《大學物理教學1》第4章

1、大學物理學 第第4 4章章 動量和角動量動量和角動量本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：1、了解動量、角動量的概念、了解動量、角動量的概念2、掌握動量及角動量定理的內(nèi)容與應用、掌握動量及角動量定理的內(nèi)容與應用3、掌握動量守恒和角動量守恒定律、掌握動量守恒和角動量守恒定律 4、 碰撞碰撞定義定義 1、瞬時性、瞬時性 2、矢量性、矢量性 3、相對性、相對性zzyyxxmvpmvpmvp 1、質(zhì)點的動量、質(zhì)點的動量在直角坐標系中：在直角坐標系中：vmp=在國際單位制（在國際單位制（SI）千克千克米米/秒（秒（kgm/s）4.1 動量定理動量定理2、質(zhì)點系的動量、質(zhì)點系的動量nn221vmvmvmpppp1n

2、21 nnvvvmmm,.,.,2121的的質(zhì)質(zhì)點點，速速度度分分別別為為設設niiiiivmpp1一、動一、動 量量討論討論二、質(zhì)點的動量定理二、質(zhì)點的動量定理由牛頓第二定律由牛頓第二定律tpFdd tFd表示力的時間累積，叫時間表示力的時間累積，叫時間d t 內(nèi)內(nèi)合外力合外力 的沖量的沖量。FtFIdd 1）微分形式：）微分形式：2）積分形式：）積分形式： 21dtttFI若為恒力：若為恒力：tFI 1、 沖量沖量2、動量定理動量定理ptFdd 1）微分形式：微分形式：ptFdd 2）積分形式：積分形式： 2121ppttptFdd對上式積分，對上式積分，在一個過程中，質(zhì)點所受合外力的沖量

3、等于質(zhì)點動量的增量。在一個過程中，質(zhì)點所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。ptFtt 21d 動量定理的積分式動量定理的積分式即：即： 1、反映了過程量與狀態(tài)量的關(guān)系。、反映了過程量與狀態(tài)量的關(guān)系。同同向向。與與、pI 23、只適用于慣性系。、只適用于慣性系。3、動量定理分量形式、動量定理分量形式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 系統(tǒng)所受合外力的沖系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。量的增量。在直角坐標系中，動量定理的在直角坐標系中，動量定理的分量

4、式分量式為為 說明說明1) 沖力沖力 : 碰撞過程中物體間相互作用碰撞過程中物體間相互作用時間極短時間極短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往隨時間變化隨時間變化，這種力通常稱為，這種力通常稱為沖力沖力。tptpptttFFtt 121221d若沖力很大若沖力很大, 其它外力可忽略時其它外力可忽略時, 則：則：若其它外力不可忽略時若其它外力不可忽略時, 則則 是合外力的平均。是合外力的平均。F2) 平均沖力平均沖力 : 沖力對碰撞時間的平均值。沖力對碰撞時間的平均值。即：即：tpF 4、動量定理的應用、動量定理的應用 1t2toFtF 三、質(zhì)點系的動力學方程質(zhì)點系的動力學方程

5、由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：tppFFd)d(2121 N 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：個質(zhì)點組成的質(zhì)點系： NiNiiptF1i1ddtpfFmdd:1111 tpfFmdd:2222 021 ff即即質(zhì)點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化率。質(zhì)點系所受合外力等于系統(tǒng)總動量的變化率。 質(zhì)點系的動力學方程質(zhì)點系的動力學方程tpFdd 內(nèi)力可以改變一個質(zhì)點的動量，但對系內(nèi)力可以改變一個質(zhì)點的動量，但對系統(tǒng)總動量的改變無貢獻。統(tǒng)總動量的改變無貢獻。1f2F1F2m1m2f說明說明1、微分形式：、微分形式：ptFdd 動量定理的微分式動量定理的微分式 在一個過程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于

6、系統(tǒng)在在一個過程中，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)在同一時間內(nèi)動量的增量。同一時間內(nèi)動量的增量。2 、積分形式：積分形式： 2121ddppttptF由由 得：得：tpFdd 對上式積分，對上式積分，ptFItt 21d動量定理的積分式動量定理的積分式四、質(zhì)點系的動量定理四、質(zhì)點系的動量定理3 、動量定理分量形式動量定理分量形式xxttxxpptFI1221d yyttyypptFI1221d zzttzzpptFI1221d 在直角坐標系中，動量定理的分量式為在直角坐標系中，動量定理的分量式為 22dtttFI 系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的分量等于系統(tǒng)動系統(tǒng)所受合外力的沖量在某一方向上的

