有趣的36度的余弦值

1、有趣的COS36。說起cos36o,還真是有緣，第一次應(yīng)該是在咼中上二角函數(shù)時在 習(xí)題中發(fā)現(xiàn)COS36。的值竟然可以用根式表示，學(xué)完三角函數(shù)的我感覺 以現(xiàn)在的知識應(yīng)該可以用三角函數(shù)公式把它解出來，結(jié)果不斷地想,天，二天，三天，終于有一天我用cos36Jsin 54。做出來。后來我再想想，我記得初中數(shù)學(xué)老師曾教過我用尺規(guī)做圖的方法做出正五 邊形，而正五邊形又與COS36。相關(guān)，因此，這一次我又用這種畫圖的 方法解出來COS36。，雖然嚴格意義上不算一種方法，但在快速得出COS36。的值上還是很有幫助。再后來，就是上大學(xué)時，在問林磊老師高代問題時，提到了 COS36。，林磊老師當時就提了一些我所不

2、知道的方法，比如作黃金三角形，利用多項式的分解等，當然我后面在寫這 個問題時，只能暫時想到四種方法。方法一：三角公式法構(gòu)造恒等式COS36 Jsi n54兩邊都化成關(guān)于Sin 18。的多項式，即整理，得in 18%in18-l1si丫Sinsin18o+3=0解之，得sin18 =字（不合根舍去）因此cos36 Jl-2si n218J 一1方法二：聯(lián)立方程組法從上面結(jié)果可以看出，cos36o的值和Sin18O的值的積和差有很大的關(guān)系，都是分數(shù)，因此可以想到用聯(lián)立方程組來做。cos36osin18o=cos36ocos72o sin72Ocos72Osin144。2sin 36O4sin 36

3、o1 cos36O-si n18o =si n54o-si n18o =2cos36Osi n18o= 21令 X =cos36o，有 x -4x由這個就可以得出cos36o= 血方法三：作黃金三角形如下圖所示，在三角形 ABC中，NCAB =36ABC =72。， BD為ZABC的角平分線。設(shè) AB = AC =1, BC =x(x 0 )，貝卩ABBCBC1CDCD因此CD由于BCCDABAD解之，得因此COS72 J 上C2AC由(*可得2V5 +1COS36J12cos 72 =構(gòu)造函數(shù)f(x)=x5-1，然后方程f(x)=0的根為2k兀2k兀Xk =cos+isin(k = 0,1,

4、2,3,4,)55由于xk=1 且 Xk +Xk = 2cos5因此f(x )在實數(shù)域上分解為f(X )=(X -1 Jtx2 -2xcos720+1 収2 -2xcos1440+1)把f(X )在實數(shù)域上分解時，我們還可以用待定系數(shù)法，即設(shè)又因為f(X )=(X -1 jx2 + ax +1 儀2 + bx +1)f(X)=(X-1 Jx4 +x3 +x2 +x+1 )比較(*和(* ),可以得到Ja +b =1(ab = 1假設(shè)a A b，則a 啟,b=y2 2再比較(*和(* ),可得cos72= 1因此2J 5 +1COS36 J1 - 2cos2 72 J4方法五：圖形法在中學(xué)時，老

5、師曾教過我一種用直尺和圓規(guī)作正五邊形的方法。作法如下：如右圖所示，在圓0中，作兩邊互相垂直的直徑AB和CD，然后，作A0的中點E，再以E為圓心，EC為半徑畫弧，交B0于點F ,然后以C為圓心，CF為半徑畫弧，交弧BC于點H。這樣，C,H兩點就是正五邊形的相鄰的兩個頂點，再分別截取其他3個點G,M,N，就得到了正五邊形CHNMG。設(shè)圓O為單位圓，即OA=1，從作圖過程中可以知道 C 2，CH =CF =2卜 + p/5 1、_(10-2752 而N CHO54。因此 cos54J茹二CHJl0-2腐4從而COS36 J Jl -cos2 5475+14這種方法看上去似乎很簡單，只要作一下圖就可以了，其實不然, 這種方法的依據(jù)是什么呢？還是前人的作圖方法， 但這方法以什么為 依據(jù)呢？在我個人看來，應(yīng)該是COS360 =如1。因此