數(shù)值分析導(dǎo)論2外文翻譯

1、 畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)外文資料翻譯題 目: 牛頓法一些變量的收斂性 院系名稱： 理學(xué)院 專業(yè)班級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 教師職稱： 起止日期： 2016年03月14日2016年03月27日 地 點(diǎn): 蓮花街校區(qū)6號(hào)樓 附 件： 1.外文資料翻譯譯文；2.外文原文。 指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)： 簽名： 2016年3月 日 5.3牛頓法一些變量的收斂性考慮到系統(tǒng)給定的函數(shù).這樣一個(gè)函數(shù)是可微的如果存在一個(gè)n*n的矩陣 在這種情況下一個(gè)滿足雅可比矩陣(見(jiàn)5.1.5)。我們首先注意以下（5.3.1）定理 如果存在 對(duì)于所有，并且存在一個(gè)常數(shù) 所有的.然后對(duì)所有的估計(jì) 成立 (回想一下,一組M是凸如果x,

2、yM意味著這條線段段 包含在M。）證明。 這個(gè)函數(shù)給出 是可微的0t1, 是任意的。在此之前從鏈?zhǔn)椒▌t: 因此當(dāng)0t1那么另一方面，因此上述不等式收益率這就完成了證明。我們現(xiàn)在可以表明,牛頓法收斂平方：(5.3.2)定理。 令是一個(gè)給定的開(kāi)集，此外，讓是一個(gè)凸集,并且令是一個(gè)函數(shù)，所有的和連續(xù)可微的 并令的屬性 存在并滿足 然后（1） 從開(kāi)始，每個(gè)點(diǎn) 是定義良好并滿足 （2） 存在并滿足，（3） 對(duì)于所有的 從0 h 1,牛頓法至少是成平方收斂。證明（1）因?yàn)榇嬖?，明確的定義 。假設(shè)k=和k=1是有效的（c）.現(xiàn)在 j=0,1,.k，然后從假設(shè)（b） 從的定義表明 但是,根據(jù)定理(5.3.1)

3、,(5.3.3) 因此(5.3.4) 從（c）可知最后一個(gè)k = 0的不平等是正確的。如果是k0正確的,那么這對(duì)k + 1是正確的,因?yàn)?5.3.3）表明 因此。 （2）：從(5.3.4)很容易確定,是一個(gè)柯西序列,因?yàn)閙n（5.3.5） 又因?yàn)?h1，所有充分大。因此有一個(gè)限制 包含在關(guān)閉之前的這一事實(shí) 。 通過(guò)極限（5.3.5）我們獲得(3)結(jié)果: 我們還必須證明的在是零。 因?yàn)椋╝）并且 因此 不等式 遵循方程 因此 由于在是連續(xù)的， 即，在上是零。 下面有所增強(qiáng)的假設(shè)可以表明的在只有一個(gè)零：(5.3.6)定理(Newton-Kantorovich)。 考慮到函數(shù)和凸集。讓在上是連續(xù)可微

4、的并且滿足條件 對(duì)于一些?？紤]到數(shù)量 如果且。然后定義序列 仍在和收斂于獨(dú)特的零。 證明見(jiàn)奧爾特加和Rheinboldt(1970)或Collatz(1968)。 5.4 修正牛頓法定理(5.3.2)保證牛頓法的收斂性的只有起點(diǎn)迭代選擇“足夠接近”理想的解決方案 下面的例子表明,牛頓法可能會(huì)發(fā)散例：令是由。然后= 0是一個(gè)解。 牛頓迭代定義為 如果我們這樣決定 然后序列發(fā)散：我們把可以證明修正的牛頓法的全局收斂性的一大類函數(shù)稱為。修改一個(gè)涉及的額外引入的參數(shù)和搜索方向的定義序列（5.4.0.1） 通常情況下，并且滿足這樣的序列，嚴(yán)格單調(diào)遞減及收斂到最小值點(diǎn)的。（比較這個(gè)和非線性最小二乘數(shù)據(jù)擬合