7、分量等于系統(tǒng)動量在該方向上分量的增量。量在該方向上分量的增量。 例題例題4-1 人在跳躍時都本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減輕與地面的人在跳躍時都本能地彎曲關(guān)節(jié)，以減輕與地面的撞擊力。撞擊力。 若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會發(fā)生什么情況？若有人雙腿繃直地從高處跳向地面，將會發(fā)生什么情況？ 解解 設人的質(zhì)量為設人的質(zhì)量為M，從高，從高h 處跳向地面，落地的速率為處跳向地面，落地的速率為v0 ，與地面碰撞的時間為與地面碰撞的時間為t ，重心下移了，重心下移了s 。由由動量定理動量定理得得：tpptttFFtt121221d設人落地后作設人落地后作勻減速運動勻減速運動到靜止，則：到靜止，則：02vst s

8、MvF220 ghv220 shMgF 設人從設人從 2m 處跳下，重心下移處跳下，重心下移 1cm，則：，則：MgshMgF200 可能發(fā)生骨折?？赡馨l(fā)生骨折。討論討論tMvF0asvv ,atvv22020設人設人的體重為的體重為70 kg70 kg，此時平均沖力，此時平均沖力： (N) 1037. 12008 . 9705 FvFmmd 解解 選取車廂和車廂里的煤選取車廂和車廂里的煤 m 和即將落和即將落 入車廂的煤入車廂的煤 d m 為研究對象。為研究對象。 取水平向右為正。取水平向右為正。 t 時刻系統(tǒng)的水平總動量：時刻系統(tǒng)的水平總動量：mvmmv 0dt + dt 時刻系統(tǒng)的水平總

9、動量時刻系統(tǒng)的水平總動量: vmmmvmv)d(d dt 時間內(nèi)水平總動量的增量：時間內(nèi)水平總動量的增量： mvmvvmmpd)d(d 由動量定理得：由動量定理得：mvptFddd )N(15003500dd vtmF 例題例題4-2 一輛裝煤車以一輛裝煤車以v = 3m/s 的速率從煤斗下面通過，每的速率從煤斗下面通過，每秒落入車廂的煤為秒落入車廂的煤為m = 500 kg。如果使車廂的速率保持不變，如果使車廂的速率保持不變，應用多大的牽引力拉車廂？應用多大的牽引力拉車廂？ （摩擦忽略不計（摩擦忽略不計)4.2 動量守恒定律動量守恒定律知，知，由由tpFdd 時時當當0 F0dd tp動量守

10、恒定律動量守恒定律, 0 iF2、 有以下幾種情況：有以下幾種情況：不受外力。不受外力。C p則：則：C11 iNiiNiivmp即即系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變。 外力矢量和為零。外力矢量和為零。1、 并不意味著每個質(zhì)點的動量是不變的。并不意味著每個質(zhì)點的動量是不變的。 CpF 時時，0注意注意3、各速度應是相對同一慣性參考系各速度應是相對同一慣性參考系。4、動量守恒定律比牛頓運動定律更基本，應用更廣泛。、動量守恒定律比牛頓運動定律更基本，應用更廣泛。常量常量 xxpF0常量常量 yypF0常常量量 zzpF0 內(nèi)力內(nèi)力 外力。外力。

11、內(nèi)力使系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點交換動量，但不影響系統(tǒng)總動量。內(nèi)力使系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點交換動量，但不影響系統(tǒng)總動量。 若系統(tǒng)所受的合外力雖然不為零若系統(tǒng)所受的合外力雖然不為零, ,但合外力在某一但合外力在某一 方向的分量為零方向的分量為零, ,則系統(tǒng)在該方向上動量守恒。即：則系統(tǒng)在該方向上動量守恒。即： 例題例題4-3 質(zhì)量為質(zhì)量為m1 ，仰角為，仰角為 的炮車發(fā)射了一枚質(zhì)量為的炮車發(fā)射了一枚質(zhì)量為m2 的的炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為炮彈，炮彈發(fā)射時相對炮身的速率為u ，不計摩擦不計摩擦。 求求 1）炮彈出口時炮車的速率）炮彈出口時炮車的速率v1 。 2）發(fā)射炮彈過程中，炮車移動的距離）發(fā)射炮彈過程中，炮車移動

