高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例3.2獨(dú)立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用講義新人教A版選修2_3

1、3.2獨(dú)立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用知識點(diǎn) 分類變量及2X2列聯(lián)表1 .分類變量變量的不同“值”表示個體所屬的口 01不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.2 .列聯(lián)表(1)定義：列出的兩個分類變量的口 02頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表.(2)2 X2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的取值分別為口03xi, X2和04yi, y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2X2列聯(lián)表)為下表.yiy2總計Xiaba+ bX2cdc+ d總計a+ cb+da+ b+ c+ d知識點(diǎn)等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否口01相互影響,常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的口絲頻率特征

2、.(2)觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn) 余和 M相差很大，就判斷兩個分類變量之間口 03有關(guān)系.知識點(diǎn) 獨(dú)立性檢驗定義公式利用隨機(jī)變量不來判斷,兩個分類變域有關(guān)系” 的方法稱為何獨(dú)立性檢驗產(chǎn)麗"nd 慶”(n+6)(c+d) Q+r)3+(Z)'其中“ =+燈+ d認(rèn)真讀題.取出相關(guān)數(shù)據(jù).作出2X2列聯(lián)表；具體 根據(jù)2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),計算K工的觀測值人 步驟 通過觀測值£與臨界值七比較，得出事件有關(guān) 的可能性大小1 .列聯(lián)表與等高條形圖列聯(lián)表由兩個分類變量之間頻率大小差異說明這兩個變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系，而利用 等高條形圖能形象直觀地反映它們之間的差異，進(jìn)而推斷它們之間是否

3、具有關(guān)聯(lián)關(guān)系.2 .對獨(dú)立性檢驗思想的理解獨(dú)立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法.先假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立， 計算隨機(jī)變量 K2的值，如果K2的值很大，說明假設(shè)不合理.K2越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大.1.判一判(正確的打“，”，錯誤的打“x”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念.()(2)列聯(lián)表頻率分析法、等高條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗中K2取值則可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小.()(3)獨(dú)立性檢驗的方法就是反證法.()答案 (1) X (2) V (3) X2.做一做(1)為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡踢足球之間有無

4、關(guān)系，一般需要收集以下數(shù)據(jù)(2)若觀測值k= 7.8,得到的正確結(jié)論是在犯錯誤的概率不超過 的前提下認(rèn)為-2 -“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”.(3)獨(dú)立性檢驗中，假設(shè) H:變量x與變量y沒有關(guān)系.則在 H0成立的情況下，估計概率 RK2R6.635) -0.01表示的意義是變量x與變量y(填“有關(guān)系”或“無關(guān)系”)的概 率是 99%.答案(1) 男女生中喜歡和不喜歡踢足球的人數(shù)(2)1% (3) 有關(guān)系解析(1) 為了調(diào)查高中生的性別與是否喜歡踢足球之間有無關(guān)系，一般需要收集男女生中喜歡和不喜歡踢足球的人數(shù)，再得出 2X2列聯(lián)表，最后代入隨機(jī)變量的觀測值公式，得出 結(jié)果(2)因為7.8 >

5、6.635 ,所以這個結(jié)論有 0.01 =1%勺機(jī)會說錯，在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”(3)因為概率 RK2R6.635)0.01 ,所以兩個變量有關(guān)系的可信度是1 0.01 = 99%，即兩個變量有關(guān)系的概率是99%.探究 1 獨(dú)立性檢驗的基本思想例 1 在吸煙與患肺病這兩個分類變量中，下列說法正確的是()A.若K2的觀測值k= 6.635,我們有99%勺把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，那么在 100個吸煙的人中必有99 個人患有肺病B.從獨(dú)立性檢驗可知有99%勺把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病C.若從統(tǒng)計量中求出有 9

