 a 2b .si nnx.(0,2)為所求.由系數(shù)公式得1f(x)dx(ax2bxc)d22a32c1時(shí),(1)n4a(1)n2n12b故f

13、(x)2axbx1)n4a cos nxn1)n2bsi nnx, n)為所求.(4)(4)f (x)chx,解:由系數(shù)公式得aof(x)dchxdx-sh1時(shí),n2sh(1)n所以an(1)n2sh(n21)shxsin nx|1ch xs inn xdx21f (x) chx sh故(1)n 112ncosnx1x (，)為所求.(5)(5)f (x) shx, x解：由系數(shù)公式得1 1a。一f(x)dx shxdx 0anshxcos nxdx當(dāng)n 1時(shí)，厶hn(1)n11bn1)12nshx(n21)故f(x)shx1)2n sh(n21)sin nx8 8 求函數(shù)f(x)22)的傅里

14、葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式并應(yīng)用它推出,)為所求.丄22n 1nf (x) ax2解：由bx4a2cos nx1n4 a 2b . sinnx, nx (0,212cosnxn 1n(0,2 )2而f(0 0)f(2故由收斂定理得0)f (0 0) f (220)$COS0n9 9 設(shè)f(x)為上光滑函數(shù)，f( ) f()bn為f(x)的傅里葉系數(shù),an,bn為f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的傅里葉系數(shù).證明a0上光滑函數(shù)，所以f(X)為0, annbn, bnnan(n 1,2,L )證：因?yàn)閒 (x)為由系數(shù)公式得1a0f上的連續(xù)函數(shù)，故可積.(x)d x1f( ) f( )0當(dāng)n 1時(shí),anf (x)co

15、s nxdx21故結(jié)論成立.f (x)cos nx|f (x)s inn xd x nbna。supn1010n3a證:則證明：若三角級(jí)數(shù)2,n3bnUo(x)設(shè)0 U,Uo(X)所以(ancos nx bnsin nx)n1中的系數(shù)bn滿(mǎn)足關(guān)系M,M為常數(shù)，a。Un(x) ancos nx bnsi nnxn 1,2,L(x)在R上連續(xù)，0,Un(x)R,Un(X)nansin nxn ansin nx2M2_n則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).nbncosnx亦在R上連續(xù).n bncos nx2Mn2收斂,(x)nbncos nxnansinnx在R上一致收斂.故設(shè)s(x)a

16、o2(ancosnx1bnsin nx)，則sin nx)在R上連續(xù).以2l為周期的函數(shù)的展開(kāi)一基本內(nèi)容、以21為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)且s(X)nancosnx nbn15.2x設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，作替換l是以2為周期的函數(shù)，且f(x)在(1,1)上可積l一，則F(t)F(t)在(，)上可積.于是其中anancos nt bnSin ntn 11F (t)cosntdt, bnF (t)sin ntdt從而f(x):畫(huà)F(t) f - f (x)n x blancossin nt sin -cos ntn xcos-l,.n xsinlf(x)cos nx奇f (x)si n n

17、x偶其中anbn1l1lln x! f (x)cos dx,上式就是以2l為周期的函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)在按段光滑的條件下，亦有f (x 0) f (x 0) a02 2其只含余弦項(xiàng)，故稱(chēng)為余弦級(jí)數(shù). 同理，設(shè)f(x)是以21為周期的奇函數(shù),n xn xcos d sin ll于是bn1l1lln xlf (x)cosdxn xf (x)s indxlln x0f (x)sin dxao(f(x):從而2其只含正弦項(xiàng)，由此可知，函數(shù) 要展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)必須作偶延拓.%x)f(x) x (0)偶延拓f(x)x ( l，0)函數(shù)f(x),x (0,1)要展 開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)必須作奇延拓. 奇延拓n x