12、的距離( 炮身長為炮身長為L ) 。 解解 1）選炮車和炮彈為系統(tǒng)，地面為參考系，選坐標系如圖。）選炮車和炮彈為系統(tǒng)，地面為參考系，選坐標系如圖。gm2Lu由由x 方向的動量守恒可得：方向的動量守恒可得：02211 xvmvm由相對速度：由相對速度：12vuv 得：得：12cosvuvx 0)cos(1211 vumvm gm1N水平方向不受外力，系統(tǒng)總動量沿水平方向不受外力，系統(tǒng)總動量沿 x 分量守恒。分量守恒。設炮彈相對地面的速度為設炮彈相對地面的速度為v2 。yxO車車對對地地彈彈對對車車彈彈對對地地vuv 解得：解得： cos2121ummmv “”號表示炮車反沖速度與號表示炮車反沖速

13、度與x 軸正向相反。軸正向相反。2 ）若以）若以u ( t ) 表示炮彈在發(fā)射過程中任一時刻，炮彈相對炮表示炮彈在發(fā)射過程中任一時刻，炮彈相對炮 車的速率，則此時炮車相對地面的速率車的速率，則此時炮車相對地面的速率 cos)()(2121tummmtv 設炮彈經(jīng)設炮彈經(jīng) t 秒出口，在秒出口，在 t 秒內(nèi)炮車沿水平方向移動了：秒內(nèi)炮車沿水平方向移動了： ttttummmttvS021201d)(cosd)( cos212LmmmS 例題例題4-4 光滑水平面與半徑為光滑水平面與半徑為R的豎直光滑半圓環(huán)軌道相的豎直光滑半圓環(huán)軌道相接，兩滑塊接，兩滑塊A,B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m,彈簧的倔強系數(shù)為

14、彈簧的倔強系數(shù)為k，其一端固定，其一端固定在在O點，另一端與滑塊點，另一端與滑塊A接觸，開始時滑塊接觸，開始時滑塊B靜止于半圓環(huán)軌道靜止于半圓環(huán)軌道的底端，今用外力推滑塊的底端，今用外力推滑塊A,使彈簧壓縮一段距離使彈簧壓縮一段距離x后再釋放，滑后再釋放，滑塊塊A脫離彈簧后與脫離彈簧后與B作完全彈性碰撞，碰后作完全彈性碰撞，碰后B將沿半圓環(huán)軌道上將沿半圓環(huán)軌道上升，升到升，升到C點與軌道脫離，點與軌道脫離，OC與豎直方向成與豎直方向成60，求彈簧，求彈簧被壓縮的距離被壓縮的距離x.OOABC x解：解：設滑塊設滑塊A離開彈簧時速度離開彈簧時速度為為v,在彈簧恢復原形的過程中機在彈簧恢復原形的過

15、程中機械能守恒械能守恒222121mvkx A脫離彈簧后速度不變，與脫離彈簧后速度不變，與B作完全彈性碰撞，交換速作完全彈性碰撞，交換速度，度，A靜止，靜止，B以初速以初速v沿圓環(huán)軌道上升。沿圓環(huán)軌道上升。B在圓環(huán)軌道上運動時，它與地球系統(tǒng)的機械能守恒在圓環(huán)軌道上運動時，它與地球系統(tǒng)的機械能守恒2221121)cos(mvmgRmv當滑塊當滑塊B B沿半圓環(huán)軌道上升到沿半圓環(huán)軌道上升到C C點時，滿足點時，滿足 Rmvmg2cos聯(lián)立求解可得聯(lián)立求解可得 kmgRx27 OOABC x 例題例題4-5 兩個帶理想彈簧緩沖器的小車兩個帶理想彈簧緩沖器的小車A 和和 B，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為m1

16、 、m2，B不動，不動，A 以速度以速度 與與B 碰撞，已知兩車的的倔強系碰撞，已知兩車的的倔強系數(shù)分別為數(shù)分別為k1 、k2，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多少？間的作用力為多少？ 0vA1m0vB2m2k1k解解 以兩小車為研究對象。以兩小車為研究對象。其碰撞過程中，系統(tǒng)的機其碰撞過程中，系統(tǒng)的機械能守恒；動量守恒。械能守恒；動量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛頓第三定律：由牛頓第三定律：2211xkxk 2112kxkx 聯(lián)立上式：聯(lián)立上式：)(2121122

17、101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 例題補充例題補充 質(zhì)量為質(zhì)量為M 的木塊在光滑的固定斜面上由的木塊在光滑的固定斜面上由 A 點靜點靜止下滑，經(jīng)路程止下滑，經(jīng)路程 l 到到 B 點時，木塊被一水平射來的子彈擊中點時，木塊被一水平射來的子彈擊中子彈（子彈（m、v）射入木塊中，求射中后二者的共同速度。）射入木塊中，求射中后二者的共同速度。解解 分為兩個階段：分為兩個階段：第一階段：從第一階段：從 A 運動到運動到 B，勻加速運動：，勻加速運動： sin2glvB )sin,2(202 gaalvvt 第二階段：碰撞階段第二階段：碰撞階段取木塊與子彈組成