5、4.8.4節(jié)中提到的問(wèn)題。） 因?yàn)閷?duì)于所有的x， 每一個(gè)h中滿足的局部最小值點(diǎn)也是全球性的最小值點(diǎn)以及的一個(gè)零點(diǎn)。 下一節(jié)我們將先考慮幾個(gè)一般的任意函數(shù)極小化方法的收斂性結(jié)果。這些結(jié)果將被用于5.4.2節(jié)研究修正后的牛頓方法的收斂性。 5.4.1最小化方法的收斂性讓是歐幾里得向量范數(shù)及。我們考慮一組各個(gè)方向的形成又不能過(guò)大銳角的梯度 下面的引理顯示，x在哪些條件下，一個(gè)標(biāo)量和存在這樣的關(guān)系。5.4.1.2定理。 令是一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，所有的在一個(gè)領(lǐng)域。假設(shè)進(jìn)一步的，且。還有一個(gè)領(lǐng)域及使得 所有的，以及。證明。一組 一個(gè)非空的的一個(gè)領(lǐng)域。因?yàn)榍以谏线B續(xù)。同樣 一個(gè)非空的的一個(gè)領(lǐng)域。選擇，因此

6、 并且 如果，存在，使得 由于意味著,由此可見(jiàn) 我們考慮以下可微函數(shù)的最小化方法。(5.4.1.3)(a) 選擇數(shù)字， ， ，選擇一個(gè)起點(diǎn)。（b) 對(duì)于所有的選擇且 在 以下給出這種方法的收斂性質(zhì)：（5.4.1.4）定理 是一個(gè)函數(shù)且滿足（a） 緊湊（b）在開(kāi)集是連續(xù)可微的，然后對(duì)任意序列定義的方法類型（5.4.1.3）：（1） 在至少有一個(gè)聚點(diǎn)（2） 每一個(gè)在上的聚點(diǎn)都是的一個(gè)駐點(diǎn) 證明 （1）序列的定義是它緊跟著單調(diào)序列 ：。因此， 是緊湊的;因此至少有一個(gè)聚點(diǎn)。 （2）假設(shè) 是的一個(gè)聚點(diǎn)但不是的駐點(diǎn)(5.4.1.5) 不失一般性，令，令，令。 根據(jù)定理(5.4.1.2)有一個(gè)的領(lǐng)域和許多

7、滿足(5.4.1.6) 所有的，以及。 由于，連續(xù)且因?yàn)椋?.4.1.5）存在使得所有的(a) ,(b) 令，。因?yàn)?，它滿足 。因此，從的定義可得 因?yàn)?，?.4.1.6）所以 所有的。這意味著，與矛盾。因此是的一個(gè)駐點(diǎn)。(5.4.1.3)的步驟(b)被稱為行搜索。即使(5.4.1.3)的方法相當(dāng)一般，它的實(shí)際應(yīng)用是有限的通過(guò)這一事實(shí)必須精確線搜索。即 ,為了確定，確切的函數(shù)的最小值點(diǎn) 在被發(fā)現(xiàn)。一般甚至需要付出大量的努力得到一個(gè)近似最小值點(diǎn)。以下是對(duì)（5.4.1.3）步驟（b）的改進(jìn)，用一個(gè)確切最小化搜索取代一個(gè)不精確線搜索的特定的有限的搜索過(guò)程：（5.4.1.7）。（a）選擇數(shù)字， ， ，

8、選擇一個(gè)起點(diǎn)（b) 對(duì)于每一個(gè)從獲得如下：（）選擇 定義 , 并確定滿足最小的整數(shù) （）確定這樣最小且， 注意， 從（5.4.1.7b）很容易看出整數(shù)存在的性質(zhì)：如果是一個(gè)駐點(diǎn)，那么。如果不是駐點(diǎn)，那么存在的意義就是引理（5.4.1.2）的應(yīng)用。在任何情況下經(jīng)過(guò)有限的步驟可以找到（和）。（5.4.1.7）修改后的步驟滿足模擬（5.4.1.4）： (5.4.1.8)定理 在定理（5.4.1.4）的假設(shè)下序列所產(chǎn)生的一種方法（5.4.1.7）滿足定理（5.4.1.4）的結(jié)論。 證明. 我們像（5.4.1.7）以前一樣假設(shè)是序列所定義的一個(gè)聚點(diǎn)，但不是駐點(diǎn)，即 再次，一般地，令，令，令。 根據(jù)引理(

9、5.4.1.2)有一個(gè)的領(lǐng)域和許多滿足(5.4.1.9) 所有的，以及。再次，因?yàn)樗允沁B續(xù)的且意味著存在(5.4.1.10a) (5.4.1.10b) 所有的。 我們需要表明，有一個(gè)對(duì)于 所有的。我們首先要注意到(5.4.1.10)和使得 所有的。因此根據(jù)的定義(5.4.1.11) 現(xiàn)在的最小整數(shù)滿足(5.4.1.12) 根據(jù)（5.1.1.11），以及的定義，我們有(5.4.1.13) 有兩種情況：情況1，。令，請(qǐng)注意。然后(5.4.1.12)和(5.4.1.13)意味著 獨(dú)立于。情況2.。由的極小化可知 因?yàn)?，且，它緊跟著（5.4.1.9） 結(jié)合(5.4.1.12)和(5.4.1.13)得