18、ansin-n 1l.故稱(chēng)為正弦級(jí)數(shù)廠、JylOl xOil x%x)腎x):囂)二習(xí)題解答1 1 求下列周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式f(x)|cosx(1(1) )( (周期) );解：函數(shù)f(x) cosx， 由于f(x)按段光 余弦級(jí)數(shù).22延拓后的函數(shù)如下圖. 為傅yO數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為3_ 222，所以由系數(shù)公式得22cosx dx2當(dāng)n 1時(shí)，ao4-2cosxdx012 022 ( 1)-J(2n 1)(2n 1)(4n1)（2 2）f（x）x【x（周期 1 1） ；x解：函數(shù)f（x）xX,1 122延拓后的函數(shù)如下圖.由于f（x）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)

19、.1l 因2，所以由系數(shù)公式得由于f（x）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f（x）是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù).l _因2，所以由系數(shù)公式得bn -cosx sin nxd x2故f(X)cosx1)14n2cos2 nx1X（,）為所求.ao221x xdx120 x x dx 21xdx02當(dāng)n 1時(shí)，11x|011xsin 2nsin2n xdx0nn011x|0111xcos2ncos2 n xdxnn0nf(x) x x11丄sin2nxx (故2n 1n）為所求.解：函數(shù)f（x）.4X sin x22延拓后的函數(shù)如下圖.4i3 08當(dāng)n 1時(shí)，120181cos2x21,n1

20、cos4x dx84f（x）sin x（周期）；1bn2cosx sin nxd x 0243 11f (x) sin xcos2x cos4x故8 28,x (,)為所求.(4)(4)f(x)旳門(mén)(cosx)( (周期2) ).解：函數(shù)f(x) sgn(cosx),x (,)延拓后的函數(shù)如下圖.由于f(x)按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù).因I，所以由系數(shù)公式得1 2a。sgn(cosx)d xsgn(cosx)d xf(x) x解：函數(shù)2，x0，作偶延拓后的函數(shù)如下圖.由于f(x)按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為s

21、gn(cosx)d x當(dāng)n 1時(shí),an sgn(cosx)cosnxdx2knbn -4 n sin2n1)2ksgn(cosx)sin nxdx故f(x)4sgn( cosx)(1)1ncos(2n1)x2n 1f(x)123的傅里葉級(jí)數(shù)并討論其收斂性.2 2 求函數(shù)解：函數(shù)f(x)，由于f(x)按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又 余弦級(jí)數(shù).3I因2，所以由系數(shù)公式得23a。-0f (x)d x當(dāng)n 1時(shí)，3 2n7 cosx(0,3)延拓后的函數(shù)如下圖.f(x)是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為bnf (x)ixdx02dxi32(3x)d xf (x)sin nxdx12 1n12cosn2n32

22、n x cos一3，)為所求.將函數(shù)f(x)x2在【，上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).余弦級(jí)數(shù).解：函數(shù)f（x）C0S2,x【，作偶延拓后的函數(shù)如下圖.由于f（x）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f（x）是奇函數(shù)，故其展開(kāi)式為正弦級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得an0, n 0,1,2L8n(4n21)x 8 nf (x) cos-2sinnx故在I0，上2n 14n 1為所求.1x0 x2f (x)5把函數(shù)x 3 2 x 4在(,4)上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù).解：函數(shù)f（x）,x（0,4）延拓后的函數(shù)如下圖.由于f（x）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f（x）是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為 余弦級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得x dx當(dāng)n

23、1時(shí),4Tn0n 2k 1n 2kbn0故f（X）IC0S(2n 1)x，x0,將函數(shù)f（x）xC0S2在0，上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù).因I 4，所以由系數(shù)公式得24a。-0f （x）d x當(dāng)n 1時(shí),an1220(1x)dx24400242(x 3)dx 0f (x)coscos31(2n 1)X2為所求.6把函數(shù)f(x)21在（0,1）上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并推出解：函數(shù)f（x），x（0,1）延拓為以2為周期的函數(shù)如下圖.14由于f(x)按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù), 余弦級(jí)數(shù).因匸,故其展開(kāi)式為a。2所以由系數(shù)公式得10f(x)d x120(X1)2dx當(dāng)n 1時(shí)，an422