18、的系統(tǒng)為研究對象，沿斜面方向，取木塊與子彈組成的系統(tǒng)為研究對象，沿斜面方向，內(nèi)力內(nèi)力 外力，可用動量守恒定律求近似解。外力，可用動量守恒定律求近似解。 0ixiixivmvmVmMMvmvB)(cos 可解得：可解得：mMglMmvV sin2cosgmAB lv xgMN4.3 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理一、質(zhì)心一、質(zhì)心N 個質(zhì)點組成的系統(tǒng)個質(zhì)點組成的系統(tǒng) Njimmmm.1、位矢分別為位矢分別為 Njirrrr.1、NNNcmmmrmrmrmr .212211定義：質(zhì)點系質(zhì)心的位矢定義：質(zhì)點系質(zhì)心的位矢即即對質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系對質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系 Mmrrc dx1mzy Nm

19、jmim OirMrmmrmriiNiiiNiic 11MmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐標系中：在直角坐標系中：1）幾何形狀對稱的均質(zhì)物體，質(zhì)心就是幾何對稱中心。）幾何形狀對稱的均質(zhì)物體，質(zhì)心就是幾何對稱中心。2）有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上。）有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上。三、質(zhì)心運動定理三、質(zhì)心運動定理由質(zhì)心位矢由質(zhì)心位矢Mrmriic對對 t 求導，得：求導，得：MvmMtrmtrviiiicc dddd iivmpccvMpp 質(zhì)心的動量質(zhì)心的動量等于質(zhì)點系的總動量等于質(zhì)點系的總動量 注意注意由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系2121111dd:

20、trmfFm 2222222dd:trmfFm 021 ffN 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：個質(zhì)點組成的質(zhì)點系： 22ddtrmFiii2222212121ddddtrmtrmFF )(dd22 iirmtMrmtMii)(dd22 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理caMF FFi 22ddtrMc 1f2F1F2m1m2f上一張幻燈片 例題例題4-6 一長為一長為L ，密度分布不均勻的細桿，其質(zhì)量線密度，密度分布不均勻的細桿，其質(zhì)量線密度 , 為常量，為常量，x 從輕端算起，求其質(zhì)心。從輕端算起，求其質(zhì)心。Lx0 0 解解 取細桿的左端為坐標原點，在取細桿的左端為坐標原點，在距離坐標原點為距離坐標原點為 x

21、 處取微元處取微元 d x。xLxxmddd0 LxLxmML00021dd LMxLxMmxxLc32dd002 oxmdx 例題補充例題補充 如圖所示，浮吊的質(zhì)量如圖所示，浮吊的質(zhì)量M = 20 t，從岸上吊起從岸上吊起m = 2 t的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角由由600轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到300 ，設桿，設桿長長l = 8 m，水的阻力與桿重略而不計，求浮吊在水平方向上移，水的阻力與桿重略而不計，求浮吊在水平方向上移動的距離。動的距離。 取質(zhì)心為坐標原點。設取質(zhì)心為坐標原點。設 在由在由600 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到300 時，吊車在水平方向上移動的距離為時，吊車在水平方向

22、上移動的距離為x1 ，重物移動的距離為重物移動的距離為x2 。 解解 取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究對象。由于系統(tǒng)所受的合外力為零，質(zhì)點對象。由于系統(tǒng)所受的合外力為零，質(zhì)點系的質(zhì)心保持原來的靜止位置不動。系的質(zhì)心保持原來的靜止位置不動。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在 = 60 0 時時0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266. 0)30sin60(sin001 mMmlx在在 = 30 0 時：時：0)()(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x0604.4

23、 角動量定理角動量定理 sinmvrL 大?。捍笮。悍较颍河煞较颍河捎沂致菪▌t右手螺旋定則確定。確定。SI 中中 ： kgm 2 / s質(zhì)點的角動量與質(zhì)點的角動量與參考點的選擇參考點的選擇有關(guān)。有關(guān)。定義定義:r質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點以速度在空間運動，某時刻對的質(zhì)點以速度在空間運動，某時刻對O 點點的位矢為的位矢為 ，則它，則它對對O 點的角動量點的角動量( 動量矩動量矩 ) 為為：vrxyzom vvrL一、角動量一、角動量vmrprL1）矢量性矢量性2）相對性）相對性 原點原點O 選取的不同，則位置矢量選取的不同，則位置矢量不同，角動量也不同。不同，角動量也不同。1、質(zhì)點角動量、質(zhì)點角動量

