數列通項、數列前n項和的求法例題+練習

1、v1.0可編輯可修改22通項公式和前n項和一、新課講授:求數列前N項和的方法1.公式法(1)等差數列前n項和:S n(a1 an)Snna1 3d' 2特別的，當前n項的個數為奇數時，S2k 1 (2 k 1iak1，即前n項和為中間項乘以項數。這個公式在很多時候可以簡化運算。(2)等比數列前n項和: q=1 時，Sn na q 1, Sn at，特別要注意對公比的討論。1 q(3 )其他公式較常見公式:仁SnSnnk2k 1護 1)(2n 1)3、Snnk3k 122n(n 1)例1已知log3 xlog 2 3，求x2x3的前n項和.例2設 S= 1+2+3+ +n, n N,求

2、f (n)Sn(n 32)Sn1的最大值.a n -bn的前n項和，其中分別是等差數列和等比數列例3求和:Sn3x5x27X3(2n 1)xn 1例4求數列6尹,尹2n前n項的和.2. 錯位相減法這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列練習:2求：Sn=1+5x+9x + - +(4n -3)x n-1當x=1時,當X工1時,答案:2$=1+5+9+(4n-3) =2n-n牛n)+1-( 4n-3) xn 1-X L 1-X3. 倒序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n 個 g

3、 aj.例 5求sin21 sin2 2sin2 32 2sin 88 sin 89 的值4. 分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列,若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等例6求數列的前1n項和：11,'a練習：求數列1 1 112,24,38，?,(n1班）,？的前n項和。比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可14,p 7,a5. 裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解,然后重新組合,使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)anf(n 1)f(n)sin 1cos n cos(n 1

4、)ta n(n 1)tan nan1n(n 1)an(2n 1)(2n1)ann(n 1)(n 2)2n(n 1)(nann 2n(n 1)12n2( n 1) nn(n 1)12n1n 2n 1(n 1)2n,則 Sn11(n 1)2n例91求數列-1的前n項和.例 10在數列an中，an例 11求證:解:n P，又 bn12一 ,求數列bn的前n項的和.anan 1cos1cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos89si n1-tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 c

5、os2cos88 cos891(tan 1 sin1tanO ) (tan2tan1 ) (ta n31 (tan 891tan 0 )一cos1cot 1 2sin 1si n1sin 1原等式成立1 丄丄丄3153563之和。111設S- Stan2 ) tan89練習：求sin21（裂項）（裂項求和）tan88 6.合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求S.例 12 求 COS1 ° + COS2 ° + COS3+ COS178 ° + COS179。的值.例14在各項

6、均為正數的等比數列中，若a5a69,求log 3a1log 3 a2log 3 aio 的值.7.利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規(guī)律來求數列的前 n項和，是一個重要的方法例 15求 1 11 1111111之和.n個1練習：求5, 55, 555,，的前n項和。使其能以上一個7種方法雖然各有其特點， 但總的原則是要善于改變原數列的形式結構,進行消項處理或能使用等差數列或等比數列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決,要很好地把握這一規(guī)律，就能使數列求和化難為易，迎刃而解。、公式法（定義法）求數列通項公式的八種方法根據等差

7、數列、等比數列的定義求通項二、累加、累乘法1、累加法適用于:an1 an f(n)a2ai若an 1 an f(n) (n2），則a3IIIana2anf(1) f(2) IK f(n)兩邊分別相加得 an 1aif(n)例1已知數列an滿足an 1an2n 1,1，求數列an的通項公式。解：由 an 1 an 2n 1 得 a. 1an2n 1則an(an an 1) (an 12(n 1) 1 2(n 2) 1 2(n 1) (n 2) | 2( (n 1) 12(n 1)(n 1) 12nan 2) III 3a2)(2 21) 11 (n所以數列an的通項公式為ann2。例2已知數列a

8、n滿足an 1an2 3n1，a1解法一：由 an 1 an 2 3n 1 得 an 1an2 aj1) (2 13，求數列2 3n 1 則a11) 1an的通項公式。an(an an 1) (an 1 (2 3n 1 1) 2(3n1 3n2 23(1 3n1)(2)I I (a3 a2) (a21) III32 31) (nan 23n 2c2(21)所以解法二:(n1) 33n3nanan3n1.3an2 3n1兩邊除以3n32 1)(2aj a1311) 3a3n3n則引13nan2尹3an3(anan因此則an(I2(n(an 1an 11盯1an 2)(an 2(尹an 3 )II

