2021年北京市平谷區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷與答案

1、2021年北京市平谷區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分：在每個小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一 項.）1.若集合 A = xl-區(qū)運 21，B = xx>i9 則 AD8 等于（）第7頁共13頁A.xl 1 < 送 2B,xlx>l2 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（li）z = l + i,則z等于A. -iBJ3 .以+ 3的展開式中父的系數(shù)是（） x）C.xx-）C.-2zD. 工 1一14詆2D.2iA.28B.56C.112D.2564. 一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是（）D.14主（正）視圖左（側(cè)）視圖俯視圖A.3 兀B

2、.8C.12萬5.設(shè)夕是圓/ +）/-10X-6）葉25=0上的動點,。是直線x = Y上的動點，則歸。|的最小值為（）D.2A.66 .函數(shù)/（x） = ln（x + l）的圖象與函數(shù)/（刈=/一4% + 4的圖象的交點個數(shù)為（）A.OB.lC.2D.37 .已知函數(shù)/（x） = Asin3x + o）（A>0>O”R）.則“/"）是偶函數(shù)”是“夕后”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件8 .已知"（一。，。），AC。）分別是雙曲線C:二一二=1（。>0>0）的兩個焦點，雙曲線G和圓 cr b-。2：/

3、+/=。2的一個交點為。，且/尸乙"=3,那么雙曲線G的離心率為（）A.岑B.小C.2D,V3 + 1,、24仇 + 29 .已知數(shù)列勺滿足q=,且對任意 wN,，都有那么（為（）54+i4+1 +2A-B.7C.D.1071010 .某時鐘的秒針端點A到中心點。的距離為5cm,秒針繞點O勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時間：f = o時，點A與鐘而上標(biāo)12的點6重合，當(dāng)，e0,60, A，8兩點間的距離為（單位：cm）,則等于一A.5sin-B. lOsinC.5sinD.lOsin 223060二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分：請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11 .函數(shù) /（X

4、）= J3 - X + ln（x -1）的定義域是.12 .已知拋物線C爐=心上一點M到焦點的距離為3,那么點“到、軸的距離為.13 .已知在直角三角形ABC中，ZA = 90°, AB = 1, BC = 2,那么亞沅等于：若AM是邊上的 高，點。在A ABC內(nèi)部或邊界上運動，那么麗/小巨的最大值是.14 .已知函數(shù)/（x） = sin5（G>0）,在一。，= 上單調(diào)遞增，那么常數(shù)。的一個取值.4 315 .從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去兒年里快速發(fā)展，并在國民經(jīng)濟和日常生活中扮演著日 益重要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數(shù)的折線圖（圖中

5、的數(shù)據(jù)均是每年12月31日的統(tǒng)計 結(jié)果）.根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是2015年這一年，高鐵運營里程數(shù)超過0.5萬公里：2013年到2016高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率：從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)最多的一年是2014年；從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數(shù)逐年遞增；其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16 .（本小題滿分13分）如圖，在四棱維P-ABC。中，底面/歷C£是邊長為2的正方形, PAB為正三角形,且側(cè)而叫_1底而ABCD , PM=MD

6、.（I）求證：抬平面ACW：（U）求二面角"一員?一。的余弦值17 .（本小題滿分13 分）在銳角AA3C中，角A, B, C的對邊分別為” . c,且瘋,一2戾inC = O.（I）求角4的大小：（ID再從下面條件、條件這兩個條件中選擇一個作為已知，求A ABC的而積條件. b = 3A/3,。= 2；條件：。=2, A =.4注：如果選擇條件和條件分別解答，按第一個解答計分.18 .（本小題滿分14分）隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質(zhì)要求越來越高，某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進行了質(zhì)量滿意調(diào)查，現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人次作為樣本，得到下表（單位：人次）：

7、滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（I）從樣本中任取1個人，求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率：（D）從該地區(qū)的老年人中抽取2人，青年人中隨機選取1人，估計這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意 的概率；（ni）依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，你認為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升0，使得整體對鮮奶的滿意度 提升最大？（直接寫結(jié)果）.19 .（本小題滿分15分）已知橢圓C ：=1（ > 0,。> 0）的離心率為:，并且經(jīng)過p（o，V3）點.（I）求橢圓。的方程:(II)設(shè)過點。的直線與X軸交于N點，與橢圓

