汽車結(jié)構(gòu)有限元分析第二講有限元基礎(chǔ)理論ppt課件

1、第二講 有限元基礎(chǔ)理論 及平面問(wèn)題有限元方法 講述以下問(wèn)題-1.有限元與力學(xué)關(guān)系2.回想-材料力學(xué)研究對(duì)象與研究方法3.強(qiáng)度問(wèn)題 、剛度問(wèn)題、穩(wěn)定性問(wèn)題4.點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)-空間問(wèn)題5.廣義Hooke定律6.彈性力學(xué)的基本方程7.彈性力學(xué)問(wèn)題分類8.三大方程、三類問(wèn)題、三種解法9.平面問(wèn)題10.平面問(wèn)題的有限元方法1.有限元與力學(xué)關(guān)系彈性力學(xué)與理論力學(xué)區(qū)別：理論力學(xué)研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系與剛體質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)與剛體力學(xué)）。材料力學(xué)與彈性力學(xué)研究變形體。 力學(xué)分支眾多：材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、板殼力學(xué)、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論、振動(dòng)理論、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等; 有

2、限元方法是以力學(xué)理論為基礎(chǔ)，是一種現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法，是一種解決工程實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算工具，是現(xiàn)代設(shè)計(jì)與分析方法的支柱！2.回想-材料力學(xué)研究對(duì)象與研究方法研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見(jiàn)的如下結(jié)構(gòu)元件構(gòu)件）: （1桿、桿系、梁、柱，（長(zhǎng)寬和高）-材料力學(xué)（2板(中厚板)、殼，（厚長(zhǎng)與寬）-扳殼力學(xué)（3三維體，-彈性力學(xué)截面法是處理固體力學(xué)問(wèn)題的最基本的方法：通過(guò)外力作用力和約束力與內(nèi)力應(yīng)力平衡求構(gòu)件的響應(yīng)，通過(guò)本構(gòu)物理關(guān)系求變形位移與應(yīng)變），最重要的是材料力學(xué)中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設(shè)最為重要。-簡(jiǎn)化計(jì)算！平截面假設(shè)平截面假設(shè)初始與梁的中性軸垂直的平面初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直

3、在變形后仍垂直于軸線于軸線, 并且在垂直軸線方向上無(wú)變形；并且在垂直軸線方向上無(wú)變形；梁的基本方程：梁的基本方程：22dxwdEIM122dxwd2max6bhM)4(222ayhIQbhQ23maxmax maxIyM 3.研究工程結(jié)構(gòu)在使用狀態(tài)下的安全性、可靠性、使用性等，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的功能與性能。強(qiáng)度問(wèn)題(應(yīng)力值不超過(guò)許用值) ；剛度問(wèn)題(變形不太大)；穩(wěn)定性問(wèn)題不失穩(wěn)）；振動(dòng)問(wèn)題量值在限制范圍）；碰撞問(wèn)題安全生存空間）；4 .點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)-空間問(wèn)題xyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxz彈性問(wèn)題彈性問(wèn)題 應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)的過(guò)程無(wú)關(guān)。應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀

4、態(tài)的過(guò)程無(wú)關(guān)。九個(gè)應(yīng)力分量，九個(gè)應(yīng)變分量獨(dú)立變量各六個(gè)）。九個(gè)應(yīng)力分量，九個(gè)應(yīng)變分量獨(dú)立變量各六個(gè)）。單元體研究方法。單元體研究方法。 zzyzxyzyyxxzxyx zzyzxyzyyxxzxyx 2121212121216.彈性力學(xué)的基本方程-三大方程物理方程 x=2Gx + xy = Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx0Xzyxzxyxx0Yzyxzyyxy0Zzyxzyzxz 平衡方程平衡方程xuxxvyuxyyvyywzvyzzwzzuxwzx 幾何方程5.各向同性彈性體廣義Hooke定律 EEzyxx xyxyE 12 EExzyy yzyz

5、E 12 EEyxzz zxzxE 12彈性力學(xué)有彈性力學(xué)有15個(gè)基本方程：個(gè)基本方程： 3個(gè)平衡方程；個(gè)平衡方程； 6個(gè)幾何方程；個(gè)幾何方程； 6個(gè)本構(gòu)方程；個(gè)本構(gòu)方程；15個(gè)基本未知量：個(gè)基本未知量： 3個(gè)位移分量；個(gè)位移分量； 6個(gè)應(yīng)力分量；個(gè)應(yīng)力分量； 6個(gè)應(yīng)變分量；個(gè)應(yīng)變分量；* 加適當(dāng)邊界條件。加適當(dāng)邊界條件。彈性力學(xué)問(wèn)題解法-三種解法位移法、應(yīng)力法、混合法）物理方程 應(yīng)力平衡微分方程靜力邊界條件 變形(位移與應(yīng)變)變形協(xié)調(diào)方程(或位移單值連續(xù))位移邊界條件以位移作為未知數(shù)幾何方程求應(yīng)變物理方程求應(yīng)力位移解法聯(lián)立求解彈性力學(xué)問(wèn)題分類-三類邊界問(wèn)題靜力邊界問(wèn)題 位移邊界問(wèn)題混合邊界問(wèn)

