量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換

1、4.5 量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換 態(tài)和力學(xué)量算符的不同表示形式稱為表象。態(tài)有時(shí)稱為態(tài)矢量。力學(xué)量算符對(duì)態(tài)的作用實(shí)際上是對(duì)矢量量進(jìn)行變換，因此可與代數(shù)中線性變換進(jìn)行類比。1、量子態(tài)的不同表象 幺正變換（1）直角坐標(biāo)系中的類比取平面直角坐標(biāo)系其基矢（我們過(guò)去稱之為單位矢）可表示為,見(jiàn)圖其標(biāo)積可寫成下面的形式我們將其稱之為基矢的正交歸一關(guān)系。平面上的任一矢量可以寫為其中，稱為投影分量。而稱為在坐標(biāo)系中的表示?，F(xiàn)在將坐標(biāo)系沿垂直于自身面的軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角度，則單位基矢變?yōu)?，且同樣有而平面上的任一矢量此時(shí)可以寫為其中投影分量是，。而稱為在坐標(biāo)系中的表示?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：這兩個(gè)表示有何關(guān)系？顯然，。用、分別

2、與上式中的后一等式點(diǎn)積（即作標(biāo)積），有表成矩陣的形式為由于、及、的夾角為，顯然有或記為其中是把在兩坐標(biāo)中的表示和聯(lián)系起來(lái)的變換矩陣。變換矩陣的矩陣元正是兩坐標(biāo)系基矢間的標(biāo)積，它表示基矢之間的關(guān)系。故R 給定，任何矢量在兩坐標(biāo)系間的關(guān)系也確定。很容易證明，R 具有下述性質(zhì)：由于,其中，故稱這種矩陣為正交矩陣。但（對(duì)應(yīng)于真轉(zhuǎn)動(dòng)（proper rotation）且（實(shí)矩陣）我們把滿足上述條件的矩陣叫幺正矩陣。到現(xiàn)在為止，我們介紹了三種矩陣：厄米矩陣：正交矩陣：幺正矩陣：這三種矩陣在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常涉及到，請(qǐng)注意掌握。（2）量子力學(xué)中的表象形式上與上述類似，在量子力學(xué)中，按照態(tài)的疊加原理，任何一個(gè)態(tài)可

3、以看成Hilbert空間的一個(gè)“矢量”。體系的力學(xué)量 F 完全集的共同本征函數(shù)系（k 代表一組完備量子數(shù)）構(gòu)成一組正交歸一完備基矢。這組基矢構(gòu)成的“坐標(biāo)系”稱為F 表象。同樣對(duì)于任意態(tài)矢量，有其中這一組系數(shù)就是態(tài)（矢）在F表象中的表示，它們分別是與各基矢的內(nèi)積。與代數(shù)不同的是：這里的“矢量”（量子態(tài)）是復(fù)數(shù)；空間維數(shù)可以是無(wú)窮的，甚至不可數(shù)的?，F(xiàn)在考慮同一個(gè)態(tài)在另一組力學(xué)量完全集 (表象)中的表示。設(shè)本征態(tài)為，滿足正交歸一，即態(tài)用這組態(tài)矢展開(kāi)，即其展開(kāi)系數(shù)為，則這一組系數(shù)就是態(tài)在表象中的表示。那么 ？方法同前述。因?yàn)轱@然，對(duì)后一等式用作內(nèi)積，有其中是表象基矢與F表象基矢的內(nèi)積。上式也可以寫成矩

4、陣的形式：簡(jiǎn)記為通過(guò)S 矩陣相聯(lián)系，且，即S 矩陣是幺正矩陣（下面將予以證明）。它實(shí)際上是聯(lián)系兩個(gè)基矢的變換矩陣。例 試證明： S 矩陣是幺正矩陣分析只要證明的矩陣元是即可。在F表象中，有根據(jù)S 矩陣元的定義，上式為利用前面的介紹，函數(shù)可以用任何一組正交歸一完備函數(shù)組來(lái)構(gòu)成，即則上式可見(jiàn)，矩陣為單位矩陣，即。2、力學(xué)量算符的矩陣表示仍以線性空間的矢量作類比（正向轉(zhuǎn)動(dòng)角）已經(jīng)知道： 令，寫成分量的形式，有用對(duì)上式點(diǎn)乘，得即按照右下圖，有其中。與此類比，設(shè)經(jīng)算符作用后變成，即以F表象（力學(xué)量F完全集的本征態(tài)）為基矢，即，則有下面我們看如何通過(guò)上式由求。對(duì)，以作標(biāo)積，得 其中。由上式可見(jiàn)，力學(xué)量算符

