中學代數(shù)研究張奠宙版重要概念考點

1、中學代數(shù)研究期末復習資料第一章數(shù)與數(shù)系1 按照與實體分離的程度不同，數(shù)系循著以下歷史途徑擴展： 自然數(shù)T正有理數(shù)T簡單的代數(shù)無理數(shù)T零與負有理數(shù)T復數(shù)T嚴 格的實數(shù)系2數(shù)的邏輯擴展自然數(shù)添加負數(shù)和零運數(shù)系作分式域'有理數(shù)系作柯西序列等價類實數(shù)系年2次代數(shù)擴張復數(shù)系3自然數(shù)集是一個無限集，這是人們在數(shù)學上第一次遇到的最簡單、 最直觀的無限集自然數(shù)公理系統(tǒng)利用“后繼"描述了這種無限性。4. P8P10,定理16的證明4. 為什么要引入“（T作為自然數(shù)？答：首先，盡早引入0,有利于學生對自然數(shù)的理解；其次，數(shù)0對于數(shù)的擴展來說十分重要； 最后，從集合論的角度看，把0作為自然數(shù)比較合

2、理。5數(shù)系通常包括：整數(shù)系、有理數(shù)系實數(shù)系復數(shù)系。【注意：順序不可顛倒】6數(shù)學歸納法是不是公理?答：是。數(shù)學歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理（參見皮亞諾公 理）。不是。它只是一種證明方法。因為數(shù)學歸納法是證明與自然數(shù)有尖的命題，而不是完全歸納法，它的基礎是自然數(shù)列的性質而不是邏輯公理7. 復數(shù)不能規(guī)定大小的含義是什么？答：數(shù)學上所謂大小的定義，是在 實數(shù)軸右邊的比左邊的大，而復數(shù)要引入虛數(shù)軸，在平面上表示。8. 證明任何一個有理數(shù)的平方都不等于5?證明：假設存在，設這個有理數(shù)是m/n那么m、11互質那么5n2=4n2顯然 m是5的倍數(shù)設m=5t即n2=5t2所以n也必然是5的倍數(shù)那么m/

3、n至少有 5這個質因數(shù)，這與m、n互質矛盾9. （略看）所有不是整數(shù)的有理數(shù)集是數(shù)環(huán)嗎？是數(shù)域嗎？還是既非 數(shù) 環(huán)又非數(shù)域？為什么？答：不是整數(shù)的有理集不是數(shù)環(huán)，任何數(shù)域都包含有理數(shù)域Q,所以不是數(shù)域第二章式、代數(shù)式、不等式1. P59,例 112. 學好數(shù)學和掌握好符號的運用有尖嗎？答：理性思維的基本品質之一是善于使用符號語言。我們強調數(shù)學學習的重要性，原因之一是在與數(shù)學能夠培養(yǎng)學生熟練地使用形式符號進行推理的能力，并由此提高理性思 維的品質和素養(yǎng)。3. 數(shù)學是科學的語言，符號在科學語言中的地位怎么樣？答：從歷史上看，每一個重大的數(shù)學進展都和數(shù)學符號的創(chuàng)造性運用是分不開的。數(shù)學符號語言的運用

4、，使復雜的數(shù)學推理成為可能。學會使用符號語言表述豐富的思維并用以指揮計算機進行操作，是人 類理性思維發(fā)展的必備基礎。4. 文字代表數(shù)有那幾層含義？答：文字代表數(shù)的真正價值在于文字能夠 和數(shù)字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數(shù)、對數(shù)、三角等運算， 乃至對字母進行微分、積分運算等等。5. 不等式如何分類？解不等式和證明不等式有何異同？答：不等式分為 絕對值不等式和條件不等式分為超越不等式和代數(shù)不等式分為有理 不等式（分為整式不等式和分式不等式）和無理不等式6. 證明絕對值不等式的方法？答：綜合法、分析法、放縮法、反證法、 數(shù)學歸納法等基本數(shù)學方法，配湊、拆項、換元、構造、特殊化、等分區(qū) 間、分