6、題S uS (X,Y,Z)(X,Y,Z)由位移表示的平衡微分方程其中 是Lplace算子靜力邊界條件使用位移表示位移邊界條件0)(XxGuG20)(YyGvG20)(ZGwG2z2222222zyx9. 平面問(wèn)題平面應(yīng)變物體是一柱體，軸向方向很長(zhǎng) 所有外力體積力和面力都平行于橫截面作用，且沿軸線大小不變平面應(yīng)力沿z方向的厚度t均勻且很小所有外力均作用在板的周邊和板內(nèi)，平行于板面作用，且沿厚度不變xyzyt/2t/2t/2zxy平面應(yīng)變特點(diǎn) （1位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0 （2應(yīng)變 平面內(nèi)， x、y、xy 0，均為x、y的函數(shù)； 平面外，z=xz=yz =0； （3應(yīng)力

7、 z=(x+y)平面問(wèn)題的協(xié)調(diào)方程01)(yxzz Eyxrxyxyyx222222平面應(yīng)力特點(diǎn) （1應(yīng)力 在z = 的面上各點(diǎn)沒(méi)有任何應(yīng)力 z=zx =zy =0 在面內(nèi)： x、y、xy 0 （2應(yīng)變2txyxyyxyyxx E EE EE12yxz E xz=yz=0 （3) 位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w 0平面問(wèn)題平衡微分方程0Xyxyxx 0Yyxyxy 平面問(wèn)題幾何方程yvy xvyuxy xux 10.有限元方法概念平面問(wèn)題的有限元法用彈性力學(xué)經(jīng)典解法解決實(shí)際問(wèn)題的主要困難在于求解偏微分方程的復(fù)雜性，而有限元方法則將原來(lái)連續(xù)的彈性體離散化，其中最簡(jiǎn)單的就是采用三角形

8、單元對(duì)彈性體進(jìn)行劃分。 把整個(gè)求解區(qū)域分成許多個(gè)有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個(gè)單元上構(gòu)造近似位移函數(shù)，即進(jìn)行所謂的分片插值。在每一個(gè)單元上求勢(shì)能。將所有單元上的勢(shì)能加起來(lái)得彈性體的總勢(shì)能。最后應(yīng)用最小勢(shì)能原理求解單元節(jié)點(diǎn)位移。對(duì)每個(gè)三角形單元選擇最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)為位移模式，單元中任一點(diǎn)的位移可以通過(guò)3個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移進(jìn)行插值運(yùn)算，這樣整個(gè)區(qū)域中無(wú)限多個(gè)未知位移量就可以用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)來(lái)表示，從而避免了求解覆蓋整個(gè)區(qū)域的位移函數(shù)的困難。平面問(wèn)題的有限元法，不僅可用來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，而且通過(guò)其相對(duì)簡(jiǎn)單的概念，可以詳細(xì)了解用有限元法對(duì)一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原理和方法步驟，了解有限元法的性能特點(diǎn)

9、，使用中應(yīng)注意的問(wèn)題，從而為學(xué)習(xí)后續(xù)各章節(jié)打下基礎(chǔ)。 ijmxy(x, y)uv下面就以平面三角形單元闡明有限元的基本概念單元位移模式 每個(gè)節(jié)點(diǎn)在單元平面內(nèi)有兩個(gè)位移分量，相應(yīng)有兩個(gè)自由度： 一個(gè)三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，共6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，其單元節(jié)點(diǎn)位移列陣可表示為：位移模式可取為最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，包含6個(gè)待定常數(shù) 、 。 Tiiivu),(mji TmmjjiiTTmTjTievuvuvu163321321321yxuyxuyxummjjjiii3654654654yxvyxvyxvmmjjjiii一種簡(jiǎn)單的線性位移函數(shù)為：式中 、 為6個(gè)待定常數(shù)，可以由單元的節(jié)點(diǎn)位移確定。設(shè)節(jié)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別

10、為( ， )、（ ， ）、（ ， ），其節(jié)點(diǎn)位移為， ，將它們代入上式得：聯(lián)立求解上述公式左邊的6個(gè)方程，可以求出待定常數(shù): 整理后得 ：yxvyxu65432116ixiyjxjymxmy),(),(),(mmjjiivuvuvu、3321321321yxuyxuyxummjjjiii3654654654yxvyxvyxvmmjjjiii)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv單元形函數(shù)函數(shù) 表示單元內(nèi)部的位移分布形態(tài)，故 可稱為單元的形態(tài)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為形函數(shù)。 得到由節(jié)點(diǎn)位

11、移表達(dá)單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的插值公式，即位移模式的另一形式。)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv),()(21mjiycxbaANiiii),(mjivNvNvNvuNuNuNummjjiimmjjiiiNiNjNmN單元應(yīng)變和應(yīng)力 mmjjiimmjjiimjimjixyyxvuvuvubcbcbccccbbbA00000021 eB mjiBBBB eeSBD mjiSSSBDS ),(2/)1 (2/)1 ()1 (22mjibccbcbAEBDSiiiiiiii單元平