24、n10(X1)2cosnxd xbn0所以(x1)212cosnx,1nx 0,1丄1n，即1令x 0得7 7 求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式(1)(1)f (x) arcsin(sinx)；解：函數(shù)f(x)arcsin(sinx)是以2為周期的函數(shù)如下圖. 由于f(x)按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)正弦級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得an0, n 0,1,2,L是奇函數(shù), 故其展開(kāi)式為4f (x) arcsin(sinx)所以(2)(2)f (x) arcsin( cosx)解：函數(shù)f(x) arcsin(cosx)是以2為周期的函數(shù)如下圖. 由于f(x)按段光滑，所以余弦級(jí)數(shù).由系數(shù)公式(也

25、sin(2n 1)x1(2n 1)2，x R可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù),yO222x0222a0arcsin(cosx)d x故其展開(kāi)式為當(dāng)n 1時(shí),04nbn0, n1,2L2k2k 1arcsin( cosx)2cos(2n1(2n1)21)xx R142a2n1cos(2 n 1)xb2n 1si n(2n 1)xn 1n1解：（1 1）先把f（x）延拓到，上,方法如下：f(x)0 x 2f(x)f ( x)x2再把f（x）延拓到0,2 上，方法如下：f?(x)f (x)f (2x)0 xx 2其圖象如下.由于f（x）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f（x）是偶函數(shù)，故其

26、展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù).由系數(shù)公式得2a0f （x）d x 0012-rrbn f （x）sin nxd x 0當(dāng)n 1時(shí)，.4-2f (x)cosnxdxn 2k 10n 2kf (x)a2n 1cos(2n1)xx 0,-所以n 12 先把f（x）延拓到【，上，方法如下._f (x)f(x)f( x)0,一8 8 試問(wèn)如何把定義在2上的可積函數(shù)f（x）延拓到區(qū)間,內(nèi)，使他們的傅 里葉級(jí)數(shù)為如下的形式再把f（x）延拓到0,2上,0 x7方法如下.?(x)ff(2x)x)2討討f （x）按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又f（x）是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為其圖象如下.由于f（X）余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式2f(

27、x)dx12-rta. f (x)cos nxdx 0當(dāng)n 1時(shí)，n 0i丿n 2k15. 3 收斂定理的證明一 基本內(nèi)容一、貝塞爾(BesseD不等式f (x)sin nxdxn 2k所以f(x)b2n 1sin(2n11)x x0,2定理 1 1 設(shè)f(x)在上可積，則2a。2anb2f2(x)d x其中務(wù),0為f(x)的傅里葉系數(shù).推論 1 1 設(shè)f(x)在，上可積，則limnf (x)cos nxd x 0limnf (x)sin nxd x設(shè)f(x)在,上可積,則limf (x)si n n1xdx 0n0201limf (x)sinnxd x 0n2定理 2 2 設(shè)以2為周期的函數(shù)

28、f(x)在f(x t)1sin n一2t-dt此稱(chēng)為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和的積分表達(dá)式.二、收斂性定理的證明定理 3 3 ( (收斂性定理) )設(shè)以2為周期的函數(shù)f(x)在,上按段光滑，則f (x 0) f (x 0)o x門(mén)limSn(x)0n2 2定理 4 4 如果f(x)在,上有有限導(dǎo)數(shù)，或有有限的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)，則f (x 0) f (x 0) a,.ancosnx b, sin nx22n 1定理 5 5 如果f(x)在，按段單調(diào)，則推論 2 2上可積，則01 1 設(shè)f(x)以2為周期且具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在(，)上一致收斂于f(x).2 2 設(shè)f為,上