5、類討論等一些常用的解題技巧與策略。7. 解條件不等式要注意哪些問題？答：變形保證是等價變形，即不要丟根也不要產(chǎn)生增根；對于分式不 等式與無理不等式要注意定義域；注意區(qū)間兩端的閉與開；取交集 時不可馬虎大意，保證準確性；分情況討論時，保證全而準確，不漏不 重。第三章方程1. 方程的本質是“矢系”，而且是一個等是矣系。2. 方程在數(shù)學中的地位如何？答：許多數(shù)學的進步是隨著方程研究發(fā)展而發(fā)展的。3 .方程、函數(shù)、曲線三者尖系如何？答：方程是曲線的代數(shù)表示，曲線是方程的幾何表示（圖像）。函數(shù) 是一種特殊的方程，即一對一方程。例如：對拋物線來說，它是曲線 也是 圖形，我們可以從函數(shù)的角度研究它，也可以從

6、方程的角度研究 它但是 兩者之間是有區(qū)別的。從函數(shù)的角度看，圖形體現(xiàn)的是一種 數(shù)量尖系，它 只不過是函數(shù)的一個直觀載體；從方程的角度看，它是 從幾何特征出發(fā)， 確定它的代數(shù)尖系（即方程），用方程研究曲線，即解析幾何的思想方 法。它們雖然都體現(xiàn)了數(shù)形結合，但是體現(xiàn)的側面不同.4. 評價韋達定理的價值？答：韋達定理貫穿于中學數(shù)學的始終，它在方程論中有著廣泛的應用，是 實系數(shù)一元二次方程的重要基礎知識。它不僅可以解答方程的問題同樣也 可以解答幾何中的問題，涉及的面很廣泛。下面我們就來看一下他的具體應用。例如：用韋達定理來解決方程或方程組的問 題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用，從而使這些問題得到順

7、利的解 決；韋達定理揭示了一元二次方程的根與系數(shù)間的尖系，應用十分廣泛；韋達定理在物理學當中也充分的發(fā)揮了其本身的價值。5. 中國剩余定理的重要性何在？它與線性組合、特解通解，線性空間的“基”等數(shù)學概念有何聯(lián)系？答：中國剩余定理非常重要，其數(shù)學思想即分類統(tǒng)一思想很值得借鑒，而 且還可以推廣到其他數(shù)學領域，如抽象代數(shù)學。第四章函數(shù)1 伽利略研究拋物體的運動及自由落體運動，產(chǎn)生了函數(shù)1S=2 gt2,他明確宣稱，科學的本質是數(shù)學。2 法國數(shù)學家笛卡爾最先提出了 “變量"的概念，他在幾何學中 不僅引入了坐標，而且實際上也引入了變量，他在指出x,y是變量的同 時，還注意到y(tǒng)依賴于x而變化，這

8、就是函數(shù)思想的萌芽。3. 函數(shù)概念的三種定義：變量說對應說(映射說)、尖系說：(P95)(1) 函數(shù)的變量說定義：一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果變量y隨著x的變化而變化，那么就說x是自變量，y是因變 量，也稱y是x的函數(shù)，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，與x的值對應 的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。(2) 函數(shù)的對應說定義：設A為非空實數(shù)集，如果存在對應規(guī)律f，對A中每一個元x按照對應規(guī)律f，存在R中唯一的一個事實y與之 對應， 則稱對應規(guī)律f是定義在A上的函數(shù)，表為：f: AR。集合A稱為函數(shù) f的定義域，元x所對應的y值稱為x的函數(shù)值，表為y=f(x) &#

9、176;函數(shù)值的集合成為函數(shù)f的值域»表為f(A)，即f(A)=yly=f(x), x A R。由于x A與y R處于不同的地位，因此稱x 是自變量，y是因變量。(3) 函數(shù)的尖系說定義：在函數(shù)的定義中，對于任給的x X，貝卩存在唯一的yY與之對應，而在尖系的定義中，對于任給的x X,可以 有多于一個的元與之對應，所以說函數(shù)是一種特殊的尖系。評價：“變量說”是最樸素、最根本，也是最重要的，對于初學者更容易接受。“對應說'形式化的程度較高，對于研究函數(shù)精細性質具有一定作用。三種不同的定義，都有各自存在的理由，但是變 量說"無 論如何總是最基本的。3. 函數(shù)的本質是變量之間的矢系。4. 許多現(xiàn)實問題可以歸因于研究數(shù)量的變化過程（函數(shù)本質）。5. 函數(shù)概念的教學要從實際背景和定義兩個方面幫助學生理解函數(shù)的本 質。6. 進入高中階段，要求用兩個數(shù)集之間對應的方式來闡述函數(shù)的意義， 此時，學生需要抽象地思考，跳出函數(shù)的具體表達式的限制，把“對 應法則”作為函數(shù)概念的核心，這就