概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四章

1、第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征第四章、隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第一節(jié)：數(shù)學(xué)期望第二節(jié)：方差第二節(jié)：方差第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第三節(jié)：協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)第四節(jié)：矩、協(xié)方差矩陣第四節(jié)：矩、協(xié)方差矩陣 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量X的的概率分布概率分布，那么，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，

2、只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征數(shù)字特征就夠了就夠了.例：例： 在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的 是是平均產(chǎn)量平均產(chǎn)量； 在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長纖維長度與平均長度的偏離程度；度的偏離程度； 考察南寧市居民的家庭收入情況，我們既知考察南寧市居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年家庭的年平均收入平均收入，又要研究，又要研究貧富之間的差貧富之間的差異程度；異程度； 因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)因此，在

3、對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的字特征是重要的 .而而所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表所謂的數(shù)字特征就是用數(shù)字表示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。示隨機(jī)變量的分布特點(diǎn)。在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)小結(jié)小結(jié)引例引例：某：某7人的數(shù)學(xué)成績?yōu)槿说臄?shù)學(xué)成績?yōu)?0，85，85，80，80， 75，60，則他們的平均成績?yōu)椋瑒t他們的平均成績

4、為9085 280 275607 1221190858075607777779.3以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,請注意請注意 :離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和斂的級數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡稱數(shù)學(xué)期望簡稱期望期望，又稱為，又稱為均值均值。1)(kkkpxXE若級數(shù)若級數(shù) 1kkkpx絕對收斂，絕對收斂，則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1kkkpx)(XE即的和為的和為隨機(jī)變量隨

5、機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望，記為，記為 ,例例1、（0-10-1）分布的數(shù)學(xué)期望）分布的數(shù)學(xué)期望X服從服從0-1分布分布，其概率分布為，其概率分布為XP0 11-p p若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的0-1分布，分布， 則則E(X) = p()0 (1)1E Xppp 例例2,21XX所得分?jǐn)?shù)分別記為所得分?jǐn)?shù)分別記為甲、乙二人進(jìn)行打靶，甲、乙二人進(jìn)行打靶，它們的分布率分別為它們的分布率分別為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的數(shù)學(xué)期望，的數(shù)學(xué)期望，和和解：我們先來算解：我們先來算21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016

6、. 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE試比較甲、乙兩人的技術(shù)那個好試比較甲、乙兩人的技術(shù)那個好到站時刻到站時刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時間的數(shù)學(xué)期望求他候車時間的數(shù)學(xué)期望. 例例3 按規(guī)定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機(jī)的但到站時刻是隨機(jī)的,且兩者且兩者到站的時間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：到站的時間相互獨(dú)立。其規(guī)律為： 其分布率為其分布率為以分計以分計為為解：設(shè)旅客的候車時間

7、解：設(shè)旅客的候車時間),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162616361)()()(70 BPAPABPXP上表中例如上表中例如的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為候車時間候車時間到站到站第二班車第二班車為事件為事件到站到站第一班車第一班車為事件為事件其中其中XBA.30:9,10:8分分22.2736290363703615062306310)( XE).(),(XEX求求設(shè)設(shè) 例例40, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的分布率為的分布率為解解 )()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即即的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為定義定義2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)

8、變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果積分如果積分dxxxf)(絕對收斂絕對收斂,則稱此積分值為則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望, 即即dxxfxXE)()(請注意請注意 : 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分的積分.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望).(),(XEbaUX求求設(shè)設(shè)例例4 其它其它的概率密度為的概率密度為解解01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXEX2)()(的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為.),(的的中中點(diǎn)點(diǎn)即即數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望位位于于區(qū)區(qū)間間ba 例例5其概率密

9、度為其概率密度為服從同一指數(shù)分布服從同一指數(shù)分布它們的壽命它們的壽命裝置裝置個相互獨(dú)立工作的電子個相互獨(dú)立工作的電子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00, 01)( xxexfx若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)求整機(jī)壽命壽命(以小時計以小時計) N 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度為的概率密度為于是于是22)()(02min dxexdxxxfNEx的分布函數(shù)為的

10、分布函數(shù)為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出：問題的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？那么應(yīng)該如何計算呢？ 一種方法是，因為一種方法是，因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦一旦我們知道了我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算