5、對(duì)態(tài)的作用可以寫成因此，矩陣一旦確定，則所有基矢（因而任何矢量）在作用下的變化也就完全確定了。例 求一維諧振子坐標(biāo) x、動(dòng)量 p 以及Hamiltonian H 在能量表象中的表示。分析：不同體系的Hamiltonian不一樣，能量表象的基矢也不一樣。這里能量表象的基矢為一維諧振子Hamiltonian 的本征函數(shù)。解：利用一維諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系所以注意：這里的m、n都是由0開(kāi)始取值。這樣而所以是一個(gè)對(duì)角矩陣。任何力學(xué)量在自身表象中的表示都是對(duì)角矩陣。3、量子力學(xué)的矩陣表示設(shè)力學(xué)量完全集F的本征態(tài)是分立的（基矢可數(shù)），在F表象中，力學(xué)量L用矩陣表示為，且而量子態(tài)則表示成列矢的形式，即，其中

6、這樣，量子力學(xué)的理論表述均可表成矩陣的形式。下面我們分別討論Schrdinger方程、平均值公式以及本征值方程的矩陣形式。(1) Schrdinger方程在F表象中，系數(shù)為時(shí)間t的函數(shù)。代入上述方程得對(duì)左乘作內(nèi)積，得而，這樣利用基矢的性質(zhì)，有寫成矩陣的形式是(2) 平均值公式對(duì)于力學(xué)量算符若，即在自身表象中，則將此式代入上頁(yè)平均值公式，有則取值為的幾率是。(3) 本征值方程對(duì)本征值方程，用代入，有用與上式作內(nèi)積，可得即這是的齊次線性方程組。方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即寫出明顯的矩陣形式是如表象空間的維數(shù)為N，則上式是關(guān)于的N次方程，有N個(gè)實(shí)根。記為用解得的代入前面所得方程組可以

7、得到。表成列矢的形式為它就是與本征值相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示。注意：若有重根，則會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)并（不同的態(tài)對(duì)應(yīng)相同的能級(jí)），簡(jiǎn)并態(tài)還不能唯一確定。4、力學(xué)量的表象變換在F表象中，是基矢，力學(xué)量算符可以表成我們?cè)噲D尋找與的關(guān)系。是基矢，則用作用到上式中，有即或其中同理可得，其中。（將S矩陣元提到積分號(hào)外）即。其中。則是從間基矢變換的幺正矩陣，即注意：S是不同表象基矢間的變換矩陣。4.6 Dirac符號(hào) 量子力學(xué)的理論描述常采用Dirac符號(hào)。兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)算簡(jiǎn)捷不依賴于具體表象先介紹 括號(hào)1、左矢（bra）與右矢（ket）Hilbert空間：由量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成。在這個(gè)空間中，態(tài)用右矢表示，

8、一般寫為，定義在復(fù)數(shù)域上。也可以在右矢內(nèi)填上相應(yīng)的量子數(shù)或本征值來(lái)表示相應(yīng)的態(tài)，如分別表示坐標(biāo)、動(dòng)量和動(dòng)能算符的本征態(tài)。而表示角動(dòng)量算符的共同本征態(tài)。左矢如等則是上述右矢的共軛態(tài)矢。2、標(biāo)積或內(nèi)積的表示定義兩個(gè)態(tài)矢和標(biāo)積的形式為又稱內(nèi)積。且滿足下列關(guān)系若滿足，則稱與正交。若滿足，則稱與是歸一的。若力學(xué)量完全集F的本征態(tài)（分立）記為，則其正交歸一性可寫為對(duì)連續(xù)譜，比如坐標(biāo)算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為而動(dòng)量算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為3、態(tài)矢在具體表象中的表示（1）分立譜的情況若力學(xué)量完全集F的本征態(tài)（分立）記為，則在F表象中，任意態(tài)矢量可以寫為用同上式兩邊作內(nèi)積，有所以有即。它是在上的投影。

