專題06概率與統(tǒng)計熱點問題理科解析版

1、122019高考數(shù)學（理）熱點問題解題策略指導系列專題06概率與統(tǒng)計熱點問題【最新命題動向】 概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立的一塊內(nèi)容，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量，該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學生的應(yīng)用意識及閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力；概率問題的核心是概率計算其中事件的互斥、對立、獨立是概率計算的核心，排列組合是進行概率計算的工具統(tǒng)計問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征；離散型隨機變量的分布列及其期望的考查是歷來高考的重點，難度多為中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計內(nèi)容的滲透，背景新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性【熱點一】隨機變量的

2、期望及綜合應(yīng)用【典例 1】（2017全國皿卷）（本題滿分12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售岀的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫 （單位：C ）有關(guān).如果最高氣溫不低于 25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20,25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于 20,需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最咼氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的

3、頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時,丫的數(shù)學期望達到最大值？【審題示例】 看到表格，想到表中最高氣溫與天數(shù)的關(guān)系及氣溫與酸奶的需求量的關(guān)系 看到一天中酸奶的需求量，想到表格中關(guān)系可求解 看到EY的最值問題，想到利用進貨量n表示EY,建立函數(shù)關(guān)系后可求解.【規(guī)范解答】(2 分)（1）由題意知，X所有可能取值為 200,300,500由表格數(shù)據(jù)知，2+1636P(X = 200) =90= 0.2, P(X = 300) = 90= 0.4 ,

4、P(X = 500) = 25；0 + 4 = 0.4 .(5分)因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4 (6分)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為 500 ,至少為 200 ,因此只需考慮200 < n < 500, .(7分)當 300 < nW 500 時，若最高氣溫不低于 25,貝U Y= 6n4n=2n ,若最咼氣溫位于區(qū)間20,25),則 丫= 6X 300 + 2(n 300) 4n= 1 200 2n若最高氣溫低于 20,貝U Y= 6 X 200 + 2(n 200) 4n= 800 2n,因此 EY = 2n X 0.4 + (1 20

5、0 2n) X 0.4 + (800 2n) X 0.2= 640 0.4n .(9分)當 200 W nv 300 時，若最高氣溫不低于 20,貝U Y= 6n4n=2n ;若最高氣溫低于20,貝 9 丫= 6 X 200+2(n 200) 4n= 800 2n ; .(11 分)因此 EY = 2n X (0.4 + 0.4) + (800 2n)X 0.2= 160 + 1.2n,所以n = 300時，丫的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元. (12分)【知識點歸類點拔】求解離散型隨機變量的期望與方差的解題模型匚二嬴L即選判斷隨機變竝的分布是特殊的類型還是Jfc 的類型甘i對于特殊的兩

6、點分布、二頂分布、超幾何分布爭；再崖性卜的期望與方盂可比直接f匕人相應(yīng)的仝式求解，而| i對于一能類舉的碗機變竝，應(yīng)先求出其分布列，:燃后代人棚應(yīng)的公式訃筒 【跟蹤訓練1】(2018全國I卷)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗岀不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗p(0vp<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 格品相互獨立.記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點po；(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合

7、格品，以(1)中確定的po作為P的值已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用. 若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX ; 以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【思維導引】(1) 先根據(jù)二項分布的概念判斷并求解相應(yīng)概率及其最值；(2) 利用離散型隨機變量的期望的性質(zhì)求解并根據(jù)概率的意義進行判斷.【解析】(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)= C2op2.(1 - p)18.因此218217217f' (p) = C2o2p(1 p) 18

8、p (1 p) = 2C2op(1 p) (1 - 10p) .(2分)令 f' (p)= 0,得 p= 0.1.當 p (0,0.1)時，f' (p)>0 ;當 p (0.1,1)時，f' (p)<0.所以f(p)的最大值點為 P0 = 0.1. .(4分)由(1)知，p= 0.1. 令丫表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知丫B(180,0.1)，X= 20 X 2+ 25Y，即 X = 40 + 25Y.所以 EX = E(40 + 25Y) = 40 + 25EY= 490. (8分) 若對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為40

9、0元.由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗. (12分)【熱點二】統(tǒng)計案例【典例2】(2019大同模擬)(本題滿分12分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費Xi和年銷售量 yi(i = 1,2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.620600SflD 5605405205004&0 I I I I I L I .34 36 3H 40 42 44 4« 48 50 52 54 56年宜倩費/干元£y7a£ (刃一工

10、滬1-12 （氣£W>2Alf 文：尤）* El3 y>工(叫個) F 146.65636,8289*8L 61 469108*8表中 IL =、w 帀 2O ±-l(給岀根據(jù)散點圖判斷， 尸a + bx與y= c+ d x哪一個適宜作為年銷售量 y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型? 判斷即可，不必說明理由 )(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.已知這種產(chǎn)品的年利潤 z與x, y的關(guān)系為z= 0.2y x.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題： 年宣傳費x= 49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？ 年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？it_S(W(

11、_；2w = e 保.2(Uju)2t-i【審題示例】 看到判斷屬于哪種回歸模型，想到散點圖的分布趨勢 看到求回歸方程，想到利用最小二乘法求回歸系數(shù) 看到預報值，想到代入回歸方程 看到利潤最大，想到利潤=收益-成本，列岀利潤表達式，利用函數(shù)性質(zhì)求最值.【規(guī)范解答】解：（1）由散點圖的變化趨勢可以判斷，y = c + djx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費型 （2）令，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.了文伽心廠夕108.8“由于d =j=68i-1c = y 一 d co = 563 68 X 6.8 = 100.6 ,所以y關(guān)于3的線性回歸方程為y = 100.6 + 68w,因此y關(guān)于x的回歸方

12、程為 y= 100.6 + 68、X 由知，當x = 49時，年銷售量 y的預報值y= 100.6 + 68 49= 576.6，年利潤 z 的預報值z = 576.6 X 0.2 49 = 66.32根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤 z的預報值"z = 0.2（100.6 + 68寸 x） x = x+ 13.6 寸x + 20.12.所以當x= 1316= 6.8.即x = 46.24時，z取得最大值. 故年宣傳費為 46.24千元時，年利潤的預報值最大. x的回歸方程類.（3 分）（7分）.（9 分）（11 分）.（12 分）【知識點歸類點拔】求解線性回歸方程的解題模型廿二二二二二二

13、二二二二二二二二二卄算 A計侏出sj.氏人的值計回歸孫數(shù)工$:_ J.i"1! r»i求方y(tǒng)r寫出線性同歸“線方爭齊益打【跟蹤訓練2）（2018全國H卷）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位:億元）的折線圖.為了預測該地區(qū) 2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y與時間變量t的兩個線性回歸模型根據(jù) 2000年至 2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為1,2,，17）建立模型：y=- 30.4 + 13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù) 據(jù)（時間變量t的值依次為1,2，7）建立模型：y = 99+ 17.5t.（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2

14、018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值；你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.【思維導引】 根據(jù)給岀的兩個模型（回歸直線方程）求2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值，再根據(jù)題中給 出的折線圖進行對照說明.【解析】：利用模型，2018年對應(yīng)t = 19，y = - 30.4 + 13.5 X 19= 226.1.利用模型，2018年對應(yīng)t= 9.A y = 99+ 17.5 X 9= 256.5. （4 分）（2）利用模型得到的預測值更可靠理由如下：（i ）從折線圖可以看岀，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y= 30.4 + 13.5t上下這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線