6、5%勺把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有5%勺可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤D.以上三種說法都不正確 解析 獨(dú)立性檢驗的結(jié)果是一種相關(guān)關(guān)系，不是確定性關(guān)系，反映的是有關(guān)或無關(guān)的概率的大小，故 A錯誤，B錯誤，C正確.答案選 C.答案C拓展提升本例考查獨(dú)立性檢驗的基本思想，相關(guān)性檢驗的結(jié)果是一種相關(guān)關(guān)系，而不是確定性關(guān) 系，是反映有關(guān)和無關(guān)的概率.本題考查學(xué)生對基本知識的理解.跟蹤訓(xùn)練1給出下列實(shí)際問題，其中不可以用獨(dú)立性檢驗解決的是（）A.喜歡參加體育鍛煉與性別是否有關(guān)B.喝酒者得胃病的概率C.喜歡喝酒與性別是否有關(guān)D.青少年犯罪與上網(wǎng)成癮是否有關(guān)答案 B解析 獨(dú)立性檢驗主要是對兩個分類變量是否有關(guān)進(jìn)

7、行檢驗，故不可用獨(dú)立性檢驗解決 的問題是B.故選B.跟蹤訓(xùn)練2通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運(yùn)動，得到如下的列 聯(lián)表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由K2=算得,n ad bc 2a+ b c+ d a+ c b+ d2'7.8.110X 40X3020X2060X50X60X50-附表:P(K2>kc)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是 （）A.在犯錯誤的I率不超過 0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”B.在犯錯誤的概率不超過 0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)

8、動與性別無關(guān)”C.有99%上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”D.有99%上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)”答案 C解析 根據(jù)獨(dú)立性檢驗的定義，由k2=7.8>6.635可知在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”，即有99艱上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”.故選C.探究2用等高條形圖判斷兩個變量是否相關(guān)例2為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果進(jìn)行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物效果試驗列聯(lián)表患病未患病總計服用藥104555未服用藥203050總計307510510一550.18,未服用藥患病的頻試用等高條形圖分析服用藥和患病之間是否有關(guān)系.解根據(jù)列聯(lián)表所給

9、的數(shù)據(jù)可得出服用藥患病的頻率為 »、，20率為£；= 0.4,兩者的差距是|0.18 0.4| =0.22,兩者相差很大，作出等圖條形圖如圖所本,50因此服用藥與患病之間有關(guān)系的程度很大.拓展提升應(yīng)用等高條形圖判斷兩變量是否相關(guān)的方法在等高條形圖中,可以估計滿足條件X= x1的個體中具有Y= y1的個體所占的比例 指,c也可以估計滿足條件XX X2的個體中具有Y= yi的個體所占的比例.“兩個比例的值相差越大，H成立的可能性就越大”.跟蹤訓(xùn)練3某學(xué)校對高三學(xué)生作了一項調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的 學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學(xué)生594人中有

10、213人在考前心情緊張,作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系.解作列聯(lián)表如下：性格內(nèi)向性格外向總計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計4265941020相應(yīng)的等高條形圖如圖所示:圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可 以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的 人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān).探究3由K2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗0.005的前提下，認(rèn)為“喜例3某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：體育文娛合計男生212344女生62935合計275279

11、試用你所學(xué)過的知識進(jìn)行分析，能否在犯錯誤的概率不超過歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？解其等高條形圖如圖所示.由圖可以直觀地看出喜歡體育還是喜歡文娛與性別在某種程度上有關(guān)系，但只能作粗略判斷，具體判斷方法如下：假設(shè)“喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系”，,. a=21, b=23, c=6, d=29, n= 79.2,，K2=叱d"a+ b c+ d a+ c b+ d_ 279X 21X2923X6=：T： 21 + 23 X 6+29 X 21 + 6 X 23 + 29 8.106.且P(K2>7.879) =0.005,即我們得到的 K2的觀測值k = 8.106,超過7

12、.879 ,這就意味著:“喜歡體育還是文娛與性別沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005 ,即在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān).”拓展提升獨(dú)立性檢驗的具體做法(1)根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界然后查表確定臨界值ko.(2)利用公式K2 =n ad bcabcdacbd計算隨機(jī)變量K2的觀測值k.(3)如果k>ko,推斷“ X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過廠,否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過a的前提下不能推斷“ X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“ X與Y有關(guān)系”.跟蹤訓(xùn)

13、練4 某地區(qū)甲校高二年級有1100人，乙校高二年級有 900人，為了統(tǒng)計兩個學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，如下表：(已知本次測試合格線是 50分，兩校合格率均為 100%)甲校高二年級數(shù)學(xué)成績：分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)10253530x乙校高二年級數(shù)學(xué)成績:分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)153025y5(1)計算x, y的值，并分別估計以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分(精確到1分)；(2)若數(shù)學(xué)成績不低于 80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上