10、出獨(dú)立于。因此，對(duì) 所有的，對(duì)于所有的k 是矛盾的。因此是的一個(gè)駐點(diǎn)。5.4.2 修正牛頓法收斂性判定定理的應(yīng)用 為了解決方程，我們讓應(yīng)用（5.4.1.3）或者（5.4.1.7）去最小化。我們用牛頓法取值 , 從到作為搜索方向。如果存在且這個(gè)方向?qū)⒈淮_定。（表示歐幾里得規(guī)范。）定理的應(yīng)用需要最后一點(diǎn)小小的準(zhǔn)備。我們首次展示，存在每一個(gè)使 及存在且，我們可得（5.4.2.1） ，所有，由上述， 且 是對(duì)歐式范數(shù)的定義。證明。 因?yàn)?，我們可得?.4.2.2） 不等式 顯然，因此現(xiàn)在對(duì)于所有的，由此可見(jiàn)根據(jù)（5.4.1.1）中給出的定義。 由于（5.4.2.2）我們注意到：如果存在，那么（5.4.

11、2.3） 即，當(dāng)且僅當(dāng)使為0時(shí)，是的一個(gè)駐點(diǎn)。 思考下面的牛頓修正法 與（5.4.1.7）比較：（5.4.2.4）。 （a） 選擇一個(gè)起點(diǎn)（b）對(duì)于每一個(gè)從獲得如下 （）集合 ， 且在，。并確定滿足最小的整數(shù) （）確定使得，且令 作為一個(gè)模擬定理（5.4.1.8）我們可得 5.4.2.5定理 令是一個(gè)給定的函數(shù)，且令是一個(gè)具有以下屬性的點(diǎn)：（a） 集合，緊湊（b） 在開(kāi)集上是連續(xù)可微的（c） 對(duì)于所有的存在然后由（5.4.2.4）定義的序列是定義良好且滿足（1） ，所有的，且至少有一個(gè)聚點(diǎn)。（2） 每一個(gè)序列的聚點(diǎn)都是的零點(diǎn)，。證明. 根據(jù)解釋，是單調(diào)的： 因此,。如果是確定的，假設(shè)（c），及

12、是定義良好的。從（5.4.2.1） 在的情況下。根據(jù)(5.4.1.7)的情況，在（5.4.2.4)有一個(gè)給出屬性的。因此根據(jù)每個(gè)定義。 現(xiàn)在(5.4.2.4)成為(5.4.1.7)給出的正式的過(guò)程，如果被定義為 剩下的在定理（5.4.1.8）已經(jīng)證明 , 根據(jù)假設(shè)（b），（c）及在緊致集上是連續(xù)的。因此是連續(xù)的，且存在 一般的，我們可以假設(shè)不是的駐點(diǎn)；這意味著它不是的零點(diǎn)，因?yàn)?5.4.2.3)和假設(shè)(c)?！救绻?，那么緊跟著，并沒(méi)有顯示?！恳虼?，由于, 另一方面，從事實(shí)，（5.4.2.2）及不等式 它緊接著 【在上是連續(xù)的緊湊的】。因此所有定理（5.4.1.8）【或者（5.4.1.4）】的結(jié)

13、果適用于序列。因此假設(shè)（c）和（5.4.2.3）意味著每個(gè)駐點(diǎn)也是一個(gè)零點(diǎn)，證明已完成。方法（5.4.2.4）要求計(jì)算和每步迭代的步驟。證明（5.4.1.8），然而，顯示它足以取代所有下界，。符合這一點(diǎn)，通常是在實(shí)際中決定的 然而，由于這只要求，使用以上的證明方法不能足夠強(qiáng)大的保證變量的收斂性。進(jìn)一步評(píng)價(jià)方法（5.4.2.4）：在為零的一個(gè)足夠小的領(lǐng)域自主選擇方法。這意味著該方法符合普通牛頓法和成平方收斂。我們可以看到如下：由于及，在的每步迭代中有一個(gè)領(lǐng)域滿足普通牛頓法的條件(5.4.2.6) 且(5.4.2.7) 泰勒的在上的擴(kuò)展 因?yàn)?，有另一個(gè)領(lǐng)域 所有的。 選擇一個(gè)領(lǐng)域 令滿足 所有的。這是可能的因?yàn)?。思?即在（