從Fourier級(jí)數(shù)到Fourier變換.

1、從Fourier級(jí)數(shù)到Fourier變換一、級(jí)數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際需求：引例：一根單位長(zhǎng)的木棍，每日截去一半，現(xiàn)在來(lái)看逐日所截下的長(zhǎng)度。 如：十日內(nèi)累計(jì)共截下的長(zhǎng)度111s10 21 22 23 L一般地，n日內(nèi)累計(jì)共截下的長(zhǎng)度1111sn TT T2 73 L Tn2 2 221歹，如此無(wú)限地繼續(xù)下去，累計(jì)共截下的長(zhǎng)度表示為1 111S2飛LL21 22232n因?yàn)檫@根木棍總也截不完，所以截下來(lái)的累計(jì)長(zhǎng)度就是無(wú)窮個(gè)數(shù)相加的和。 我們無(wú)法把無(wú)窮個(gè)數(shù)加起來(lái)，時(shí)，和數(shù)丄雖然 但是按照近代極限的觀點(diǎn)，逐日所截下的累計(jì)長(zhǎng)度就等于當(dāng)n2的極限，即lim sn lim(1nn對(duì)于這類無(wú)窮多個(gè)數(shù)的求和問題，有下面的

2、定義: 定義1設(shè)給定一個(gè)數(shù)列UiU2 U3U1U2U3 LUn L稱為無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù),記作Un，即Un， L，則表達(dá)式Unn 1U1 U2 U3Un其中，第n項(xiàng)Un稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng) 簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；Un是函數(shù)的級(jí)數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?；蛲?xiàng)。(5.1)Un是常數(shù)的級(jí)數(shù)稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都處于重要地位, 這是因?yàn)椋阂环矫婺芙柚?jí)數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù)，微分方程的解就常 用級(jí)數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級(jí)數(shù)，從而借助級(jí)數(shù)去研究函數(shù)，例如 用幕級(jí)數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計(jì)算等。二、FoUrier級(jí)數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)性質(zhì)1局部性定理函數(shù)f(x)的F

3、ourier級(jí)數(shù)在x點(diǎn)的收斂和發(fā)散情況，只和f(x)在這一點(diǎn)的充分鄰近區(qū)域的值有關(guān)。 性質(zhì)2可積和絕對(duì)可積函數(shù)的Fourier系數(shù)an ,bn趨向于零，即1lim f (x) cos nxdx 0 , n1lim f (x)sinnxdx 0 on性質(zhì)3積分* 10nlim1 0.2n 1Sinu(u)2 3 4 5du , c - u 2sin-21、. 2n -)sin u.2n 1sinu(u)¥du的收斂情況相同，即2u這里(u)(- 2sinu 2(u) f(x1-udu 0 o2u) f (x u) 2s o從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。 它能將滿

4、足一定條比如近代原子件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里自然界的許多現(xiàn)象都具有周期性或重復(fù)性，因此用周期函數(shù)來(lái)逼近它們就極具意義.例如，心臟的跳動(dòng)、肺的運(yùn)動(dòng)、給我們居室提供動(dòng)力的電流、電子信號(hào)技術(shù)中常見的方 波、鋸齒形波和三角波以及由空氣分子的周期性振動(dòng)產(chǎn)生的聲波等等都屬于周期現(xiàn)象，它們的合成與分解都大量用到三角級(jí)數(shù)三、從Fourier級(jí)數(shù)到Fourier變換 傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)的是周期函數(shù)，傅里葉變換針對(duì)的是非周期函數(shù)，本質(zhì)上都是一 種把信號(hào)表示成復(fù)正選信號(hào)的疊加， 都有相似的特性，因?yàn)閮煞N傅里葉表示都利 用了復(fù)正選信號(hào)，這些特性提供了一種透徹了解時(shí)域和頻域信號(hào)

5、表示的特征的方 法。四、Fourier變換的應(yīng)用眾所周知，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)作為較Taylor級(jí)數(shù)復(fù)雜的一類特殊的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，是繼 Taylor級(jí)數(shù)之后，形成了在理論上以及在許多應(yīng)用方面，如在電學(xué)、力學(xué)、聲學(xué)、 熱力學(xué)等物理學(xué)及工程技術(shù)中，都極為重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，它同Taylor級(jí)數(shù)一樣 是研究函數(shù)的一個(gè)有力工具。弦振動(dòng)方程的初邊值問題的Fourier方法 考察波動(dòng)方程的初邊值問題：2 2u 2 ut 0: u（X）,0:ul :u2 f(X,t) Xf (X)00利用疊加原理,2()t 0：Ui上述初邊值問題可以分解為下面兩個(gè)初邊值問題:2aTXu12u22at2(X), tX 0和 X l

6、 :u1（X）0: u22u2V f(x,t) Xu20 0tl : u20a而且顯然有u u1 u2.對(duì)于問題（），應(yīng)用Fourier方法可以得到通解為u(x,t)(Akcos-at Bksiin kk 1lllA2 ' ,、. kAk7 0 ( )sin r d其中丨丨Bk2 ik0 ( )sin d k a 0l這就是用Fourier級(jí)數(shù)表示的初邊值問題（）的解。葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅立葉變換屬于調(diào)和分析的內(nèi)容。"分析"二字，可以解釋為深入的研究。從字面 上來(lái)看，"分析"二字，實(shí)際就是"

7、條分縷析"而已。它通過對(duì)函數(shù)的"條分縷析" 來(lái)達(dá)到對(duì)復(fù)雜函數(shù)的深入理解和研究。從哲學(xué)上看， "分析主義"和"還原主義"， 就是要通過對(duì)事物內(nèi)部適當(dāng)?shù)姆治鲞_(dá)到增進(jìn)對(duì)其本質(zhì)理解的目的。論試圖把世界上所有物質(zhì)的本源分析為原子，而原子不過數(shù)百種而已，相對(duì)物質(zhì)世界的無(wú)限豐富，這種分析和分類無(wú)疑為認(rèn)識(shí)事物的各種性質(zhì)提供了很好的手段。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具， 但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過一 定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合

8、的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似！ 奇妙 的是,現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅立葉變換具有非常好的性質(zhì)，使得它如此的好用和有用，讓 人不得不感嘆造物的神奇：1.傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；2.傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3.正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化 為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì)， 從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲?。?.著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算 ， 從而