惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題正式版

1、數(shù)學(xué)試題（理科）第3頁，共19頁惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試2020.1理科數(shù)學(xué)全卷?茜分150分，時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填 寫在答題卡上。2 .作答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3 .非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上， 寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1.已知全集 U R, A x|2

2、x 1 ,則eUA ().A . X X 11 C. x|x 0D. x|x 02.設(shè)i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)1.3iz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第 （）象限.B.C.D.四3 .已知 a log 20202020112020% 則().7t7tB.bC.D. a4 .在直角坐標(biāo)系xOy中，已知角0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線y 3x 上，貝U sin2 )=()5 .在平行四邊形uur則 MP =()B.ABCD 中,uuuABuurADuuur AMuum 4MCP為AD的中點(diǎn),a 4a510B.4r a53bC-4r a5叉10D.6 .設(shè)a R,則“a J2”是“直線

3、li：x 2ay 5 0與直線l2：ax 4y 2 0平行” 的（）條件.A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要7 .數(shù)列an ： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,，稱為斐波那契數(shù)列，它是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”該數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和,即an 2an 1 an .記該數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,則下列結(jié)論正確的是（）.A -S2019a20202B - S2019a2021C.S2019a20201D .S2019a20218 .易經(jīng)是中國傳統(tǒng)文化中的精髓之一。右圖是

4、易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“一”表示一根表示一根陰線）。從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為()A. 1. 1147C.5528 , 149 .函數(shù)f x 12V sin x的圖象的大致形狀是（）.1 eABCD10 .如圖，平面？襯正方體？?？?-?的頂點(diǎn)A, ?/平面？?？，？小面？?？?，?nff面？?？=?則m、n所成角的正弦值為（).dT211 .已知F為拋物線？3= ?的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B在該拋物線上且位于 x軸的兩側(cè),? 2（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則?積之和的最小值是（）.A. 2B. 3C. 17PD. Vm1

5、2 .已知函數(shù)？（?= sin（?+ ?）（?> 0）滿足？（?？ = ?（?+ 1）= - 2，sin(2?);且？?（?格（?？,？+ 1）上有最小值，無最大值。給出下述四個(gè)結(jié)論:？?(?+ -) = -1 ;若？= 0,則？?(?= 2？?（?那最小正周期為3;？（?孽（0,2019）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為 1346個(gè).其中所有正確結(jié)論的編號是（）.A.B.C.D .二、填空題：本題共4小題，每小題5,共20分，其中第15題第一空2分，第二空3分。13 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 n值是.W ；n 0火14 .若（1 + ?）（1- 2?）7 = ?+ ?+ ?+ ? + ?,

6、| n n 2 |則？ + ?+ ?+ ? + ?的值是15 .設(shè)數(shù)列?的前n項(xiàng)和為？?，若？ = 4,?+1 = 2?+ 1 ,? ?工則？ =, ? =否22x y16.已知雙曲線 ci.2 2 1(a 0 ba2b20）的離心率e 2 ,左、右焦點(diǎn)分別為 F2,C1與C2在第一象限的公共點(diǎn)為2其中F2也是拋物線C2:y 2px p 0的焦點(diǎn),3 P .若直線PF1斜率為,則雙曲線離心率 e的值是4三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明， 證明過程或演算步驟。 第1721題為必考題,每個(gè)考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題:共60分。17 .（本小題滿分

7、12分）在平面四邊形ABCD 中,ABC冗3'ADC冗一，BC 2.2（1）若4ABC的面積為3 3+，求2AC（2）若 AD2,3,ACBACD求tan18 .（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形 ABCD中，?/? ?= ? 1 , ?= 2, E 為 CD 中點(diǎn),以AE為折痕把?起,使點(diǎn) D到達(dá)點(diǎn)P的位置（?？平面?）（1）證明:?L?（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為求二面角？0 ?勺余弦值.nnE19.（本小題滿分12分）數(shù)學(xué)試題(理科)第7頁，共19頁為發(fā)揮體育核心素養(yǎng)的獨(dú)特育人價(jià)值，越來越多的中學(xué)將某些體育項(xiàng)目納入到學(xué)生的必修課程?；葜菔心持袑W(xué)計(jì)劃在高一年級開設(shè)游泳課