24、yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL 3） 的直角坐標系中的的直角坐標系中的分量式分量式L4）兩個特例）兩個特例做圓周運動質(zhì)點做圓周運動質(zhì)點 m 對圓心對圓心O 的角動量的角動量vmrL 2rmmvrL 大大小?。簉vOmzL方向：方向： 與與 同向，垂直于轉(zhuǎn)動平面，同向，垂直于轉(zhuǎn)動平面， 與質(zhì)點轉(zhuǎn)動繞向成與質(zhì)點轉(zhuǎn)動繞向成右手螺旋關(guān)系。右手螺旋關(guān)系。L L做做勻速率圓周運動勻速率圓周運動的質(zhì)點的質(zhì)點對圓心的角動量是恒量。對圓心的角動量是恒量。做直線運動質(zhì)點的角動量做直線運動質(zhì)點的角動量 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的質(zhì)點作直線運動。的質(zhì)點作直線運動。 vmrprL

25、 大?。捍笮。?sinmvrL 方向：由右手螺旋定則確定。方向：由右手螺旋定則確定。t時刻質(zhì)點對時刻質(zhì)點對O點的角動量為：點的角動量為：vmrprL 大?。捍笮。? sinrvmL 方向：與方向：與 同向。同向。L1）若物體作勻速直線運動，對同一參考點）若物體作勻速直線運動，對同一參考點O，則則。CL 2）若）若O 取在直線上，則：取在直線上，則：。0 L sinrt 時刻質(zhì)點對時刻質(zhì)點對O點的角動量為：點的角動量為： mpr2 ormp sinrvm 討論討論2、質(zhì)點系的角動量、質(zhì)點系的角動量 iLL)( iipr質(zhì)點系的角動量等于質(zhì)點系的角動量等于各質(zhì)點對同一參考點的角動量的矢量和。各質(zhì)點

26、對同一參考點的角動量的矢量和。iiiprL 二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理1、力矩、力矩FdFrM sin1）大小：）大?。?，d 為力臂。為力臂。方向：由方向：由右手螺旋定則右手螺旋定則確定。確定。 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點在力的質(zhì)點在力 的作用的作用下作曲線運動。力下作曲線運動。力 對參考點對參考點O 的的力矩力矩 為為:FFMFrMSI 中中 ：NmOr MF sinr2）在直角坐標系中）在直角坐標系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 3）相對性：依賴于參考點）相對性：依賴于參考點O 的選擇。的選擇。zyxFFFzyxkjiFr niFrFrFrM 214）

27、作用于質(zhì)點的）作用于質(zhì)點的合外力矩等于合外力的力矩。合外力矩等于合外力的力矩。MFrFFFrn 合合)(212、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理prL 將角動量將角動量 對時間求導，可得：對時間求導，可得：tPrPtrdddd FrPv )(ddddPrttLtLFrMdd 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。FrtL dd0 pv微分形式微分形式LtMdd 積分形式積分形式 2121ddttLLtML 21dtttML角動量定理角動量定理質(zhì)點角動量的增量等于質(zhì)點受到的角沖量。質(zhì)點角動量的增量等于質(zhì)點受到

28、的角沖量。 21tttM d 表示作用于質(zhì)點上的力矩在（表示作用于質(zhì)點上的力矩在（t 2t 1）內(nèi)的內(nèi)的時間積累效應，稱為力矩的時間積累效應，稱為力矩的角沖量角沖量或或沖量矩。沖量矩。 例題例題4-8 質(zhì)量為質(zhì)量為m、線長為線長為l 的單擺，可繞點的單擺，可繞點O 在豎直平面在豎直平面內(nèi)擺動，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求內(nèi)擺動，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求: : 擺線擺線與水平線成與水平線成角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)cO 的角動量；的角動量； 擺球到達點擺球到達點 B 時，角速度的大小。時，角速度的大小。解解 任意位置時受力為：重力；

29、張力。任意位置時受力為：重力；張力。由由角動量定理角動量定理 cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬時角動量瞬時角動量：gm重力對重力對O 點的力矩：點的力矩： cosmglM 方向：方向：張力對張力對O 點的力矩為零。點的力矩為零。 ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBATr sin232glmL 。點點時時，當當小小球球到到達達2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 olBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL 三、質(zhì)點系的角動量定理三、質(zhì)點系的角動量定理 )(ddddiiprttL )dd

