【KS5U解析】天津市南開(kāi)區(qū)南開(kāi)中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、天津南開(kāi)中學(xué)2020屆高三第五次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】解出集合a，b，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可【詳解】，；故選：c【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，以及絕對(duì)值不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.2.“”是“直線與直線垂直”的（ ）a. 充分必要條件b. 充分非必要條件c. 必要不充分條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】先由兩直線垂直求出的值，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則，即，解得或；因此由“”能推出“直線與直線垂直”，反之不能推出，所以“”是“直線與直線垂

2、直”的充分非必要條件.故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查命題充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定條件即可，屬于?？碱}型.3.已知直線，平面，且，給出下列四個(gè)命題：（1）若，則 （2）若，則（3）若，則 （4）若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）a. 1個(gè)b. 2個(gè)c. 3個(gè)d. 4個(gè)【答案】b【解析】【分析】根據(jù)空間線線、線面和面面位置關(guān)系有關(guān)定理，對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題（1），由于，所以，進(jìn)而，故（1）正確.對(duì)于命題（2），如圖所示，但與相交，故（2）錯(cuò)誤對(duì)于（3），如圖所示，但與不平行，故（3）錯(cuò)誤.對(duì)于（4），如圖所示，由于，故，根

3、據(jù)面面垂直的判定定理可知，故（4）正確.綜上所述，正確的命題有個(gè).故選b.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4.已知圓截直線所得弦長(zhǎng)為4，則實(shí)數(shù)的值是（ )a. 3b. 2c. 1d. 4【答案】b【解析】【詳解】圓心為，圓心到直線距離為，故圓的半徑為，即，故選.5.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，記，則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先比較,0的大小，然后由函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論【詳解】數(shù)滿足，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又時(shí)，遞增，所以時(shí)，遞減，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，所以，

4、即故選：d【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的對(duì)稱性是解題關(guān)鍵6.已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位以后得到一個(gè)偶函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）a. 函數(shù)的最小正周期為b. 函數(shù)在上單調(diào)遞增c. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱d. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】b【解析】【分析】根據(jù)已知求出函數(shù)解析式，然后判斷各選項(xiàng)是否正確【詳解】由已知，向左平移個(gè)單位后得，它為偶函數(shù)，則，又，所以，a錯(cuò)，時(shí)，b正確；，因此是對(duì)稱軸，不是對(duì)稱中心，c錯(cuò)；，不是對(duì)稱軸，d錯(cuò)故選：b【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)得函數(shù)解析

5、式，考查正弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵7.函數(shù)在的圖象大致為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【詳解】試題分析：函數(shù)|在2,2上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，因?yàn)?，所以排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有一零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)故選：d.8.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為f，過(guò)點(diǎn)f作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于a、b兩點(diǎn)，且與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為p，設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由方程得漸近線，可得a，b，p的坐標(biāo)，由已知向量式可得+=1，=，解之可得的值，由=，可得a，c的關(guān)系，從而可

6、得離心率【詳解】雙曲線的漸近線為：y=±x，設(shè)焦點(diǎn)f（c，0），則a（c，），b（c，），p（c，），（c，）=（+）c，（），+=1，=，解得=，=，又由=，得×=，解得,e=故答案為c【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和離心率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)得到=，=.9.如圖，在等腰梯形中，高為，為的中點(diǎn)，為折線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的最小值為，若關(guān)于的方程有兩不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)的橫坐標(biāo)為，將用表示分段表示出來(lái)

7、，再求最小值，再對(duì)有兩不等實(shí)根變形，可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，求出的取值范圍.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示:則，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則 當(dāng)時(shí)，在上動(dòng)，則當(dāng)時(shí)，的最小值；當(dāng)，時(shí)，在上動(dòng)，則，則，當(dāng)時(shí)，的最小值又，故，又有兩不等實(shí)根，則在有兩不等實(shí)根，則有兩不等實(shí)根，則與，有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，的圖象如圖所示，即方程有兩不等實(shí)根有：.故選：a【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量及應(yīng)用，方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，是方程、向量、不等式的綜合應(yīng)用，還考查了分析推理能力，運(yùn)算能力，分類(lèi)討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，難度較大.二、填空題10.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛

8、數(shù)，則實(shí)數(shù)_.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0求解【詳解】解：是純虛數(shù)，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題11.設(shè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，若，則的值是_.【答案】【解析】【分析】先求二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，求出，再由，求出.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，化簡(jiǎn)得令，得展開(kāi)式中的系數(shù)為令，得展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為由 可得.又，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式，利用通項(xiàng)公式求出指項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知的面積為，則的值為_(kāi)【答案】