8、程，為了解學(xué)生對游泳的興趣，某數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組隨機(jī)從該校高一年級學(xué)生中抽取了100人進(jìn)行調(diào)查。(1)已知在被抽取的學(xué)生中高一 (1)班學(xué)生有6名，其中3名對游泳感興趣，現(xiàn)在從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3人，求至少有2人對游泳感興趣的概率；(2)該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對游泳感興趣的學(xué)生中有部分曾在市級或市級以上游泳比賽中獲獎，具體獲獎人數(shù)如下表所示。若從高一 (8)班和高一(9)班獲獎學(xué)生中隨機(jī)各抽取2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為？求隨機(jī)變量班級一一 (2)一一 (4)一一 (6)一一 (8)一一 (10)市級比賽獲獎人數(shù)2233443342市級以上比賽獲獎人數(shù)

9、221023321220 .(本小題滿分12分)2在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知過點(diǎn)？?(4,0)的直線l與橢圓C : y2 1交于不同4的兩點(diǎn)?(?), ?(?),其中？?？ W0.(1)若？ 二 0,求?面積；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn) T,使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰 三角形。21 .(本題滿分12分)已知實(shí)數(shù)a 0,設(shè)函數(shù)f x eax ax.(1)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；1一 a 2（2）當(dāng)a 時(shí)，若對任意的x 1, ，均有f x x2 1 ,22求a的取值范圍。注：e 2.71828L L為自然對數(shù)的底數(shù)。（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題

10、作答。如果多做，則按所做的第-題計(jì)分。答題時(shí)請寫清題號并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑。22.（本小題滿分10分）選彳4> 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為2cos ,若極坐標(biāo)系內(nèi)異于 O的三點(diǎn)AB 2, 一 , C 3, 1, 2, 3 0 都在曲線 M 上.66(1)求證：£ 123；若過B, C兩點(diǎn)的直線參數(shù)方程為2 ?1t2（t為參數(shù)），求四邊形OBAC的面積.23.（本小題滿分10分）選彳4-5:不等式選講已知函數(shù)f x x 2 x 4 .（1）求不等式f x3x的解集;（2）若f x k

11、x 1對任意x R恒成立，求k的取值范圍.惠州市2020屆高三第三次調(diào)研考試文科數(shù)學(xué)參考答案與評分細(xì)則題號123456789101112答案CBDBABDDCCAA、選擇題:4, 6.故答案選C1.【解析】B=0,2,4,6.AUB= 0, 1, 2, 3,2.【解析】-3.i,2故答案選3.【解析】由韋達(dá)定理可知aia55, ai a5aia5a30,且a：a1a53 a34.【解析】lOga5.【解析】若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則直線經(jīng)過圓心,-2,02k 2 0,所以答案選B數(shù)學(xué)試題（理科）第9頁，共19頁得k 1,所以答案選auuu uuu 1 uuur6.【解析】Q AP mAB

12、- AC 2uuu mAB1 uur4AD 2uuu mABuuur2AD ,B P、D三點(diǎn)共線，所以m 2 1,得m7.【解析】當(dāng)另外兩個(gè)月的通話時(shí)長都小于530 （分鐘）時(shí),530中位數(shù)為2550一 540 (分鐘），當(dāng)另外兩個(gè)月的通話時(shí)長都大于650 （分鐘）時(shí),610 650中位數(shù)為- 630 (分鐘），所以8個(gè)月的月通話時(shí)長的中位數(shù)大小的取值區(qū)間為540,630 ,故選 D8.【解析】f為偶函數(shù)，則a 1x , xf (x) e +e ,x xf'(x) e e .設(shè)切點(diǎn)得橫坐標(biāo)為x0,f'(x。)ex0 ex03% -3.解得ex0 2,所以X0 ln2o故答案選d

13、9.【解析】f x為奇函數(shù)則排除B ;當(dāng)x 0, f (x) 0 ,排除A ;0,對比圖象可知，答案選5f '(x) cosx cos2x, f '(x) 0 解得 x 或 x 6數(shù)學(xué)試題(理科)第11頁，共19頁10.【解析】C(-3,0),D(3,0)恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，因?yàn)镻MPD , PNPCPMPNPCPD1 r 201 r 172 ,所以答案選11.【解析1】af(x)max3 4n x=sin22,f(x),3sin( x )1 cos x2°，3QIf (x)技1 - 入，-所以答案選3【解析2】本題也可通過分析臨界值求出答案。由 f (0)3一可知

