不定積分與定積分的各種計(jì)算方法

1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案數(shù)值分析教研室課程名稱高等數(shù)學(xué)研究授課對(duì)象授課題目第八講不定積分與定積分的各種計(jì)算方法課時(shí)數(shù)2教學(xué) 目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握不定積分與定積分的各種計(jì)算方法。重1不定積分的概念占八、 難 占八、2不定積分的計(jì)算3定積分的計(jì)算第八講不定積分與定積分的各種計(jì)算方法1.不定積分1.1不定積分的概念原函數(shù)；原函數(shù)的個(gè)數(shù)；原函數(shù)的存在性；定積分；一個(gè)重要的原函數(shù)。1.2不定積分的計(jì)算教 學(xué)(1)裂項(xiàng)積分法；(2)第一換元積分法；(3)第二1換元積分法提 綱(4)分部積分法2.定積分(1)基本積分法； 分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù)(3)利用函數(shù)的奇偶

2、性化簡(jiǎn)定積分(4)一類定積分問題教學(xué)過程與內(nèi)容教 學(xué)后 記第八講不定積分與定積分的各種計(jì)算方法一、不定積分1不定積分的概念原函數(shù)：若在區(qū)間 上F'(x) = f(x)，則稱F(x)是/(X)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)的個(gè)數(shù)：若F(x)是/(*在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則對(duì)，旳c都是/(x)在區(qū)間上的 原函數(shù)；若G(x)也是丁 在區(qū)間上的原函數(shù)，則必有 G二F(x) + c.可見，若，則/(x)的全體原函數(shù)所成集合為+ c 1 r .原函數(shù)的存在性：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)不定積分：了U)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為/X)的不定積分。記作f f (x)dx一個(gè)重要的原函數(shù)：若 f (x)在區(qū)間上連續(xù)，au

3、 1，則J f(t)dt是的一個(gè)/(打原函數(shù)。2不定積分的計(jì)算(1) 裂項(xiàng)積分法加,x4 +1X4 -1 +2. 22.例 1：(二一 x=f2dx=J(x 1+ )dx，X2 +1，X2 +1X2 +13x=x +2arctan x + C。3儷 crdxrCOS2x+sin2x.2.2例 2:22= 22 dx = (csc x+sec x)dxL cos xsin x ' cos xsin x，f dx(x2 +1)-x2.dx . dx1一例 3: J 2/ 2 +八丨 2/ 2 *八 dx J 2 一 J2 -一 -arctanx + Cx (x +1)x (x +1)1 x

4、2 ，1 +x2x(2) 第一換元積分法有一些不定積分， 將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用基本積分表求出積分。例如，求不定積分Jcos2xdx，如果湊上一個(gè)常數(shù)因子2,使成為1 1 1cos2xdx cosx *2xdxcos2xd 2x ; = _sin 2x C 2' 2 ' 2dx例4:3-xr/ 1 x=2 _1.x二 2arctan、x Cdx例5 ：:廠c111226 一x門乂畀 arctan xC1 21 -xarcta n、x例 6:'Jx(1 +x)2j 2=2 arctant d(arctant)=(arctgt) c = (arctg . x)

5、 c.t Jd'X =2(3)第二換元積分法arctaj 貞'1+t被積函數(shù)包含n，ax * b ,處理方法是令n' ax + b1=t, x(tn - b);a被積函數(shù)包含 a2x2 (a-0),處理方法是令x = si nt或 x = cost;被積函數(shù)包含- a2x2 (a-0),處理方法是令x = tant;被積函數(shù)包含' x2 -a2 (a-0),處理方法是令x = sect ;例7:計(jì)算.a2-x2dxa0第二換元積分法用于解決被積函數(shù)帶根式的不定積分，代換方法如下:ji【解】令X =asint, -2、a2 -x2 =a cost 二 a cost

6、, dx = a costdt,從而兀x篤，則tFCSi蔦，一a _x _a，且I ' a2 -x2dxa cost .a costdt = a222acos tdt =1 cos2t dt2 LaVCt=6xt2dt例8:6'丘暢M-t+ Vx +ln 1 -Vxl i '2Udxplx6 d t)dt 6,(4)分部積分法當(dāng)積分 f (x)dg(x)不好計(jì)算，但 g(x)df (x)容易計(jì)算時(shí)f (x)dg (x) = f (x)g(x) - . g(x)df (x).常見能使用分部積分法的類型，使用分部積分公式：(1) xnexdx, xnsin xdx , .