9、【解析】試題分析：因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的設(shè)置將面積與余弦定理有機(jī)地結(jié)合起來(lái),有效地檢測(cè)了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.求解時(shí)先借助題設(shè)條件和三角形的面積公式及余弦定理探究出三邊的關(guān)系及,先求出,在運(yùn)用余弦定理得到.13.若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_(kāi)，此時(shí)_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】應(yīng)用基本不等式化為的形式，然后可得的最大值，用已知條件代入化簡(jiǎn)后可得最大值利用取最大值的條件可得【詳解】，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最大值為2，所以的最大值為由代入已知得，（），從而，故答案為：【點(diǎn)睛】本題

10、考查用基本不等式求最值本題中不是直接應(yīng)用基本不等式求得最值，而是應(yīng)用基本不等式把已知等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后解不等式得出最值14.設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，an>0，若，則的最小值為_(kāi).【答案】20【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由an>0得q>0，sn>0.又s62s3(a4a5a6)(a1a2a3)s3q3s35，則s3，由s3>0，得q3>1，則s9s6a7a8a9s3q6，令t，t(0，1)，則tt2，所以當(dāng)t，即q32時(shí)，取得最大值，此時(shí)s9s6取得最小值20.故答案為20.點(diǎn)睛：求解數(shù)列中的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的一般方法：（1）研究數(shù)列的單調(diào)性，利用單

11、調(diào)性求最值；（2）可以用或；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題或利用數(shù)形結(jié)合求解.15.6名同學(xué)報(bào)考、三所大學(xué)，每人只能從這三所大學(xué)中選一所大學(xué)作為第一志愿學(xué)校.假設(shè)每位同學(xué)選擇哪所大學(xué)是等可能的.若每所院校至少有一人報(bào)名，則共有_種不同的報(bào)名方法；若六名同學(xué)完全根據(jù)個(gè)人興趣自由報(bào)考，則每所大學(xué)恰好均有兩人報(bào)考的概率為_(kāi).【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】按照各大學(xué)報(bào)名人數(shù)分三類(lèi)：114,123,222，然后用大學(xué)選人的方法求解【詳解】按照各大學(xué)報(bào)名人數(shù)分三類(lèi)一所大學(xué)報(bào)4人，其余各1人，有方法數(shù)種，一所大學(xué)報(bào)3人，一所2人一所1人，有方法數(shù)種，三所學(xué)校各2人，種，共有9036090540種，

12、每所大學(xué)恰好均有兩人報(bào)考的概率為故答案為：540；【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，解題中涉及到分組分配問(wèn)題，其中人數(shù)為321的分組是組間有區(qū)別的分組，人數(shù)為222的分組是組間無(wú)區(qū)別的分組，解題時(shí)要注意區(qū)別三、解答題16.冠狀病毒是目前已知rna病毒中基因組最大一個(gè)病毒家族，可引起人和動(dòng)物的呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)、神經(jīng)系統(tǒng)等方面的嚴(yán)重疾病.自2019年底開(kāi)始，一種新型冠狀病毒covid-19開(kāi)始肆虐全球.人感染了新型冠狀病毒后初期常見(jiàn)發(fā)熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴(yán)重者可致呼吸困難、臟器衰竭甚至死亡.篩查時(shí)可先通過(guò)血常規(guī)和肺部ct進(jìn)行初步判斷，若血液中白細(xì)胞、淋巴細(xì)胞有明顯減少或肺部

13、ct有可見(jiàn)明顯磨玻璃影等病毒性肺炎感染癥狀則為疑似病例，可再通過(guò)核酸檢測(cè)做最終判斷，現(xiàn)a、b、c、d、e五人均出現(xiàn)了發(fā)熱咳嗽等癥狀，且五人發(fā)病前14天因求學(xué)、出差、旅行、探親等原因均有疫區(qū)旅居史.經(jīng)過(guò)初次血液化驗(yàn)已確定其中有且僅有一人罹患新冠肺炎，其余四人只是普通流感，但因化驗(yàn)報(bào)告不慎遺失，現(xiàn)需要再次化驗(yàn)以確定五人中唯一患者的姓名，下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患者為止；方案乙：混合檢驗(yàn)，先任取三人血樣混合在一起化驗(yàn)，若混合血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患者在這3人中，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患者為止；若混合血液化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則在另外2人中任選一人進(jìn)行化驗(yàn).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液

