定積分的應(yīng)用與推廣ppt課件

1、5.1 微元分析法微元分析法5.2 定積分應(yīng)用的實(shí)例定積分應(yīng)用的實(shí)例5.3 廣義積分廣義積分5.1 定積分的元素法定積分的元素法元素法也稱微元法是將某些實(shí)際問題的求解，元素法也稱微元法是將某些實(shí)際問題的求解，最終歸結(jié)一個(gè)定積分表達(dá)式的方法最終歸結(jié)一個(gè)定積分表達(dá)式的方法.基本思想： 分割替代求和取極限5.1 定積分的元素法定積分的元素法以求曲邊梯形面積為例，介紹何為“元素法或微元法”. 什么樣的問題可以考慮用定積分來計(jì)算？用用“元素法或微元法求一個(gè)整體量元素法或微元法求一個(gè)整體量Q的積分表達(dá)式的積分表達(dá)式的一般步驟：的一般步驟：( )dAf x dx ( )baAf x dx 5.1 定積分的元

2、素法定積分的元素法由分割寫微元由分割寫微元由微元寫積分由微元寫積分5.1 微元分析法微元分析法5.2 定積分應(yīng)用的實(shí)例定積分應(yīng)用的實(shí)例5.3 廣義積分廣義積分5.2.1平面圖形的面積平面圖形的面積Ox yab yf (x)Sdxxfba)(=SOx yab yf (x)S=S( )bafx dx( )bafx dxba y = f(x)O y xcd1S2S3S=S123sss( )cafx dx( )dcfx dx ( )bdfx dx=S()dcyOx ydcS()xydy=S123sssb aO y xdc( )xy1S2S3S()cay dy()dcy dy ()bdy dyOx ya

3、b( )yfx( )yg xSOx yab( )yfx( )yg xS=S( )( )bbaafx dxg x dx( )( )bbaafx dxg x dx=S( )bafxc dx( )bag xc dx( )( )bafxg xdx( )( )bafxg xdx=S()()dcyydyOx ycd()xy()xyS1xyexyeYXoS 10dxxxee10()xxee1()(1 1)ee12ee所求圖形面積為：5.15.18 y-2 2 x2O444求兩曲線的交點(diǎn)得：求兩曲線的交點(diǎn)得：(2，2)，(8，4) A1861421)214(4232242yyydyyy18yx4y22x( 2

4、,2)(8,4)將圖形向?qū)D形向y軸投影得區(qū)間軸投影得區(qū)間2，4.1861421)214(4232242yyydyyy1861421)214(4232242yyydyyy1861421)214(4232242yyydyyy42所求面積為：CDEFG解解1：5.25.2ab S 4S1 4dxxaaba2204442aabdxxaaba2204442aabab。 xyO y22xaab 則橢圓的面積為設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1, 解:2204abax dxa2204abax dxa2204abax dxa5.35.31、繞、繞 x軸的旋轉(zhuǎn)體的體積軸的旋轉(zhuǎn)體的體積2 ( )bxaVf xdx5.

5、2.2 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積用微元法求繞用微元法求繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積公式方法步驟軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積公式方法步驟YXo( )yf xaCbDaCxxdx , a b區(qū)間 ,x xdx小區(qū)間如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積為如圖，設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積為Vx旋轉(zhuǎn)體的體積元素微元為dV 2( )f xdx故Vx( )f x dx ba2( )f xdx由分割寫微元由分割寫微元由微元寫積分由微元寫積分xoycdy( )xy2、繞、繞 y 軸的旋轉(zhuǎn)體的體積軸的旋轉(zhuǎn)體的體積2 ( )dycVdyy 1、繞、繞 x軸的旋轉(zhuǎn)體的體積軸的旋轉(zhuǎn)體的體積2 ( )dycVdyy 2 ( )bxaVf xdxA(x)3、已知

6、平行截面面積的立體體積、已知平行截面面積的立體體積 設(shè)立體在設(shè)立體在x軸上的投影區(qū)間為軸上的投影區(qū)間為a, b, 立體內(nèi)垂直于立體內(nèi)垂直于x軸的軸的截面面積為截面面積為A(x). 立體的體積元素為立體的體積元素為 立體的體積為立體的體積為dxxAVba)( dV dxxAVba)(A(x)dx dxxAVba)(dxxAVba)( 例例 5.4 求由直線求由直線 x + y = 4 與曲線與曲線 xy = 3 所圍成的平面圖形繞所圍成的平面圖形繞x軸所生成的旋軸所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。轉(zhuǎn)體的體積。例例 5.5 求由直線段求由直線段 y = Rxh，x0， h與直線與直線 x = h, x 軸軸