14、統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2X2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異？”甲校乙?？傆媰?yōu)秀非優(yōu)秀總計解(1)依題意知甲校應(yīng)抽取 110人，乙校應(yīng)抽取90人，. x= 10)y= 15)估計兩個學(xué)校的平均分，甲校的平均分為 75. 71.55X 10+65X 25+ 75X 35+ 85X 30+ 95X10110乙校的平均分為55 X 15+65X30+75X25+85X 15+95X590(2)數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表甲校乙校總計優(yōu)秀402060非優(yōu)秀7070140總計11090200200 40X7020X70 k =6

15、0X140X110X90又因為4.174>3.841 ,故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異”.1 .獨(dú)立性檢驗是數(shù)理統(tǒng)計的一種方法，是數(shù)學(xué)中的一種基本理論，是數(shù)學(xué)體系中對數(shù)據(jù) 關(guān)系進(jìn)行探索的一種基本思想.判斷兩個分類變量是否相關(guān)可以通過等高條形圖進(jìn)行粗略判斷，也可以通過獨(dú)立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，利用公式n ad bc2a+ b c+ d a+ c c+ d計算出隨機(jī)變量K2的觀測值k,通過查表確定臨界值k。.若k>kc說明X-13 -與Y有關(guān)系，否則是沒有關(guān)系2 .解決一般的獨(dú)立性檢驗問題的步驟(1)通過列聯(lián)表確定a, b, c,

16、d, n的值，根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值kc；(2)利用K2 =n ad- bc 2a+b c+d a+c b+d求出K2的觀測值k；(3)如果k>k0,就推斷“兩個分類變量有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過a ,否則就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過a的前提下不能推斷“兩個分類變量有關(guān)系”.其中第(2)步易算錯K2的值，是本節(jié)課的易錯點(diǎn).1.在獨(dú)立性檢驗中，假設(shè)變量x與變量y沒有關(guān)系，則在H0成立的情況下，R/>6.635） =0.01 表示 （）A.變量x與變量y有關(guān)系的概率是1%B.變量x與變量y有關(guān)系的概率是99%C.變量x與變量y沒有關(guān)系的概率是 0.1%D.變量x與

17、變量y沒有關(guān)系的概率是 99.9%答案 B解析 因為RK2>6.635） =0.01 ,所以兩個變量有關(guān)系的可信度是99%即兩個變量有關(guān)系的概率是99%.故選B.2.某工廠為了調(diào)查工人文化程度與月收入的關(guān)系，隨機(jī)抽取了部分工人，得到如下列聯(lián) 表：文化程度與月收入列聯(lián)表（單位：人）月收入2000元 以下月收入2000元 及以上呂t卜高中文化以上104555高中文化及以下203050總計3075105由上表中數(shù)據(jù)計算得K2的觀測值105X 10X3020X4555X50X30X752- = 6.109,請估計有多大把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”（）B. 99%A. 1%C. 2.5%D.

18、 97.5%答案 D解析 由于6.109>5.024 ,故在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，即有 97.5%的把握認(rèn)為“文化程度與月收入有關(guān)系”.3.如圖是某地區(qū)男女中學(xué)生是否喜歡理科的等高條形圖，從圖中可以看出（）A.是否喜歡理科與性別無關(guān)B.女生中喜歡理科的百分比約為80%C.男生比女生喜歡理科的可能性大D.男生中不喜歡理科的百分比約為60%答案 C解析由等高條形圖，可知女生中喜歡理科的百分比約為1 0.8=0.2=20%男生中喜歡理科的百分比約為 1 0.4=0.6=60%因此男生比女生喜歡理科的可能性大.故選C.4.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對該班 50名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的2X2列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球總計男生20525女生101525總計302050則在犯錯誤的概率不超過 的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)（請用百分?jǐn)?shù)表 示）.答案 0.5%n ad bc 2解析K= '_r' I , Ia+ b c+ d a+ c b+ d50x 20X155X 1025 25 30 2020.005的前提下認(rèn)為喜- = 8.333>7.879