11、出來計算出來. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的的分布，一般是比較復(fù)雜的分布，一般是比較復(fù)雜的 .(1) 當(dāng)當(dāng)X為離散型時為離散型時,它的分布率為它的分布率為P(X= xk)=pk ;絕對收斂，則有絕對收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE(2) 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時為連續(xù)型時,它它的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x).若若絕對收斂，

12、則有絕對收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù):Y=g (X) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時時, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.)(,(,是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)gYXgZYXZ 則則是一維隨機(jī)變量是一

13、維隨機(jī)變量,Z則有則有概率密度為概率密度為是二維連續(xù)型是二維連續(xù)型若若),(,),()1(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(則有則有概率分布為概率分布為是二維離散型是二維離散型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji 11),(),()(jikjipyxgYXgEZE.積分或級數(shù)都絕對收斂積分或級數(shù)都絕對收斂這里假定上兩式右邊的這里假定上兩式右邊的密度密度即具有概率即具有概率上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)風(fēng)速設(shè)風(fēng)速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望求求常數(shù)常數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設(shè)

14、飛機(jī)機(jī)翼受到的正又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式例例 7EX=0101312),(xdyxdxdxdyyxxfE(-3X+2Y)=31)23(20101xdyyxdxEXY=01011212),(xydyxdxdxdyyxxyf其它；, 0),( , 2),(Ayxyxf解：0 xy01 yx 設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域A上服從均勻分布，其中上服從均勻分布，其中A為為x軸，軸，y軸和直線軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。求求EX，E(-3X+2Y)，EXY。 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期

15、望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸（諸Xi相互獨(dú)立時）相互獨(dú)立時）請注意請注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立。和和來證性質(zhì)來證性質(zhì)請同學(xué)自己證明，我們請同學(xué)自己證明，我們，性質(zhì)性質(zhì)4321于是有于是有概率密度為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)

16、變量（證證),(),().,(,yfxfyxfYXYX得證。得證。性質(zhì)性質(zhì)3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE , 相互獨(dú)立相互獨(dú)立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質(zhì)性質(zhì)YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例例8 求二項分布的數(shù)學(xué)期望求二項分布的數(shù)學(xué)期望若若 XB(n,p)，則則X表示表示n重貝努里試驗中的重貝努里試驗中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).現(xiàn)在我們來求現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 . 可見，服從參數(shù)為可見，服從參數(shù)為n和和p的二項分布

17、的隨機(jī)變量的二項分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 n p. XB(n,p), 若設(shè)若設(shè)則則 X= X1+X2+Xn= np次試驗失敗如第次試驗成功如第iiXi01i=1,2，n因為因為 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=則則X表示表示n重貝努里試驗中的重貝努里試驗中的“成功成功” 次數(shù)次數(shù).E(Xi)= )1 (01pp= p六、小結(jié)六、小結(jié) 這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征的一個重要的數(shù)

18、字特征. 接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個重要的數(shù)字特征：量另一個重要的數(shù)字特征：方差方差第二節(jié) 方差方差的定義方差的定義方差的計算方差的計算方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)切比雪夫不等式切比雪夫不等式小結(jié)小結(jié) 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平平均水平，是隨機(jī)變，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征量的一個重要的數(shù)字特征. 但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.：的射擊水平由下表給出甲、乙兩人射擊，他們：甲擊中的環(huán)數(shù)；X：乙擊中的

19、環(huán)數(shù)；YX 8 9 10 P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 平較高？試問哪一個人的射擊水比較兩個人的平均環(huán)數(shù)91 . 0108 . 091 . 08EX94 . 0102 . 094 . 08EY。，而乙射手則較為分散環(huán)分集中在均值甲射手射擊大部是有差異的的，但兩個人射擊技術(shù)是一樣，甲乙兩人的射擊水平因此，從平均環(huán)數(shù)上看9 由此可見由此可見,研究研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十是十分必要的分必要的.那么那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易容易看到看到這個數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的這個數(shù)字

20、特征就是我們這一節(jié)要介紹的方差方差)(XEXE 能度量隨機(jī)變量與其均值能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度. 但由于但由于上式帶有絕對值上式帶有絕對值,運(yùn)算不方便運(yùn)算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 來度量隨機(jī)變量來度量隨機(jī)變量X與其均值與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度.一、方差的定義一、方差的定義 設(shè)設(shè)X是一個隨機(jī)變量，若是一個隨機(jī)變量，若E(X-E(X)2存在存在 , 稱稱E(X-E(X)2為為 X 的方差的方差. 記為記為D(X)或或Var(X)，即，即具具有有相相同同的的量量綱綱。，它它與與記記為為的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差或或均均方方差差稱稱為為方方差差的的算算術(shù)術(shù)平平