9、用列矢表示為所以可以看作一個(gè)算符，因?yàn)樗饔迷趹B(tài)矢量上后求和，得出的是態(tài)矢量。我們稱這個(gè)算符為投影算符，用表示，即而顯然，是在上的投影。另外有我們稱算符I 為單位算符，這是基矢完備性的表現(xiàn)，通過(guò)以后的學(xué)習(xí)會(huì)發(fā)現(xiàn)它有著非常重要的意義。（2）連續(xù)譜的情況在這種情況下，上述的求和要用積分代替。比如：要會(huì)寫，以后經(jīng)常用到。（3）兩個(gè)態(tài)矢之間的內(nèi)積寫法在F表象中，兩個(gè)態(tài)矢和之間的內(nèi)積可按如下方法計(jì)算：其中以上是態(tài)矢量在具體表象中的表示,下面介紹4、算符在具體表象中的表示設(shè)算符的作用用Dirac符號(hào)表示為在F表象中，的矩陣元是用與上面的作用方程作內(nèi)積，有（插入單位算符0利用前面所得關(guān)系由則有上式寫成矩陣的

10、形式，有其中就是算符在F表象中的矩陣表示。4、量子力學(xué)公式例1用Dirac符號(hào)，Schrdinger方程可寫為在F表象下可表示為 即例2在態(tài)下的平均值用Dirac符號(hào)表示為例4 Dirac符號(hào)下的本征值方程的本征方程為在F表象中左端可以表成考查左端右端可以寫成這樣寫是有目的的從而有或?qū)憺?。此方程組有非0解的必要條件為5、表象變換(1)態(tài)的表象變換態(tài)在F表象中用（列矢）表示在表象中用（列矢）表示則此兩個(gè)表示之間的關(guān)系可由下式給出即其中表示兩個(gè)基矢之間的關(guān)系。寫成矩陣的形式，有上式可以簡(jiǎn)寫成其中為么正矩陣，即滿足下面用Dirac符號(hào)來(lái)證明上式證明：在F表象中，同理可證?？梢?jiàn)，用Dirac符號(hào)證明上

11、式是比較簡(jiǎn)單的。例1已經(jīng)知道，一維粒子動(dòng)量為的本征態(tài)是實(shí)際上，這是動(dòng)量為的本征態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示，即而粒子的位置在點(diǎn)的本征態(tài)在坐標(biāo)表象中可表成，即實(shí)際上，任何算符的本征函數(shù)在自身表象中的表示都為函數(shù)。例2波函數(shù)在坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象之間的變換由前述可知，一維粒子態(tài)矢在坐標(biāo)表象中可表示成即平常習(xí)慣所用的波函數(shù)而類似地，在動(dòng)量表象中，此態(tài)矢量表示成寫成函數(shù)形式時(shí)應(yīng)寫成，而不是，以示與有別。同一個(gè)量子態(tài)在坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象中的表達(dá)式關(guān)系如下：（插入|p的完備性關(guān)系）即Fourier變換式其逆變換為或?qū)懗纱俗儞Q的幺正性可通過(guò)下式證明：同理可證明：。例3任意兩個(gè)態(tài)和的內(nèi)積記為，在坐標(biāo)表象中表示成（以一維粒子為例）： 而在動(dòng)量表象中可以表成：(2)算符的表象變換算符在F表象中的矩陣元為在表象中的矩陣元為而 寫成矩陣的形式是、分別為在表象和表象中的矩陣。注意：此式與周世勛書(shū)中的式（4.4-10）有所區(qū)別。原因在于選擇哪一個(gè)為原表象，即S 矩陣是如何定義的。本教材中例 設(shè)一維粒子的Hamitonian量是寫出表象中和的“矩陣