推薦14課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-同步練習(xí)

1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題根底知識根本技熊_/ r FM ' / H I1 k 11 T J ! B P %_!,、,VB1.最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點,與直 線的交點即為所求.如下列圖,點A, B分別是直線l異側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA + CB最短, 這時點C是直線l與AB的交點.(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個點關(guān) 于這條直線的對稱點,連接對稱點與另一個點,那么與該直線的交點即為所求.如下列圖,點A, B分別是直線l同側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA + CB最短,

2、 這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B',那么點C是直線l與AB'的交點.為了證實點C的位置即為所求,我們不妨在直線上另外任取一點C',連接AC' ,BC',B' C ,證實 AC + CBvAC' + C' B.如下：證實：由作圖可知,點 B和B'關(guān)于直線l對稱,所以直線l是線段BB'的垂直平分線.由于點C與C'在直線l上,所以 BC = B' C, BC' = B' C .在AB' C 中,AB' v AC' + B' C',所以 AC + B

3、' Cv AC' + B' C',所以 AC + BCvAC ' + C B.【例1】 在圖中直線l上找到一點 M,使它到A, B兩點的距離和最小.分析：先確定其中一個點關(guān)于直線l的對稱點,然后連接對稱點和另一個點,與直線 l的交點M即為所求的點.解：如下列圖：(1)作點B關(guān)于直線l的對稱點B'(2)連接AB'交直線l于點M.(3)那么點M即為所求的點.點撥：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上,然后用“兩點之間線段最短解決問題.2 .運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì), 將所求線段之和

4、轉(zhuǎn)化為一條線段的長, 是解決 距離之和最小問題的根本思路, 不管題目如何變化, 運用時要抓住直線同旁有兩點, 這兩點 到直線上某點的距離和最小,這個核心,所有作法都相同.警誤區(qū)利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系,通過比較來說明最值問題是常用的一種方法.解決這類最值問題時, 要認(rèn)真審題,不要只注意圖形而忽略題意要求,.審題不清導(dǎo)致答非所問.3 .利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上.如果兩點在一條直線的同側(cè)時, 過兩點的直線與原直線的交點處構(gòu)成線段的差最大, 如果兩點在一條直線的異側(cè)時, 過兩點的直 線與原直線的交點處構(gòu)成的線

5、段的和最小, 都可以用三角形三邊關(guān)系來推理說明, 通常根據(jù) 最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決.解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時,可以通過平移河岸的方法使河的寬度變 為零,轉(zhuǎn)化為求直線異側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題.在解決最短路徑問題時,我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線 段轉(zhuǎn)化到一條直線上,從而作出最短路徑的方法來解決問題.【例2】 如圖,小河邊有兩個村莊 A, B,要在河邊建一自來水廠向 A村與B村供水.(1)假設(shè)要使廠部到 A, B村的距離相等,那么應(yīng)選擇在哪建廠(2)假設(shè)要使廠部到 A, B兩村的水管最短,應(yīng)建在什么地方分析：(1)到

6、A, B兩點距離相等,可聯(lián)想到“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,又要在河邊,所以作 AB的垂直平分線,與 EF的交點即為符合條件的點.(2)要使廠部到A村、B村的距離之和最短,可聯(lián)想到“兩點之間線段最短,作A(或B)點關(guān)于EF的對稱點,連接對稱點與 B點,與EF的交點即為所求.解：(1)如圖1,取線段AB的中點G,過中點G畫AB的垂線,交EF于P,那么P到A,1B的距離相等.也可分別以 A、B為圓心,以大于2AB為半徑回弧,兩弧交于兩點,過這兩 點作直線,與EF的交點P即為所求.(2)如圖2,畫出點A關(guān)于河岸EF的對稱點A',連接A' B交EF于P ,那么P至U A, B 的距離和最短.【例3】 如圖,從A地到B地經(jīng)過一條小河(河岸平行),今欲在河上建一座與兩岸垂 直的橋,應(yīng)如何選擇橋的位置