30、dd(tprptriiii )()(iiiifrFr )(iiifFr質(zhì)點系所受的合外力矩質(zhì)點系所受的合外力矩 質(zhì)點系所受的合內(nèi)力矩質(zhì)點系所受的合內(nèi)力矩 質(zhì)點系角動量質(zhì)點系角動量的時間變化率的時間變化率 微分形式微分形式LtMdd 質(zhì)點系所受的質(zhì)點系所受的合外力矩合外力矩等于系等于系統(tǒng)角動量對時間變化率統(tǒng)角動量對時間變化率 。tLMdd 積分形式積分形式LtMtt21d 質(zhì)點系角動量的增量等質(zhì)點系角動量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。tL/dd 只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，只取決于系統(tǒng)所受的外力矩之和，而與內(nèi)力矩無關(guān)，內(nèi)力矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點而與內(nèi)力矩無關(guān)，內(nèi)力矩只改

31、變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的角動量，但不影響系統(tǒng)的總角動量。的角動量，但不影響系統(tǒng)的總角動量。說明說明ijifrM 作用力與反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。作用力與反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。0 MMOijfirjifd jr )(ddiiFrtL)( iiFrM令令 設第設第 i 個質(zhì)點與第個質(zhì)點與第 j 個質(zhì)點個質(zhì)點之間的相互作用力分別為：之間的相互作用力分別為：jiijff和和 兩質(zhì)點相對參考點兩質(zhì)點相對參考點的位置的位置矢量分別為：矢量分別為：jirr和和jijfrM 則兩個力對參考點的力矩為則兩個力對參考點的力矩為dfMij 大?。捍笮。篸fdfMijij 大?。捍笮。悍较颍悍较颍悍?/p>

32、向：方向：4.5 角動量守恒定律角動量守恒定律一、一、 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律若質(zhì)點所受的合力矩若質(zhì)點所受的合力矩。，則則CLtL,M0dd0 若對某一參考點，質(zhì)點所受外力矩的矢量和恒為零，則若對某一參考點，質(zhì)點所受外力矩的矢量和恒為零，則此質(zhì)點對該參考點的角動量保持不變。此質(zhì)點對該參考點的角動量保持不變。 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動時，相對地球的角動量守恒。例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動時，相對地球的角動量守恒。1、孤立體，、孤立體，。外外外外0, 0 iiMf2、有心力，、有心力， 與位矢與位矢 在同一直線上，從而在同一直線上，從而 。外外

33、fr0 外外fr3、當作用在質(zhì)點上的合外力矩對某一方向的分量為零時，、當作用在質(zhì)點上的合外力矩對某一方向的分量為零時， 則質(zhì)點的角動量沿此方向的分量守恒。則質(zhì)點的角動量沿此方向的分量守恒。則則例例：若若CLMxx ,0討論討論 rr |rr|S 21|rr |S 21 解解 如圖，行星在太陽引力作如圖，行星在太陽引力作用下沿橢圓軌道運動，用下沿橢圓軌道運動，t時間內(nèi)行時間內(nèi)行星徑矢掃過的面積星徑矢掃過的面積常常量量常常量量， tSLdd由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角動量守恒角動量守恒sin21rrS 例題例題4-9 利用角動量守恒定律證明開普勒第二定律：行星相利用角動量

34、守恒定律證明開普勒第二定律：行星相對太陽的徑矢在單位時間內(nèi)掃過的面積對太陽的徑矢在單位時間內(nèi)掃過的面積( (面積速度面積速度) )是常量。是常量。|trr |t|rr |tStdd2121limlimddS0t0t 面積速度面積速度: :mL|vmr |m|vr |22121 FFrv 例題補充例題補充 用繩系一小球使它在光滑的水平面上作用繩系一小球使它在光滑的水平面上作勻速率勻速率圓圓周運動，周運動， 其半徑為其半徑為r0 ，角速度為，角速度為 ?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當半徑縮為地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當半徑縮為r 時小球的角速度。時小

35、球的角速度。0 解解 選取平面上繩穿過的小孔選取平面上繩穿過的小孔O為原點。為原點。 0=FrM所以小球?qū)λ孕∏驅(qū) 點的點的角動量守恒角動量守恒。00rmvmvr 000 rvrv 0202 mrmr 0220 rr 因為繩對小球的的拉力因為繩對小球的的拉力 沿繩指向小孔，沿繩指向小孔，則力則力 對對O 點的力矩點的力矩：CLM 時時，0二、質(zhì)點系的角動量守恒定律二、質(zhì)點系的角動量守恒定律 角動量守恒定律角動量守恒定律 質(zhì)點系不受外力矩作用或所受外力矩對某參考點的力矩質(zhì)點系不受外力矩作用或所受外力矩對某參考點的力矩之和為零時，質(zhì)點系對該點的角動量守恒。之和為零時，質(zhì)點系對該點的角動量守恒。