21、方方根根XXXXD)()( D(X)=Var(X)=EX-E(X)2若若X的取值比較分散，則方差的取值比較分散，則方差D(X)較大較大. 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度離散程度 .若若X的取值比較集中，則方差的取值比較集中，則方差D(X)較??；較小；因此，因此，D（X）是刻畫）是刻畫X取值分散程度的一個量，它取值分散程度的一個量，它是衡量是衡量X取值分散程度的一個尺度。取值分散程度的一個尺度。X為離散型，為離散型，分布率分布率PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量 X 的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-E(X)2

22、的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 . ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的計算二、方差的計算X為連續(xù)型，為連續(xù)型，X概率密度概率密度f(x)計算方差的一個簡化公式計算方差的一個簡化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開展開證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)例例1設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有具有(01）分布，其分布率為）分布，其分布率為pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解pppXE 1)1(0)(pppXE 2221)1(0)(由公式由公式)1(

23、)()()(222ppppXEXEXD 因此因此,0-1分布分布)1()(,)(ppXDpXE 例例2。，求，求設(shè)設(shè))()(XDX 解解X的分布率為的分布率為0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上節(jié)已算得上節(jié)已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee.,泊松分布就被確定了泊松分布就被確定了只要知道只要知道分布率中只含一個參數(shù)分布率中只含一個參數(shù)。泊松分布的。泊松分布的等于等于數(shù)學(xué)期望與方差相等，數(shù)學(xué)期望與方差相等，由此可知，泊松分布的由此可知，泊松分布的 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊

24、松分布 )(,)(XDXE例例3。，求，求設(shè)設(shè))(),(XDbaUX解解 的概率密度為的概率密度為X 其它其它01)(bxaabxf。方差為。方差為上節(jié)已求得上節(jié)已求得2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均勻分布均勻分布 12)(,2)(2abXDbaXE 例例4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指數(shù)分布指數(shù)分布

25、2 ）（，）（XDXE三、方差的性質(zhì)三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(CX)=C2 D(X) ; 3. 設(shè)設(shè) X 與與 Y 是兩個隨機(jī)變量，則是兩個隨機(jī)變量，則 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 4. D(X)=0 PX= C=1 ,這里這里C=E(X)下面我們證明性質(zhì)下面我們證明性質(zhì)3證明證明)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 若若 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 由數(shù)學(xué)期望

26、的性質(zhì)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得得)()()(YDXDYXD 此性質(zhì)可以推廣到有限多個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和此性質(zhì)可以推廣到有限多個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況的情況.例例6 設(shè)設(shè)XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若設(shè)若設(shè)次試驗失敗如第次試驗成功如第iiXi01i=1,2，n 則則 是是n次試驗中次試驗中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1下面我們舉例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用下面我們舉例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用 .解解XB(n,p),“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 則則X表示表示n重努里試驗中的重努里試驗中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互獨(dú)立獨(dú)立niiXDXD1)()(=

27、np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(則則若若),(pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE 例例7).()(),1 , 0(XDXENX和和求求設(shè)設(shè)解解的概率密度為的概率密度為X xexx2221)( 于是于是021)()(22 dxxedxxxXEx 121)()()(2222 dxexdxxXExXDx 則則若若),1 , 0( NX1)(, 0)( XDXE），（，則，則若若10),(2NXZNX 1)(, 0)( ZDZE質(zhì)得質(zhì)得由數(shù)學(xué)期望和方差的性由數(shù)學(xué)期望和方差的性而而, ZX

28、 )()()()(EZEZEXE22)()()()( DZDZDXD，則，則若若),(2 NX2)(,)( XDXE差所確定。差所確定。可由它的數(shù)學(xué)期望和方可由它的數(shù)學(xué)期望和方布完全布完全望和方差，因而正態(tài)分望和方差，因而正態(tài)分分別是該分布的數(shù)學(xué)期分別是該分布的數(shù)學(xué)期和和概率密度中的兩個參數(shù)概率密度中的兩個參數(shù)這就是說，正態(tài)分布的這就是說，正態(tài)分布的2 例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和且且若若YXNYNX），（故有也服從正態(tài)分布，而則484,48)(, 4)(32NZZDZEYXZ且且它它們們相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,