7、所圍成的平面圖形所圍成的平面圖形繞繞x軸所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。軸所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。 求解過程求解過程 略略 求解過程求解過程 略略繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積：222aaxbaxdxav222aaxbaxdxav 2222()aabaxdxa243ab222aaybaxdxav222bbxabydybv2222()bbabydyb243a b繞y軸的旋轉(zhuǎn)體體積：22axbyb5.65.6 質(zhì)桿的放置區(qū)間質(zhì)桿的放置區(qū)間a, b,線密度線密度 , 所以質(zhì)量微所以質(zhì)量微元為元為 ，得到非均勻質(zhì)桿的質(zhì)量為，得到非均勻質(zhì)桿的質(zhì)量為 5.2.3 質(zhì)桿的質(zhì)量質(zhì)桿的質(zhì)量 x dxxdM dxxMba例例 5.7 有

8、一個(gè)放置在有一個(gè)放置在x軸上的質(zhì)桿，若其上每一點(diǎn)軸上的質(zhì)桿，若其上每一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，試求坐標(biāo)在的密度等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，試求坐標(biāo)在2與與3之之間的那段質(zhì)桿的質(zhì)量。間的那段質(zhì)桿的質(zhì)量。 求解過程求解過程 略略5.1 微元分析法微元分析法5.2 定積分應(yīng)用的實(shí)例定積分應(yīng)用的實(shí)例5.3 廣義積分廣義積分5.3.1 無窮區(qū)間上的廣義積分無窮區(qū)間上的廣義積分 （定義）（定義）5.3.15.3.1 無窮區(qū)間上的廣義積分無窮區(qū)間上的廣義積分 （定義）（定義）5.3.15.3.1 無窮區(qū)間上的廣義積分無窮區(qū)間上的廣義積分 （定義）（定義）5.3.15.3.1 無窮區(qū)間上的廣義積分無窮區(qū)間上的

9、廣義積分 （定義）（定義）5.3.1arctg b)2 (2 。 =0lim arctanbbx=lim arctanbb=5.95.9 0alim021axdxblimbxdx021解：21xdx021xdx021xdxalim021axdxblimbxdx021 =05.105.10 a2x 求解過程求解過程 略略21xdx021xdx021xdx21xdx021xdx021xdxalim021axdxblimbxdx021arctg b)2 (2 。 0lim arctanaax0lim arctanbbxlim arctanaa-lim arctanbb解：21xdx021xdx021

10、xdx alim021axdxblimbxdx02121xdx021xdx021xdx21xdx021xdx021xdx alim021axdxblimbxdx021alim021axdxblimbxdx021 =5.115.11證：當(dāng) p1 時(shí)，dxxp11dxx111lnx證：當(dāng) p1 時(shí)，dxxp11dxx111lnxdxxp11dxx111lnx。 dxxp11dxx111lnx 1 當(dāng) p1 時(shí)，當(dāng) p1 時(shí)，dxxp1111)11(pxpdxxp1111)11(pxp 1。 111lim11ppxxp111lim11ppxxp5.125.12 當(dāng) p1 時(shí)，當(dāng) p1 時(shí)，當(dāng) p1

11、時(shí)，dxxp1111)11(pxp11pdxxp1111)11(pxp 1111lim11ppxxpdxxp1111)11(pxp11p。 當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散.當(dāng) p1 時(shí)，dxxp1111)11(pxp11p由 的討論知：5.3.2 無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分 （參考內(nèi)容）（參考內(nèi)容）5.3.2 無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分5.3.2 無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分5.3.2 無界函數(shù)的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分221dxax 故2201adxax 0a故而1 故0aqdxx 0adxx dxx aln|xa 0aqdxx 0aqdxx qdxx aa（續(xù)上頁

12、）綜上討論知：6.6 完畢課后習(xí)題：課后習(xí)題：習(xí)題提示：習(xí)題提示：書面作業(yè)：書面作業(yè)： P 習(xí)題 預(yù)習(xí)：預(yù)習(xí)：P 習(xí)題 第 題其他參考例題其他參考例題畫出草圖，則所求面積為S 02sin xdx (2cos )x 04( )yf x 所求圖形面積為S 20( )af x dx 20(1cos )aat dx (sin )xa tt 20(1cos )(1cos )atat dt 2220(12coscos)att dt 22031(2coscos2 )22att dt 2220(12coscos)att dt 22031(2coscos2 )22att dt 2312sinsin224attt

13、 （續(xù)上頁）2 023 a 由旋轉(zhuǎn)體體積公式，得所求體積為2 ( )baxf xdxv20sin xdx01 cos22xdx1sin222xx 0221xyexyeYXo如圖，所求體積為12xVVV112200 xxedxedx112200 xxedxedx1220()xxeedx22()2xxee1022(2)2ee 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 則底圓的方程為則底圓的方程為x2y2R2. 所求立體的體積為所求立體的體積為tan)(21)(22xRxAdxxRVRRtan)(2122RRxxR31tan2132tan323RRRxxR31tan2132tan323R 立體中過點(diǎn)立體中過點(diǎn)x且垂直于且垂直于x