8、的另一個交點為4,點4關(guān)于X軸的對稱點為B',直線交 x軸于點何，求證：|。河|。/為定值.20 .(本小題滿分15分)已知函數(shù)/*)="1+'T e(1)當(dāng)“=0時，求函數(shù)y = /(x)的單調(diào)區(qū)間：(n)當(dāng)“ =1時，過點P(-LO)可作幾條直線與曲線y = /(x)相切？請說明理由.21 .(本小題滿分15分)已知數(shù)列4 4, %,.(吸產(chǎn)叼與 冽，具有性質(zhì)P：對任意"j (<i<j<n)4+q與4一%，兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，5”為數(shù)列A的前項和.(1)分別判斷數(shù)列0,135與數(shù)列0,246是否具有性質(zhì)P：(II)證明：=

9、0,且S“='k：2(皿)證明：當(dāng) =4時，Clv 2，%，%，%，成等差數(shù)列.2021年北京市平谷區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷一選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.題號12345678910答案ABCBACBDAD二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共25分.注：第15題第一空3分,第二空2分：第15題全部選對得5分，不選或有錯選得。分，其它得3分。a11. xll<x<3:12.2；13.-1； 0.14. (0，中的一個值：415 .；.三、解答題：(本大題共6小題，共80分；解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟).16 .(本小題滿分13分)如圖,在四棱錐產(chǎn)

10、一”8中，底面一8是邊長為2的正方形，A/NB為正三角形，且側(cè)面以瓦L底面438,PM = MD.(I)求證：PB/平面KCM：(U)求二而角MBC。的大小(Z)證明：連接初、與力。交于0,在P8O中,n因為夕，M分別為即，秒的中點,所以BP/OM4分因為 族(Z平而4)石，6?"二平面aJ/,所以BP/平面W6分(匚)因為."8是正方形，SAb為正三角形，E是，的中點,所以尸EL鋁.又因為面上/，底面，空CD所以PE JL平面J5CD8分過E作EF平行于C8與CD交于F .以E為原點,分別以EB,EF,EP為x,y,Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系七-冷憶，9分則 £(

11、0,0,0) » 8(1.0.0)，( '尸(0,0,有卜 C(l,2,0)> D(-I,2,o).10 分所以 CM =(g，» 6c = (0,2,0),設(shè)平面CBM的法向量為 =(x,y,z)，則得 =(1,0,揚11 分因為尸EL平面所以平而ABCD的法向量,=(0,0.1)，12分所以 cos<w, m)="=n m2所以二面角M - BC -。的大小為30°13分17.（本小題滿分13分）在銳角中，角人，的對邊分別為入）",且&_2從山。=0（二）求角3的大小:（二）再從下而條件、條件這兩個條件中選擇一個

12、作為已知，求：A8C的面積. = 3>/J,a = 2. =2, A/， 4解（口）因為君c 2"sinC=°,由正弦定理"sinC2sinBsin°二°所以 2B =所以 3（二）解法一：因為 =3昭,“ =2根據(jù)余弦定理得=*+M2c.a.cos8,化簡為 c2-2c-23 = 0t 解得 C = 1 + 2-J6 .11分所以ZiABC的面積S =(casin8 =13分解法二：因為A = 口，/? = -根據(jù)正弦定理得/_=，_ sin B sin Asin A8分第9頁共13頁因為C=nA-3=型,12所以所以11分13分廠 ,

13、5兀 .m 兀、V6 +>/2 sin C = sin = sin(+-)=124 64c 1 z .廠 3 + >/3 48。的面積5=大。$山。=一 2218 .（本小題滿分14分）隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶需求越來越大，品質(zhì)要求越來越高，某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和和酸奶，在一地區(qū)進行了質(zhì)量滿意度調(diào)查，現(xiàn)從中隨機抽取500人次作為樣本，得到下表（單位：人次）：滿意度老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080（匚）從樣本中任取1個人，求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意的概率；（匚）從該地區(qū)的老年人中抽取2人，

