達(dá)朗貝爾原理

1、第13章 達(dá)朗貝爾原理上面幾章我們是以牛頓定律為基礎(chǔ)研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題，給出了求解質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題的普遍定理。這一章我們要學(xué)習(xí)求解非自由質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題的新方法達(dá)朗貝爾原理，它是用靜力學(xué)平衡的觀點(diǎn)解決動力學(xué)問題，又稱為動靜法。它在解決已知運(yùn)動求約束力方面顯得特別方便，因此在工程中得到廣泛的應(yīng)用。13.1 達(dá)朗貝爾原理慣性力·質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理設(shè)非自由質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，加速度為a，作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力為F，約束力為，如圖13-1所示。根據(jù)牛頓第二定律，有將上式移項(xiàng)寫為 （13-1）引入記號 （13-2）式（13-1）成為 （13-3）其中，具有力的量綱，稱為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，

2、它是一個虛擬力，它的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)的加速度方向相反。式（13-3）是一個匯交力系的平衡方程，它表示：作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系，稱為質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。此原理是法國科學(xué)家達(dá)朗貝爾于1743年提出的。 利用達(dá)朗貝爾原理在質(zhì)點(diǎn)上虛加慣性力，將動力學(xué)問題轉(zhuǎn)化成靜力學(xué)平衡問題進(jìn)行求解的方法稱為動靜法。應(yīng)當(dāng)指出：（1）達(dá)朗貝爾原理并沒有改變動力學(xué)問題的性質(zhì)。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)實(shí)際上并不是受到力的作用而真正處于平衡狀態(tài)，而是假想地加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力與作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力在形式上構(gòu)成平衡力系。（2）慣性力是一種虛擬力，但它是使質(zhì)點(diǎn)改變運(yùn)動狀態(tài)的

3、施力物體的反作用力。例如，系在繩子一端質(zhì)量為的小球，以速度v，用手拉住小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，如圖13-2所示。小球受到繩子的拉力F，使小球改變運(yùn)動狀態(tài)產(chǎn)生法向加速度，即。小球?qū)K子的反作用力，這是由于小球具有慣性，力圖保持其原有的運(yùn)動狀態(tài)，而對繩子施加的反作用力。（3）質(zhì)點(diǎn)的加速度不僅可以由一個力引起，而且還可以由同時作用在質(zhì)點(diǎn)上的幾個力共同引起的。因此慣性力可以是對多個施力物體的反作用力。例如圓錐擺，如圖13-3所示，小球在擺線拉力和重力作用下作勻速圓周運(yùn)動，有此時的慣性力為式中和分別為擺線和地球所受到小球的反作用力。由于它們不作用在同一物體上，當(dāng)然沒有合力，但它們構(gòu)成了小球的慣性力

4、系。例題13-1有一圓錐擺，如圖13-4所示，重為N的小球系于長為cm的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)，并與鉛直線成角。已知小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，試求小球的速度和繩子的拉力。解：以小球?yàn)檠芯繉ο?，受由重力、，繩子的拉力以及在小球上虛擬的慣性力，如圖13-4所示。由于小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動，其慣性力只有法向慣性力，即方向與法向加速度相反。由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理得將上式向自然軸上投影，得下面的平衡方程 解得 質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個質(zhì)點(diǎn)組成，其中第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，加速度為，作用該質(zhì)點(diǎn)的主動力、約束力、慣性力，由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理第i個質(zhì)點(diǎn)有 （13-4）式（13-4）表明：質(zhì)點(diǎn)

5、系中的每一個質(zhì)點(diǎn)在主動、約束力、慣性力作用下在形式上處于平衡。若將作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力按外力和內(nèi)力分，設(shè)第i個質(zhì)點(diǎn)上的外力為、內(nèi)力為，式（13-4）為 （13-5）式（13-5）表明：質(zhì)點(diǎn)系中的每一個質(zhì)點(diǎn)在外力、內(nèi)力、慣性力，作用下在形式上處于平衡。對于整個質(zhì)點(diǎn)系而言，外力、內(nèi)力、慣性力在形式上構(gòu)成空間平衡力系，由靜力學(xué)平衡理論知，空間任意力系平衡的必要與充分條件是力系的主矢量和對任一點(diǎn)的主矩等于均為零。即 （13-6）由于內(nèi)力是成對出現(xiàn)的，內(nèi)力的主矢量，內(nèi)力的主矩。則式（13-6）為 （13-7）即質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。式（1

6、3-7）在直角坐標(biāo)軸上的投影形式：（1）空間力系 （13-8）（2）平面力系 （13-9）13.2 剛體慣性力系的簡化在應(yīng)用動靜法解決非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題時，需要在每個質(zhì)點(diǎn)上虛加慣性力，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)較多，特別是剛體，非常不方便。因此需要對虛加慣性力系進(jìn)行簡化，以便求解。下面對剛體作平移、繞定軸轉(zhuǎn)動和剛體平面運(yùn)動時慣性力系的簡化。13.2.1平移剛體慣性力系的簡化當(dāng)剛體作平移時，由于同一瞬時剛體上各點(diǎn)的加速度相等，則各點(diǎn)的加速度都用質(zhì)心C的加速度表示，即，如圖13-5所示。將慣性力加在每個質(zhì)點(diǎn)上，組成平行的慣性力系，且均與質(zhì)心C的加速度方向相反，慣性力系向任一點(diǎn)簡化，得慣性力系主矢量 （13-10