14、樣本中每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果是等可能的，且每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的.（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（2）求的期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先分析得到所有可能的值為，所有可能的值為，并求，分別取每個(gè)值時(shí)概率，再求；（2）列出隨機(jī)變量的分布列，求出的期望.【詳解】（1）所有可能的值為，所有可能的值為,，若乙驗(yàn)兩次時(shí)，有兩種可能：先驗(yàn)三只結(jié)果為陽(yáng)性，再?gòu)闹兄饌€(gè)驗(yàn)時(shí)，恰好一次驗(yàn)中概率為：先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性,再?gòu)钠渌鼉芍恢序?yàn)出陽(yáng)性(無(wú)論第二次試驗(yàn)中有沒(méi)有,均可以在第二次結(jié)束)乙只用兩次的概率為.若乙驗(yàn)三次時(shí)，只有一種可能：先驗(yàn)三只結(jié)

15、果為陽(yáng)性,再?gòu)闹兄饌€(gè)驗(yàn)時(shí),恰好二次驗(yàn)中概率為在三次驗(yàn)出時(shí)概率為，（2），所以的分布列為23【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件的概念計(jì)算，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，還考查了學(xué)生的閱讀理解能力，屬于中檔題.17.如圖：在直三棱柱中，是棱上一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，由平面，利用線面平行的性質(zhì)，可得，由是的中點(diǎn)，證得為的中點(diǎn)；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的正弦值；（3）在第

16、二問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)，根據(jù)直線與平面所成的角的正弦值，求出，求出線段的長(zhǎng)【詳解】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)平面，平面，平面平面，.為正方形的中心，.，.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的法向量為，又則，令，得，設(shè)平面的法向量為，又則則，令，得，.二面角的正弦值為.（3）設(shè)，其中，.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算解決二面角，線面角問(wèn)題，還考查了學(xué)生空間想象能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.18.已知橢圓，以橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，且該四邊形內(nèi)切圓的半徑為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意一條弦，直線是線段的垂直平分線，若是直

17、線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件列出的方程組，解得后得橢圓方程；（2）當(dāng)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，代入橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，得弦長(zhǎng)，同理得點(diǎn)坐標(biāo)得，然后計(jì)算三角形面積，利用基本不等式得最小值再求出直線與坐標(biāo)軸重合時(shí)，三角形的面積，比較后可得最小值【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，同理：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即進(jìn)“=”成立），當(dāng)直線與坐標(biāo)軸生重合時(shí)，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，面積的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交中三角形面積問(wèn)題，本題中由于直線是過(guò)原點(diǎn)的，因此可設(shè)出直線

18、方程后代入橢圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，得出弦長(zhǎng)否則一般用設(shè)而不求的思想方法求解19.已知數(shù)列滿足：，.（1）設(shè)，求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）設(shè)，求的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）把已知遞推關(guān)系代入得的遞推關(guān)系，同時(shí)說(shuō)明即證，求出后可得；（2）由（1）得，用放縮法，然后可求得和，證明出結(jié)論；（3）求出，設(shè)，作商，再對(duì)化簡(jiǎn)后的的分子分母作差，可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而得最大值【詳解】（1）為等比數(shù)列，且，則（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立）（3），設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查由數(shù)

19、列的遞推關(guān)系證明等比數(shù)列，考查用放縮法估計(jì)數(shù)列的和證明數(shù)列不等式，考查用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)在證明與和有關(guān)的不等式時(shí)，一般先求出和，如果不能直接求和，那么可以采取用放縮法后能夠求和，從而證明結(jié)論求數(shù)列的最大或最小項(xiàng)，可以先研究數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列單調(diào)性的判斷可用作差法或作商法20.已知函數(shù)f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）= （ar，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f（x）在 上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；（）若對(duì)任意給定的x0（0，e，在（0，e上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍【答案】(1) f（

20、x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2，單調(diào)增區(qū)間為2，+）；(2) 函數(shù)f（x）在 上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值為24ln2；（3）a的范圍是.【解析】試題分析：（）把a(bǔ)=1代入到f（x）中求出f（x），令f（x）0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令f（x）0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；（）f（x）0時(shí)不可能恒成立，所以要使函數(shù)在（0，）上無(wú)零點(diǎn)，只需要對(duì)x（0，）時(shí)f（x）0恒成立，列出不等式解出a大于一個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的增減性得到這個(gè)函數(shù)的最大值即可得到a的最小值；（）求出g（x），根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出g（x）的值域，而當(dāng)a=2時(shí)不合題意；當(dāng)a2時(shí)，求出f（x）=0時(shí)x的值，根據(jù)x（0，e列出關(guān)于a的不等式得到，并根據(jù)此時(shí)的x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到和，令中不等式的坐標(biāo)為一個(gè)函數(shù)，求出此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到此函數(shù)的最大值，即可解出恒成立和解出得到，聯(lián)立和即可解出滿足題意a的取值范圍試題解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x12lnx，則f（x）=1，