14、青年人中隨機選取1人，估計這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的 概率；（二）依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，哪部分人對鮮奶的滿意度提升0.1,使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直 接寫結(jié)果）解：（二）設(shè)這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為A,總?cè)舜螢?00人,共抽取了 100+120+150=370人次對酸奶滿意，所以尸（月）=5分' 750050（匚）由頻率估計總體，由已知抽取老年人滿意度的概率為尸（方）=2,抽取青年人滿意度的概率為尸（C） = 3,o5抽取這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率?（。），尸() =/56125所以這三人中恰有2人對生產(chǎn)的鮮奶質(zhì)量滿意的概率為變11分

15、125仁）青年人14分19 .（本小題滿分15分）己知橢圓c：4+4=1（，>>0）的離心率為-,并且經(jīng)過p。?。c cr Ir2（二）求橢圓C的方程；（二）設(shè)過點P的直線與X軸交于N點，與橢圓的另一個交點為3,點3關(guān)于I軸的對稱點為夕，直線尸8'交K軸于M,求證：I0WI.IONI為定值0解：（口）由已知L 3解得|”二右三+匚1所以橢圓C ： 43第13頁共13頁（二）證明：由己知斜率存在以下給出證明:由題意，設(shè)直線號的方程為二日+由徐工0）1（0,7行），8（占,）,則8'仕,一）;）7分3?+4/=12, y = kx +。,得（3 + 4F）f+8k/x

16、= 0.所以 A = （8k/y>0,n Sky/38k 摳8k 車 后A. + 0 = 7 , X = - = -r + J313 + 4 公13 + 4/3 + 4 公3等黑+我即仇苦.嚕泮11分.8 4限 y、3+ 4攵 2' -3 + 4尸-4限 2_363-8 褥、直線出的方程為廣, 小(-4瓜2-3的)4 4k令、，=0得X= 所以M 53(3+ 4公)3(3+ 4公),0)令 )，=0由 y =左丫 + 得X = -g所以 N(-g,0) kk13分(47?好-364攵“ B A、M-1=43(3+4k2)15分c 0法二：設(shè) 8(%,九)，B'(/,-%)

17、則.+. = 1則直線PB的方程為y-V3 =9二&（x-0） 一/所以N(. f皂0)同理M(.,0)V3-y06+No".Vo所以I。河 I . I ON I =1小以|.| W|二|6+先下-為3 尤12分因為 ¥ + ? = 1 所以 34 + 4)'；=12 I J所以 IICNI=I、IT I-二4'" 1=43-)片3-415分20（本小題滿分15分）、ax2 +x + l f(x) =己知函數(shù)/（1）當(dāng)。=°時，求函數(shù)y=/a）的單調(diào)區(qū)間;（3）當(dāng) =1時，過點（一1，°）可作幾條直線與曲線相切？請說明理

18、由.1* -1. 1（-）因為當(dāng) =0時JCr） = 士， ex由"（幻=,令尸（x）=0,解得x = 0, 3分el則廣）及“幻的情況如下:X(-oo,0)0(0,-KC)/（X）+0/極大值所以函數(shù)/Q）的遞減區(qū)間為（O.xo）；遞增區(qū)間為（-8,0）7分（J）因為當(dāng)。=1時,/&） = =,所以/"）=三二二9分exeA設(shè)切點為乩琳為），則切線方程為：一%=母"70），又因為切線過（一i,o）,所以一）'0二三4（-17。）所以一七芍二L 3m（-17o），化簡得 £+片+1 = 011 分e* e °令 g（x）二 /

19、+ r +1,所以 g'（x）= 3r+lx,則g'（x）及g（x）的情況如下：X（-4-|）32(-30)0(0, 4-00)sW+00+g(x)/極大值3127極小值1/77所以函數(shù)g。）的遞減區(qū)間為（一二.0）；遞增區(qū)間為（一8,-二），（0.+oo）.g（2） = 3<（） 33741p（-） = >0，所以g（x）在（一2,0）有唯一一個零點，13分327所以方程£ +片+1=°有唯一一個解.所以過。（一1,0）只能作一條曲線/的切線15分21（本小題滿分15分）已知數(shù)列4： %,”2,<a"，"N3）具有性質(zhì)P：對任意ij （1W J 4/?）, %+q.