7、xn cosxdx等，方法是把ex,sin x,cosx移到d后面,分部積分的目的是降低x的次數(shù)(2) xn ln m xdx, . xn arcsin m xdx, . xn arctanm xdx等,方法是把移到d后面,分部幾分的目的是 化去 In x, arcs in x, arcta nx.x = x2ex _ ex 2xdx 二x9： x2exdx = x2de2 x2 xxxx e -2 xdx 二 x e _2(xe - e dx)二 ex(x2 _2x 2) C11一 ln x 亠 i d ln x 二xx10:nxd丄xI X丿1dx1-1 Inxd；1 (In x 1) C

8、xdx 111:(1 6x2) arctan xdx 二 arctanxd(x 2x3) =x 2xLx 2x arctan x - 2 dx 二1 x23,2x 2x arctan x-x+11n(1 + x?)+C2 2例 12： cos xdx = cosxd sin x = cosxsinx 亠 isin xdx =cos x si nx x- cos sin x=cosxcx【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察原函數(shù)和不定積分的概念以及分部積分法arcta n x例15計(jì)算 xe 3dx'(1+x2)2【說明】涉及到arcsinx,arctanx的積分一般有兩種處理方法(1)用分部積分法；(

9、2)作變量替換令arcsinx=t或arctanx=tarcta n x.【解法一】 xe 3dx = 1 (1+x2)22 xdx ,2x 1解得 cos xdx = sin 2x c.2 43 2例 13： sec xdx = secx sec xdx二 secxdtgx 二 secxtgx - tgxsecxtgxdx23=secxtgx - (sec x -1)secxdx = secxtgx - 'sec xdx 亠 i secxdx3= secxtgx In | secx tgx | - sec xdx,3 1 1解得 sec xdx secxtgx 一 ln | secx

10、 tgx | c .2 2【點(diǎn)評(píng)】以上兩例所示的通過分部積分與解方程的方法求解不定積分是一種技巧sin x例14設(shè)函數(shù)f (x)的一個(gè)原函數(shù)是,求xf (x)dx。x【解】f(x) =sin xxcosx - sin x2xxf (x)dx = xd( f (x)xcosx -sin x sin x= xf(x)_ f(x)dx=x2-arcta nx e2 1(1腫 x)22ex1ex2arcta n x1arctanx 1e dx1 x21x21e1 x2arcta n xarcta n x e3dx(1 x2)2【點(diǎn)評(píng)】：分部積分后，后面的積分計(jì)算更加困難為此我們考慮變量替換法【解法二】

11、 令 arctan x = y, x = tan yarcta n x xe2 Mx (1 x )2tan y ey sec2 y. y 1 y .dy = Jsin ye dy =?e (sin y - cosy) +Csec3 y1 arctan x e2&1 +x2【點(diǎn)評(píng)】變量替換后幾分的難度大大降低，sinyeydy是每種教材上都有的積分2.定積分定積分的計(jì)算主要用牛頓萊布尼茲公式通過不定積分計(jì)算(1)基本積分法例16：計(jì)算dx(1 5x2)1 x2【解】令x=tant，則dx二 6sec2 tdt(1 5x2 八 1x2(1 5ta n2 t)sectcOstdtJ 0cos

12、2t 5sin21jr6012-arcta n(2si nt)1 (2si nt)226 d(2sint)(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、取整函數(shù)、例 17：計(jì)算：xx -2dx3【解】Mix最大值最小值函數(shù)-2dx = J°x(2 -x)dx + J? x(x -2)dx =3例 18 計(jì)算 °maxx,1 一 xdx1114【解】°maxx,1_xdx=°2 (1一 x)dx 亠11 xdx=_25(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)定積分a0(x)dx=0f(x)dx當(dāng)f(x)是奇函數(shù) 當(dāng)f(x)是偶函數(shù)例 19 計(jì)算；(x .1 x2)2dx1I

13、1【解】1 x2)2dx=dx 2:X、1 x2dx=2+0=2)e* dx111【解】J (x + |x)e來dx= J xe"dx + J |x|edx-11.1 -=02 1xe»dx =2 -4e°-x .24 e sin x .例21計(jì)算 dx41ex【分析】被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無法利用函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)。但是積分區(qū)間是關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱的，可考慮使用化簡(jiǎn)公式的推導(dǎo)方法。i x4 e sin x4.dx-4 1 ei x4 e sin x4dx1 exx 20 e sin x _,dx41ex令x=-y，0 fxe sin xJ Jt-41ex所以【解】dx 二-y- 2,0e siny)d(-y)-y4e sin y4y dy0 1 e_y.24sin y01 eyji . 2.“sin xdy二 4 xdx'01+ex二 x4 e sinx-4 1 eXdx2. x .24 e sin