7、）慣性力系的主矩 （13-11）式中為質(zhì)心C到簡化中心點(diǎn)的矢徑。若取質(zhì)心C為簡化中心，則慣性力系的主矩為 （13-12）當(dāng)簡化中心不在質(zhì)心C處，其主矩。結(jié)論：剛體作平移時，慣性力系簡化為通過質(zhì)心的一個合力，其大小等于剛體的質(zhì)量和加速度的乘積，方向與加速度方向相反。13.2.2定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系簡化這里只限于剛體具有質(zhì)量對稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直與此對稱平面的特殊情形。當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，先將剛體上的慣性力簡化在質(zhì)量對稱平面上，構(gòu)成平面力系，再將平面力系向轉(zhuǎn)軸與對稱平面的交點(diǎn)O簡化。軸心O為簡化中心，如圖13-6所示，慣性力系的主矢量為 （13-13）慣性力系的主矩為 （13-14）其中，為剛體對垂

8、直于質(zhì)量對稱平面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 結(jié)論：具有質(zhì)量對稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于此對稱平面的定軸轉(zhuǎn)動剛體的慣性力系，向轉(zhuǎn)軸簡化為一個力和一個力偶。此力的大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；此力偶矩的大小等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度轉(zhuǎn)向相反。當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心時，質(zhì)心的加速度，則慣性力系簡化為質(zhì)心上的一個力矩。即 （13-15）13.2.3平面運(yùn)動剛體慣性力系的簡化設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，且剛體上的各點(diǎn)在與對稱平面保持平行的平面內(nèi)運(yùn)動。此時剛體上的慣性力簡化在此對稱平面內(nèi)的平面力系。由平面運(yùn)動的特點(diǎn)，取質(zhì)心C為基點(diǎn)，如圖13-7所示，質(zhì)心的

9、加速度為，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動的角速度為，角加速度為，慣性力系的主矢量為 （13-16）慣性力系的主矩 （13-17）其中，為過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。結(jié)論：具有質(zhì)量對稱平面的剛體，在平行于此平面運(yùn)動時，剛體的慣性力系簡化為在此平面內(nèi)的一個力和一個力偶。此力大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過質(zhì)心；此力偶矩的大小等于剛體對通過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度轉(zhuǎn)向相反。例題13-2均質(zhì)圓柱體的質(zhì)量為，在外緣上繞有一細(xì)繩，繩的一端固定不動，如圖13-8a所示，圓柱體無初速度地自由下降，試求圓柱體質(zhì)心的加速度和繩的拉

10、力。解：對圓柱體進(jìn)行受力分析，作用其上的力有：圓柱體的重力，繩的拉力，作用在圓柱質(zhì)心的虛擬慣性力和，即 (1)其方向如圖13-8b所示。列平衡方程為 (2) （3）式(1)代入式(2)和式（3），并聯(lián)立求解，得圓柱體的角加速度和繩的拉力為圓柱體質(zhì)心的加速度為例題13-3如圖13-9a所示，均質(zhì)圓盤的質(zhì)量為，由水平繩拉著沿水平面作純滾動，繩的另一端跨過定滑輪并系一重物，重物的質(zhì)量為。繩和定滑輪的質(zhì)量不計(jì)，試求重物下降的加速度，圓盤質(zhì)心的加速度以及作用在圓盤上繩的拉力。解：以圓盤為研究對象，作用在圓盤上的力有重力，繩的拉力，法向約束力，摩擦力，虛擬慣性力和。虛擬慣性力和為其方向如圖13-9b所示，

11、為圓盤的半徑。列平衡方程為 （1）再以重物為研究對象，作用在重物上的力有重力，繩的拉力，虛擬慣性力。虛擬慣性力為其方向如圖13-9c所示。列平衡方程為 （2）式（1）和式（2）聯(lián)立，并注意，解得重物下降的加速度為圓盤質(zhì)心的加速度為作用在圓盤上繩的拉力為例題13-4均質(zhì)直桿重為，桿長為，為球鉸鏈，端自由，以勻角速度繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動，如圖13-10a所示。試求桿與鉛垂軸的夾角以及鉸鏈處的約束力。解：首先計(jì)算慣性力如圖13-10b所示,將桿分割成微段，且距為，則段上慣性力為 （1）其中，為桿的線密度。對式（1）積分，求合慣性力為 （2）合慣性力的作用線位置，由合力矩定理得其中，為合慣性力到的距離。解得將

12、式（2）代入得 （3）由式（1）和式（3）知，此慣性力為線性分布載荷，其合力為載荷圖的面積，合力的作用線通過載荷圖的形心。其次求桿與鉛垂軸的夾角以及鉸鏈處的約束力。對桿進(jìn)行受力分析，如圖13-10c所示,在桿所在的鉛垂平面內(nèi)，桿受重力，鉸鏈處的約束力為、，虛擬慣性力。列平衡方程為 （4） （5） （6）將慣性力式（2）代入式（4）、（5）、（6）得13.3 本章小結(jié)1.質(zhì)點(diǎn)的慣性力其中，慣性力是一個虛擬力。2.質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動力、約束力和虛擬的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。即3.質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理：作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。即平衡