9、I垮an3n2(n31)2、累乘法若ann 3n適用于:f(n),則兩邊分別相乘得,)(f1丄) 3n2)JIII (|III 13nana2a1an 1a1例3已知數列an滿足an解：因為 an 12(n1)5n3n1)2n3f (n )anf(1),a3a2f(2)，Ml f(n)ana12(nf(k)1)5nan，印 3，求數列an的通項公式。an，a1a3，所以an 0，則亠 2(n 1)5n，故ananan 1an 21) (n 2) IIIa3 a2a1a2 a2(n 1 1)5n 12(n 2 1)5n 2 2n 1n(n 1)卅 3 2 5(n(n 1)3 2n 1 5F n!

10、2(2 1) 522(1 1) 51 321 3所以數列an的通項公式為ann(n 1)52n!.三、待定系數法適用于an 1 qanf(n)解題基本步驟：1、確定f(n)2、設等比數列an1 f (n)，公比為23、列出關系式an 11f (n)2an/(n)4、比較系數求1， 25、解得數列an1 f (n)的通項公式6、解得數列an的通項公式例4已知數列an中，a1 1,an 2an 11(n 2)：It解法一：* an2an 11(n2),an12(an1 1)1 *又ta112, an 1是首項為2,公比為an12n，即 an2n1It解法二：* an2an 11(n2),，求數列

11、an的通項公式。2的等比數列2an分析：通過湊配可轉化為an 11 f (n)if( n);an 1 2an 1兩式相減得an 1 an2(anan 1)( n 2)，故數列 a. 1an是首項為2,公比為2的等比數列，再用累加法的例5已知數列an滿足an 1 2an 4 3n1，a11，求數列an的通項公式。解法一：設an 113n,J 1、2(an3)，比較系數得14, 2則數列an 43n 1是首項為ai4 31 15，公比為2的等比數列,所以an 4 3n15 2n 1，即 an4 3n 1 5 2n 1解法二：兩邊同時除以2 a 43扌于，下面解法略注意：例6已知數列an滿足an 1

12、2an3n24n5，ai1，求數列an的通項公式。解：設an 1x(n 1)2 y(n 1) z2(anxn2ynz)比較系數得x 3,y10,z18，所以 an 13(n1)210(n 1) 182(an3n210n18)由 a13 12 10 1181 31320，an3n210n18 0則 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18an 3n2 10n 182，故數列2an 3n 10n18為以a13 12 10 1 18 13132為首項，以2為公比的等比數列，因此2an 3n 10n 18322n1，則 an 223n 10n 18。注意：形如an 2pan 1qan時將an作為

13、f(n)求解分析：原遞推式可化為an 2an 1 (p)(an 1an)的形式，比較系數可求得，數列an 1 an為等比數列。解：設an 2an 1(5)(an 1an)2，求數列an的通項公式。例 7 已知數列an滿足 an 2 5an 1 6an,a11,a2比較系數得則 an 2 2an3(an 12an)，則 an 12an是首項為4，公比為3的等比數列an 1 2an4 3n 1所以an4 3n 15 2n 1四、迭代法例8已知數列an滿足an 1 a3(n 1)2ai5，求數列an的通項公式。解：因為an 13(n 1)2nan所以3n2n 1anan 1anv2，a3(；1)23

14、 32 (n 1) n 2(2 ,3n2n 132(n 1) n 2(an 2,(n 2) (n 1)n 2) (n 1)2，不妨取an3na13na1n(n 1)1 n!2 233 (n 2)( n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1)312 3|川(n 2) (n 1) n21(n 3) (n 2) (n 1)n(n 1)又 a15，2 n 1 n I n 2 所以數列an的通項公式為an 5!。注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。五、變性轉化法1、對數變換法適用于指數關系的遞推公式例9已知數列an滿足an 12 3n a5 ，ai 7，求數列an的通項公式。解