36、1）質(zhì)點系中各質(zhì)點不受外力。）質(zhì)點系中各質(zhì)點不受外力。合外力矩等于零可以分三種情況：合外力矩等于零可以分三種情況： 2）質(zhì)點系中各質(zhì)點受的外力都通過參考點。各質(zhì)點受的）質(zhì)點系中各質(zhì)點受的外力都通過參考點。各質(zhì)點受的外力對參考點的力矩都為零，合外力矩必定等于零。外力對參考點的力矩都為零，合外力矩必定等于零。3）各質(zhì)點受的外力對參考點的力矩不為零，但它們的矢）各質(zhì)點受的外力對參考點的力矩不為零，但它們的矢量和為零。量和為零。 合外力為零不一定合外力矩等于零！合外力為零不一定合外力矩等于零！說明說明 例題例題 質(zhì)量為質(zhì)量為M，長為長為l 的均勻細桿，可繞垂直于棒一端點的的均勻細桿，可繞垂直于棒一端點

37、的 軸軸O 無摩擦地轉(zhuǎn)動。若細桿豎直懸掛，現(xiàn)有一質(zhì)量為無摩擦地轉(zhuǎn)動。若細桿豎直懸掛，現(xiàn)有一質(zhì)量為m 的彈性的彈性小球飛來，與細桿碰撞，問小球與細桿相碰過程中，球與桿小球飛來，與細桿碰撞，問小球與細桿相碰過程中，球與桿 組組成的系統(tǒng)的動量是否守恒？對于過成的系統(tǒng)的動量是否守恒？對于過 O點的軸的角動量是否守恒？點的軸的角動量是否守恒？F合外力不為零，則系統(tǒng)的動量不守恒。合外力不為零，則系統(tǒng)的動量不守恒。合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒。合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒。守恒條件：守恒條件：00 iiMF不不等等價價0 iF0 iM例例:1F2F0 iF0 iM1F2FovmLM NgMgmORR

38、1r2r1v2v1 2 221121vmrvmrLLL 例題例題4-11 兩人質(zhì)量相等兩人質(zhì)量相等, ,位于同一高度，各由繩子一端開始位于同一高度，各由繩子一端開始爬繩，爬繩， 繩子與輪的質(zhì)量不計，軸無摩擦。他們哪個先達頂？繩子與輪的質(zhì)量不計，軸無摩擦。他們哪個先達頂？ 解解 選兩人及輪為系統(tǒng)，選兩人及輪為系統(tǒng)，O 為參考點，取垂直板面向外為正。為參考點，取垂直板面向外為正。系統(tǒng)所受外力如圖。系統(tǒng)所受外力如圖。 產(chǎn)生力矩的只有重力。產(chǎn)生力矩的只有重力。21MMM 外外gmrgmr 212211sinsin mgrmgrM 0)( RmgmgNgmgm222111sinsin rmvrmvL )

39、(21RmvRmv 系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則系統(tǒng)所受的合外力矩為零，則角動量守恒角動量守恒。012 RmvRmv12vv 即兩人同時到達頂點。即兩人同時到達頂點。mm20v 例題例題4-12 如圖所示，靜止在水平光滑桌面上長為如圖所示，靜止在水平光滑桌面上長為L L的輕質(zhì)細桿的輕質(zhì)細桿和和的小球，系統(tǒng)的小球，系統(tǒng)的小球的小球 l/3 /3 處的處的O O點在水平面桌面上轉(zhuǎn)動點在水平面桌面上轉(zhuǎn)動的小球以水平速度的小球以水平速度沿和細桿垂直方向與沿和細桿垂直方向與的小球作對心碰撞，碰后以的小球作對心碰撞，碰后以求碰后細桿獲得的角速度求碰后細桿獲得的角速度 （質(zhì)量忽略不計）兩端分別固定質(zhì)量為（質(zhì)量

40、忽略不計）兩端分別固定質(zhì)量為可繞距質(zhì)量為可繞距質(zhì)量為m2今有一質(zhì)量為今有一質(zhì)量為m質(zhì)量為質(zhì)量為m0v/ 2 2的速度返回，的速度返回， 解解 取三個小球和細桿組成的系統(tǒng)，取三個小球和細桿組成的系統(tǒng)，O O點為參考點，各點為參考點，各系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)所受的合外力矩為零。矩為零。所以，系統(tǒng)的角動量守恒。所以，系統(tǒng)的角動量守恒。 2032mllmv lv23 3223200lvm)l(m)lm(lmv223232解解 取小球與地球為系統(tǒng)，機械能守恒取小球與地球為系統(tǒng)，機械能守恒。RMmGmvRMmGmv3212102020由角動量守恒得由角動量守恒得 sinRmvRmv30聯(lián)立解得聯(lián)立解得002