14、2f(,3為兩個(gè)臨界值，由此可解得6,及1 L 入，,所以答案選312.【解析】由題得f '(x) x2 2ax a(a1)由已知得t1+t2 =2 a恒成立,m f (2a)(a 1)恒成立。g(a) f(2a)2a2 1(a1)，貝Ug '(a) 4a2 4a 4a(a1),0), g'(a) 0a (0,1), g'(a) 0;g(a)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增。g (a) min g(0)1, m 1,m 1.故選答案A二、填空題：本題共4小題，每小題5,共20分，其中第16題第一空3分，第二空2分。213. 614,3(或 120&#

15、176;) 15.3:2 (或 3 ,或 1.5)216. 3（3分），工（2分）213.【解析】n22,22 20; n4,2420; n6,2620.故答案為6.14.【解析】因?yàn)閍 7b,c35b 3cosA,22b c2bcb2 (5b)2 (7b)2 332b(5 b)A 2315.【解析】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為 R ,高為2R ,圓柱的表面積S12 R22 R2R26 R ；球的表面積S24R2圓柱的表面積與球的表面積之比為SS26 R24 R232,本題正確結(jié)果:16.【解析】由題意可得，平面區(qū)域16當(dāng)t 1時(shí)，平面區(qū)域N的面積為6,所以P616如圖，當(dāng)2t 4 t取

16、得最大值時(shí),2時(shí)，P最大,當(dāng)t 2時(shí)，平面區(qū)域N的面積為28,所以最大值P161一;故答案為2三.解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)考生都必'須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17.（本小題滿分12分）【解析】（1）設(shè)an的公差為d ,則由題可知:a401分as0a13d073d01,即a14d074d02分解得7 d 73分43因?yàn)閐為整數(shù)，d =24分?jǐn)?shù)學(xué)試題（理科）第13頁，共19頁an a1 (n 1)d7 2(n 1) 2n 9所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 2n 95分當(dāng)n 4時(shí)，an 0；當(dāng)n 5時(shí)，an 0

17、6分ala2 a3a4a5分分a20(aia2a3a4)(a5a20 ) 7(a1 a4 ) 4 (a5 a20) 16229(7 1) 42(1 31) 16210分?jǐn)?shù)學(xué)試題（理科）第15頁，共19頁=27211分12分所以數(shù)列an的前20項(xiàng)和為27218 .（本小題滿分12分）【解析】（1）連接BD,設(shè)ACI BD O ,連接OE ,則點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).又因?yàn)镋是BS的中點(diǎn)，所以SD/ OE , 1分又因?yàn)镾D 平面ACE, OE 平面ACE, 3分1注：每個(gè)條件1分】所以SD/平面ACE. 4分（2）因?yàn)樗倪呅?ABCD是菱形，且 ABC 120 ,1所以 ABD ABC 60 .又因?yàn)?/p>

18、AB AD , 2所以三角形ABD是正三角形.5分取 AB的中點(diǎn) F , 連接 SF , 則 DF AB , 且DF 2點(diǎn).6分又平面 ABS，平面 ABCD , DF 平面 ABCD , 平面 ABSI平面ABCD AB , 7分所以 DF 平面 ABS . 即 DF 是四棱錐 D AES的一條9【解法1】而S'ase-SA SE sin ASE 2於 2數(shù)學(xué)試題（理科）第17頁，共19頁所以 VE ADSVD AES111SAase DF 1 2 J3 273 4 . 33綜上，三棱錐E ASD的體積為4.12【解法2】因?yàn)镋是BS的中點(diǎn)，所以VEADSVB ADS210而 VB

19、ADSVDABS1 - Saabs DF31g 2.3 8.3211所以，三棱錐ASD的體積為4.1219 .（本小題滿分12分）【解析】（1）當(dāng)10 x 14時(shí)y 40x 10 14 x =50x 140當(dāng)14 x 20時(shí)y 40 14 30 x 14 =30x 14030x 140 14 x 20所求函數(shù)表達(dá)式為：y50x 140 10 x 14【注：函數(shù)解析式分段正確的前提下,定義域錯(cuò)誤最多扣2分】（2）由頻率分布直方圖得:海鮮需求量在區(qū)間10,12的頻率是f10.05海鮮需求量在區(qū)間12,14的頻率是0.1海鮮需求量在區(qū)間14,16的頻率是f30.150.30 ;海鮮需求量在區(qū)間16,