15、：因為 an 12 3n a；, a17，所以an0, an 1兩邊取常用對數得Ig an 1 5lgan nlg3 Ig 2設 Ig an 1 x(n 1) y 5(Ig a.xn y)(同類型四)比較系數得,Ig3 ，yIg376Ig24由 Iga,Ig34Ig316Ig24Ig7罟4lg3 lg2160，得 Igan竽器晉0，所以數列Ig anIg3To則 Ig anIg34Ig3 Ig 216Ig an(Ig 7Ig(7Ig(72、Ig34Ig3 Ig3 Ig 2g2是以Ig 74(Ig716Ig316 為首項，以5為公比的等比數列,4)5n 1，因此4Ig361316 2刁)1Ig(

16、34 3花 2刁)12廠)Ig3 Ig3 Ig 2)5n 141641 1 134 3花 24)5n11 15n 134 316 2刁)I /-ySn 1Ig(75n 4n 13-5n 1nIg(34nIg3 n41Ig245n 4n 15n 1an753倒數變換法10 已知數列解：求倒數得丄1(nan 2165n 1 12F。適用于分式關系的遞推公式，分子只有一項an滿足 an 12aan,ai 1，求數列an的通項公式。2an 11),anan 1an12'1111 一為等差數列，首項 1，公差為 一，an 1ana12a1an3、換元法適用于含根式的遞推關系例11已知數列an滿足

17、an 1116(14an J1 24an), 6 1，求數列an的通項公式。解：令bnJ124an，則 an”)代入an 11 (1 4an J124an)得164£(bn 1) bn即 4bn 12(bn 3)243.則 2bn 1bn3，即 bn1 2bn可化為bn3 2(bn3),所以bn3是以b 3J1 24ai 3J1 24 1 3 2為首項,丄為公比的等比數列，因此2bn3n 1(l)n2，則 bn (l)n243n(1)n3，得3n|(1)n (2)n 1。六、數學歸納法 通過首項和遞推關系式求出數列的前n項,猜出數列的通項公式，再用數學歸納法加以證明。例12已知數列a

18、n滿足3n 1 3n8(n 1)2(2n1)2(2 n 3)2，318,求數列an的通項公式。9解：由3n 13n(2n8(n 1)2 21) (2 n 3)及3-18，得a2318(11)3332(2 1 1)2(2 1 3)28(2 1)89248922582425334332 2(2 2 1)(2 2 3)8(3 1)(2 3 1)2(2 3 3)225484925 498 449 81484980812由此可猜測3n (2n 0 J，下面用數學歸納法證明這個結論。(2n 1)22")當n 1時，4冒晉9，所以等式成立。v1.0可編輯可修改2)6324(2)假設當n k時等式成

19、立，即akk 1時,aa8(k 1)ak 1 ak22(2k 1) (2k 3)(2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1(2 k 3)22(k 1) 12 12(k 1) 12由此可知，當n k 1時等式也成立。根據(1), (2)可知，等式對任何 n都成立。七、階差法1、遞推公式中既有Sn ,又有an分析：把已知關系通過 anS,nSn Sn 1, n2轉化為數列an或Sn的遞推關系，然后采用相應的方法求解。例13已知數列an的各項均為正數，且前n項和Sn滿足Sn1

20、6(an 1)(an 2)，且 a2'a4'a9 成等比數列，求數列an的通項公式。1)(an 2)解：對任意當 n=1 時,S1a11-(ai1)(a162)，解得a11或ai2當nA2時,Sn 11：(an 11)(an 1-整理得:(an an 1 )( anan 13)0 an各項均為正數， an an 1v1.0可編輯可修改28當 a11 時，an 3n 2 ,此時a：a2a9成立當 a12 時，an 3n 1 ,2此時a4a2a9不成立，故a12舍去所以an 3n 22、對無窮遞推數列例14已知數列an滿足ai 1，an ai Za：3a3 卅(n1)an i(n 2)，求an的通項公式。解：因為 an a1 2a2 3a3(n 1)an i(n2)所以 an 1 a1 2a2 3a| (n 1總 1 na.用式-式得an 1annan則an 1(n 1)an(n 2)故ann 1(n2)所以anIIt a2 n(n 1)1(|43a2n!尹.由 an a1 2a2 3a31(n 1則a21，代入得an13 4 5所以，an的通項公式為n! an 2八、不動點法anan 1an 1an 21(n不動點的定義：函數f (X)的定義域為2)，取 n2得a2a1 2a2