41、0129sinvMGRvR 129arcsin0020vMGRvR 例題例題4-13 質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球的小球A,以速度以速度v0沿質(zhì)量為沿質(zhì)量為M半徑為半徑為R的的地球表面切向水平向右飛出，地軸地球表面切向水平向右飛出，地軸OO 與與v0平行，小球平行，小球A的運的運動軌道與軸動軌道與軸OO 相交于點相交于點C,OC=3R,若不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空若不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求小球氣阻力，求小球A在點在點C的速度與的速度與OO軸之間的夾角軸之間的夾角。AmMRoo0vCv 4.6 碰碰 撞撞一、碰撞及其分類一、碰撞及其分類完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞 碰撞后粘在一起，不再分開，以相同的碰撞

42、后粘在一起，不再分開，以相同的 速度運動，機械能損失最大。速度運動，機械能損失最大。1、碰撞：物體之間相互作用時間極短的現(xiàn)象。、碰撞：物體之間相互作用時間極短的現(xiàn)象。不一定不一定接觸接觸2、碰撞的特點：、碰撞的特點：t 極短，內(nèi)力極短，內(nèi)力 外力外力3、碰撞分類、碰撞分類 彈性碰撞彈性碰撞 碰撞后形變消失，無機械能損失。碰撞后形變消失，無機械能損失。非彈性碰撞非彈性碰撞 碰撞后形變不能完全恢復，部分機械能碰撞后形變不能完全恢復，部分機械能 變成內(nèi)能。變成內(nèi)能。無外力：動量守恒無外力：動量守恒 （質(zhì)點對質(zhì)點）（質(zhì)點對質(zhì)點）無無外力矩：角動量守恒（質(zhì)點對定軸轉(zhuǎn)動的剛體）外力矩：角動量守恒（質(zhì)點對定

43、軸轉(zhuǎn)動的剛體）二、守恒定律與碰撞二、守恒定律與碰撞質(zhì)點與質(zhì)點的碰撞質(zhì)點與質(zhì)點的碰撞動量守恒；動量守恒；質(zhì)點與非定軸轉(zhuǎn)動剛體碰撞，動量守恒，相對質(zhì)心的角動質(zhì)點與非定軸轉(zhuǎn)動剛體碰撞，動量守恒，相對質(zhì)心的角動量守恒；機械能是否守恒，與碰撞種類有關(guān)，只有彈性碰量守恒；機械能是否守恒，與碰撞種類有關(guān)，只有彈性碰撞時，機械能守恒。撞時，機械能守恒。質(zhì)點與定軸轉(zhuǎn)動剛體碰撞，因轉(zhuǎn)軸沖力的作用，動量不守質(zhì)點與定軸轉(zhuǎn)動剛體碰撞，因轉(zhuǎn)軸沖力的作用，動量不守恒，但角動量守恒；恒，但角動量守恒；1m2mv三、正碰三、正碰 兩個小球相互碰撞，如果碰后的相對運動和碰前的相對運兩個小球相互碰撞，如果碰后的相對運動和碰前的相對

44、運動是沿同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或?qū)π呐鲎?。動是沿同一條直線的，這種碰撞稱為正碰或?qū)π呐鲎病?、碰撞定律、碰撞定律 設兩個質(zhì)量分別為設兩個質(zhì)量分別為m1、m2的小球的小球，碰撞前兩球的速度分碰撞前兩球的速度分別為別為v10 、v20 ，碰撞后兩球的速度分別為碰撞后兩球的速度分別為v1 、v2 。10v1m20v2m1v1m2v2m2f2m1f1m牛頓認為牛頓認為 碰撞后的碰撞后的分離速率分離速率 與碰撞前兩球的與碰撞前兩球的接近接近 速率速率 成正比，比值由兩球的材料決定：成正比，比值由兩球的材料決定：12vv 2010vv 201012vvvve e 稱為恢復系數(shù)稱為恢復系數(shù) e = 1 時，為彈性碰撞；時，為彈性碰撞； e = 0 時為完全非彈性碰撞，時為完全非彈性碰撞， 0 e 1 時，為一般非彈性碰撞。時