29、(:212211仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布的常數(shù)的常數(shù)是不全為是不全為它們的線性組合它們的線性組合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且例例8氣缸的計以設(shè)活塞的直徑),03. 0 ,40.22()(2NXcm,.),04. 0 ,50.22(2任取一支活塞相互獨(dú)立和直徑Y(jié)XNY.,率求活塞能裝入氣缸的概任取一只氣缸解解.0,YXPYXP即求按題意需求由于由于)0025. 0 ,10. 0(NYX故有故有9772. 0)2()05. 010. 0(0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(0YXPYXPYXP四、切

30、比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則越小，則事件事件|X-E(X)|0, D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 稱稱在不致引起混淆時在不致引起混淆時，記記 為為 .XY 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：11 | . 證證: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)對任意實數(shù) b, 有有0D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )(),(XDYXCovb 令令，則上式為，則上式為 D(Y- bX)= )(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXDYX

31、CovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1- 0,所以所以 | |1。22. X和和Y獨(dú)立時，獨(dú)立時， =0，但其逆不真，但其逆不真.由于當(dāng)由于當(dāng)X和和Y獨(dú)立時，獨(dú)立時，Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立.請看下例請看下例.，Cov(X,Y)=0，事實上，事實上，X的密度函數(shù)的密度函數(shù)其它021211)(xxf0)(XE可得0)(cos)cos()(2121dxxxfxXXEXYE0)()()(),(YEXEXYEYXCov例例1 設(shè)設(shè)X服從服從(-1/2, 1/2)內(nèi)的均

32、勻分布內(nèi)的均勻分布 , 而而Y=cos X,不難求得不難求得1.3 存在常數(shù)存在常數(shù) a,b(b0），使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線性相關(guān)線性相關(guān).因而因而 =0， 即即X和和Y不相關(guān)不相關(guān) .但但Y與與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即即X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立 .相關(guān)系數(shù)刻劃了相關(guān)系數(shù)刻劃了X和和Y間間“線性相關(guān)線性相關(guān)”的程度的程度.但對下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價但對下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨(dú)立獨(dú)立X與與Y不相關(guān)不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：前面，我們已經(jīng)看到：若若 X 與與 Y 獨(dú)

33、立，則獨(dú)立，則X與與Y不相關(guān)不相關(guān)，但由但由X與與Y不相關(guān)，不一定能推出不相關(guān)，不一定能推出X與與Y獨(dú)立獨(dú)立.4、二維正態(tài)分布獨(dú)立與相關(guān)的關(guān)系、二維正態(tài)分布獨(dú)立與相關(guān)的關(guān)系三、小結(jié)三、小結(jié) 這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關(guān)程度線性相關(guān)程度的一個重的一個重要的數(shù)字特征要的數(shù)字特征.注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價的注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價的.當(dāng)當(dāng)(X,Y) 服從二維正態(tài)分布時，有服從二維正態(tài)分布時，有X 與與 Y 獨(dú)立獨(dú)立X 與與 Y 不相關(guān)不相關(guān)第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩協(xié)方差矩陣協(xié)方

34、差矩陣n 元正態(tài)分布的概率密度元正態(tài)分布的概率密度小結(jié)小結(jié)一、一、 原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，稱它為存在，稱它為X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩，簡稱，簡稱 k階矩階矩 , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，稱它為存在，稱它為X的的k階中心矩階中心矩可見，均值可見，均值 E（X）是是X一階原點(diǎn)矩，方差一階原點(diǎn)矩，方差D（X）是是X的二階中心矩。的二階中心矩。協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心矩二階混合中心矩.稱它為稱它為 X 和和 Y 的的 k+L 階混合（原點(diǎn)）矩階混合（原點(diǎn)）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，稱它為稱它為X 和和 Y 的的 k+L 階混合中心矩階混合中心矩. )(LkYXE設(shè)設(shè) X 和和 Y 是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 k,L=1,2,存在，存在，可見，可見，二、二、協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量（將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個二階中心矩）的四個二階中心矩)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc稱此矩陣為稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣）的協(xié)方差矩陣.22211211cccc這是一個這是一個對稱矩陣對