29、可積函數(shù)，證明：若f的傅里葉級(jí)數(shù)在，上一致收斂于則成立貝塞爾(Parseval)(Parseval)等式丄f2(x)d x也2a：bn 1這里an,bn為f的傅里葉系數(shù).Qa。mSmancos nxbnsin nx證：設(shè)2n 1因?yàn)閒(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在,上一致收斂于f(x)，所以0, N 0，mN, x ,f(x) Smf (x 0) f (x 0)2ao2習(xí)題解答ancosnx bnsin nx證:由題目設(shè)知f(x)與f(x)是以2為周期的函數(shù)，且光滑,f(x)ao(ancosnx1bnSin nx)f (x)ao(ancosnxbnsin nx)1ao1f (x)d x f( ) f(a

30、n1時(shí)，f (x)cos nxdx1 ,f (x)cos nx|f (x)s inn xd x nbn于是a2anbn12(anbn2)由貝塞爾不等式得電從而2ao2anbn)收斂,丄21n收斂,a收斂,(ancos nx1bnsin nx)在()上一致收斂.于是(f(x) S,f(X)Sm)2.而f2(x)d x2 2anbn1所以m N時(shí),f2(x)dx手m2ann 12a。2ann1故23 3 由于貝塞爾等式對(duì)于在結(jié)果證明下列各式.2f2(x)d x上滿(mǎn)足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立. 請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)(1)(1)81)2；790f(x)解：(1)(1)取f(x)sin(2n1由 1 1 習(xí)題 3

31、 3 得2n 1坐x ( WU(0,)1由貝塞爾等式得212即8n 1(2 n 1)取f (x) x，x2d x1611(2n1)21由貝塞爾等式得212故6n1 n.取f (x)由 1 1 習(xí)題 1 1 (1)(1)得f (x)2( 1)n 1sn= x (n 1n(1)ns2n 1nx2dx，由 1 1 習(xí)題 1 1 (2)(2)得2x21)x4dx由貝塞爾等式得41故90n4.4 4 證明：若f,g均為,上可積函數(shù), 收斂于f和g,則cosx ,2, x ( n(422n且他們的傅里葉級(jí)數(shù)在上分別一致ancos nx,ncosnxB cosnx,ncosnx5 5 證明若f及其導(dǎo)函數(shù)f均

32、在，上可積，f(x)dx 0 f( ) f()，且成立貝塞爾等式，則f (x)|2dxf(x)2dx證：因?yàn)閒 (x)、f (x)在,上可積，f(x)dx0f( ) f()f (x)(ancos nx bnsin nx)設(shè)2n 1f (x)ao(ancosnxbnsinnx)2n 1由系數(shù)公式得1 1aof (x)d x f( ) f ()0于是由貝塞爾等式得|2f (x) dx總練習(xí)題 151 1 試求三角多項(xiàng)式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式.f (x)g(x)d xao 0(an nn 1bnn)其中an, 6 為f的傅里葉系數(shù),n,n為g的傅里葉系數(shù).證：由題設(shè)知f(x)ao2(ancosnx1bn

33、sin nx)g(x)(ncos nxn 1nsin nx)1于是f (x)g(x)dx；f(x),g(x)；ancos nx bn sin2n 10nx,2所以f (x)g(x)d xao oT(ann 1ananf (x)cos nxdx當(dāng)n 1時(shí),1 ,f (x)cos nx|f (x)s inn xd x nbnTn(X)身解：因?yàn)?傅里葉級(jí)數(shù)，由系數(shù)公式得ao(x),1)(牛n(Akcoskx Bksi nkx),1k 1當(dāng)k 1時(shí),n(人coskxk 1積分f(x)Tn(x) dx取最小值，且最小值為2a2f (x) dx0上述Tn(x)是第 1 1 題中的三角多項(xiàng)式，仏人,Bk為它的傅里葉系數(shù).f(x)-ancosnxbnsin nx證： 設(shè)2n 1Tn(x)Aon(A，coskx Bksi nkx)2k 1且Aoa0, Akak, Bkbk (k1,2丄，n)因?yàn)閒(x)2Tn(x) dxf2(x)d x 2f (x)Tn(x)dxTn2(x)d xAannf(x)Tn(x)dxAkakBkbk而