20、18的頻率是0.120.24 ；海鮮需求量在區(qū)間18,20的頻率是0.080.16 ；【注：寫對任意2個(gè)得1分，全部寫對得2分】這50天商店銷售該海鮮日需求量的平均數(shù)為：x XiflX2 f2 X3 f3 X4f4X f5 8 分110.113 0.2 15 0.30170.2419 0.16 9 分15.32 (公斤) 10 分當(dāng)x 14時(shí)，y 560 , 由此可令30x 140 620,得x 16 11分12分所以估計(jì)日利潤不少于620元的概率為 0.120.082 0.4 .20.（本小題滿分12分）【解析】（1） f x的定義域?yàn)?0,當(dāng)a 1時(shí),.， 1f x lnx 1 1 分x1

21、1由f ” x 0恒成立，知f x在0, 上是單倜遞增函 x x數(shù)學(xué)試題（理科）第19頁，共19頁又 f 1 ln1 1 1 0所以 f x 的零點(diǎn)是x 1 3分x aa(2) f x lnx 1 -xx令g xa 1 x ag x -x x x當(dāng)a 0時(shí)，f x 11令 f x 0 ,得 x 1 ； e lnx , d a .1 lnx x4分lnx ,一八一1令 f x 0,得 0 x 一， e上單調(diào)遞增,1 1所以f x在0,-上單調(diào)遞減，在 -,ee所以當(dāng) a 0時(shí)1值點(diǎn)，e符合題當(dāng)a 0時(shí)，g,1又 g - ae e由零點(diǎn)存在定理知,且當(dāng)X所以f所以當(dāng)即當(dāng)即當(dāng)0恒成立，所以在0,上單

22、調(diào)遞增上恰有一個(gè)零點(diǎn)x0 ，即當(dāng)0,X0 時(shí),x 在 0,x0a 0時(shí)，f0時(shí)，令g0, a 時(shí),X0,時(shí)，f x g x 0上單調(diào)遞減，在x0,上單調(diào)遞增,1 a 一 一在 一，e存在極小值點(diǎn) x0,符合題意.0,得x0;當(dāng)a, 時(shí)，g x 0x min g a2 In2 Ine2時(shí),e 2時(shí),2 ln0,a 0恒成立,在0,上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)0,a 0 時(shí)，g 1 aa1 ln 1 a 0,1 a所以g a g 1 a 0,即g x在 a,上恰有一個(gè)零點(diǎn)x1，10分當(dāng) x a,x1 時(shí)，fx g x 0；當(dāng) xx1時(shí)，fx g x 0所以當(dāng) e2 a 0時(shí)，f x存在極小值點(diǎn)xi 11分

23、2一綜上可知，a e , 時(shí)，函數(shù)f x存在極小值點(diǎn) 12分21.（本小題滿分12分）【解析】（1）由題意知：直線l ：x my E 0過定點(diǎn)（E 0）,該點(diǎn)為拋物線焦 22 '點(diǎn)。1分£聯(lián)立x my a,消去x得：y2 2px22y 2pmy p 02 分設(shè) A（x1, y1）, Bd, y2）,有 y y 2 pm,2八八y1 y2p 3 分1 pcc/2/ABx1x2x1x2pm（y1y2）2 p 2p（m 1）2 24分【注：只要學(xué)生寫出 AB =x1 x2 p即可給1分】_ 2 _ ._ .Q p 0,m 0,當(dāng) m 0 時(shí)，AB , 2p 5l '>

24、> min l分2p ,解得38p 6分3(2)證明：由已知可知直線 PM、PN的斜率存在，且互為相反數(shù)分設(shè) Md, y3), NM,y4),直線 PM 的方程為 y k(x 3) 4.216聯(lián)立 y萬X,消去x整理得：3ky2 16y 64 48k 0. 8y k(x 3) 4分又4為方程的一個(gè)根，所以4y3得丫 臂 364可得數(shù)學(xué)試題(理科)第15頁，共19頁y4163k410分kMNy3y4y3y4X3 X4322(y3 y4) 161611613 y3 y43 ( 8)11所以直線MN的斜率為定值122 322.（本小題滿分10分）【解析】（1）【解法1】由1 2cos ,2 2cos ,3 2cos 2cos2cos 2