12、衡方程 整個(gè)結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，所劃分出的一個(gè)小單元體同樣處于平衡狀態(tài)，而結(jié)構(gòu)的平衡條件可通過(guò)節(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。有限元的任務(wù)就是要建立和求解整個(gè)彈性體的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系的平衡方程。為此首先要建立每一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系的平衡方程。單元平衡方程可以利用最小勢(shì)能原理建立，也可以利用虛功原理求解。單元節(jié)點(diǎn)力列陣 ：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)虛位移列陣：?jiǎn)卧獌?nèi)部引起的虛應(yīng)變 ： 根據(jù)虛功原理：外力虛功等于內(nèi)力虛功。所以節(jié)點(diǎn)力在節(jié)點(diǎn)的虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功。這就是單元保持平衡狀態(tài)所必須滿足的條件，即單元的平衡條件。 TmmjjiieYXYXYXF Tmmjjiivuv

13、uvu* Tzyx* tdxdyFTeeT*eTetdxdyBDBFeeekFtdxdyBDBkTeemmmjmijmjjjiimijiimjiTmTjTiekkkkkkkkkAtBBBDBBBk單元?jiǎng)偠染仃?利用虛功方程來(lái)建立剛度方程，其實(shí)質(zhì)就是單元的平衡方程。單元?jiǎng)偠染仃嚲哂幸韵滦再|(zhì)： (1) 單元?jiǎng)偠染仃囍忻總€(gè)元素有明確的物理意義。其物理意義是單位節(jié)點(diǎn)位移分量所引起的節(jié)點(diǎn)力。例如， 是表示當(dāng)單元第n個(gè)自由度產(chǎn)生單位位移而其它自由度固定時(shí)，在第m個(gè)自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。 是對(duì)稱矩陣。其元素之間有如下關(guān)系： ，這個(gè)特性是由彈性力學(xué)中功的互等定理所決定的。（3） 是奇異矩陣。其每一行每一列元素之

14、和均為零，物理意義就是：在無(wú)約束的條件下，單元可作剛體運(yùn)動(dòng)。根據(jù)行列式性質(zhì)，可知值也為零。 mnksrrskkekek 單元等效節(jié)點(diǎn)載荷 外載荷必須作用在節(jié)點(diǎn)上，而實(shí)際的外載荷又往住并不是通過(guò)節(jié)點(diǎn)作用的。因此，必須將這些非節(jié)點(diǎn)載荷按一定原則移置到節(jié)點(diǎn)上，即所謂等效節(jié)點(diǎn)載荷處理。這種移置必須滿足靜力等效原則。 處理單元內(nèi)的集中力、體力和單元邊界上的分布力 ，慣性力則作用在整個(gè)結(jié)構(gòu)上。總剛度矩陣 當(dāng)以有限個(gè)單元通過(guò)有限個(gè)節(jié)點(diǎn)連接而成的組合體來(lái)代替實(shí)際的連續(xù)體結(jié)構(gòu)而受力變形時(shí)，顯然它們必須滿足整個(gè)結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件和平衡條件。 在整體分析中，利用節(jié)點(diǎn)為分析對(duì)象，根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件，即可建立起組

15、合體所有節(jié)點(diǎn)的靜力平衡方程式。把它們匯集在一起，得到的平衡方程組就代表了整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件。進(jìn)行整體分析，即是將各個(gè)單元的平衡方程集合在一起，得到結(jié)構(gòu)的整體平衡方程。 K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，一般稱為總剛度矩陣，其維數(shù)為2n2n。可寫(xiě)成分塊形式。 RK TTnTTT321 TTnTTTRRRRR321解題步驟與算例 (1)首先繪出結(jié)構(gòu)幾何簡(jiǎn)圖，在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散化。平面問(wèn)題采用三角形單元(其他形狀單元以后講述)，所以其離散就是將計(jì)算對(duì)象劃分成許多三角形單元。包括：進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)、單元編號(hào)，任選一直角坐標(biāo)系，定出所有節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值等等。確定載荷和邊界約束條件，將各單元所受的非節(jié)點(diǎn)載荷，包括體力、面力以及可能有的集中力按虛功等效原則移置到節(jié)點(diǎn)上，并將各節(jié)點(diǎn)上的這些載荷包括直接作用在節(jié)點(diǎn)上的集中載荷分別按相同方向疊加等。 (2)其次進(jìn)行單元分析、組集總剛度矩陣、求單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。 前處理計(jì)算后處理 nnnnnnnRRRnKKKKKKKKK2121212222111211平面問(wèn)題的離散化 v單元類型的選擇 v單元的大小 v單元有密有疏 v不同厚度或不同材料處，應(yīng)取作為單元的邊界線 平面問(wèn)題的有限元法，不僅有實(shí)際意義，而且通過(guò)其相對(duì)簡(jiǎn)單的概念，可以詳細(xì)了解用有限元法對(duì)一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原理和方法