全等三角形中做輔助線總結(jié)材料

1、實(shí)用文檔全等三角形中做輔助線技巧要點(diǎn)大匯總口訣：三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線.也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線,等腰三角形來(lái)添.角平分線加垂線,三線合一試試看 線段垂直平分線,常向兩端把線連.線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn) 線段和差不等式,移到同一三角去.三角形中兩中點(diǎn),連接那么成中位線 三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線.一、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線,可向兩邊作垂線.也可將圖對(duì)折看,對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn) 角平分線平行線,等腰三角形來(lái)添.角平分線加垂線,三線合一試試看.角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相 等.對(duì)于有角平分線的輔助線

2、的作法,一般有兩種.從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線,構(gòu)造對(duì)稱圖形如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊.通常情況下,出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí),一般考慮作垂線；其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形.至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形和條件.與角有關(guān)的輔助線一、截取構(gòu)全等如圖1-1 , /AOC=BOC如取OE=OF并連 接DE DF,那么有OEDiOFD從而為我們證 明線段、角相等創(chuàng)造了條件.例1. 如圖 1-2, ABZ/CD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD點(diǎn)E在AD上,求證：BC=AB+CD例2. ：如圖 1-3, AB=2AC /BAD= / CAD DA=DB 求證 DC! AC標(biāo)

3、準(zhǔn)文案例3. ：如圖1-4,在AABC中,/ C=2Z B,AD平分/ BAG求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線,在證實(shí) 中還要用到構(gòu)造全等三角形,此題還是證實(shí)線段的 和差倍分問(wèn)題.用到的是截取法來(lái)證實(shí)的,在長(zhǎng)的 線段上截取短的線段,來(lái)證實(shí).試試看可否把短的 延長(zhǎng)來(lái)證實(shí)呢？練習(xí)1. 在 ABC中,AD平分/ BAC /B=2/C,求證：AB+BD=AC2. ：在 ABC中,/CAB=2B, AE平分/ CA皎 BC于 E, AB=2AC求證：AE=2CE3. ：在 ABC中,AB>AC,AN/ BAC的平分線,M為AD上任一點(diǎn)求證：BM-CM>AB-AC4. ：

4、D是4ABC的/BAC勺外角的平分線AD上的任一點(diǎn),連接DBDC 求證：BD+CD>AB+AC二、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線, 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證實(shí)圖2-1問(wèn)題.例1.如圖 2-1 , AB>AD, / BAC= FAC,CD=BC求證：/ ADC廿 B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線.近而證/ ADC 與/B之和為平角.例2.如圖 2-2,在 ABC中,/A=90 , AB=AC / ABDW CBD求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作Dn BC于E,那么AD=DE=GE那么構(gòu)造出 全等三角形,從而得證.此題是證實(shí)

5、線段的和差倍分問(wèn)題, 從中利用了相當(dāng)于截取的方法.例3.如圖2-3, ABC的角平分線 BM CN相交于點(diǎn)P.求證：/ BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.分析：連接AP,證AP平分/ BAC即可,也就是證P到ARAC的距離相等.練習(xí):1.如圖 2-4/AOPW BOP=15 , PC/OA, PDL OA,圖2-4如果 PC=4 貝U PD=()A 4 B 3 C 2 D 12,在ABCt, / C=90 , AD 平分 / CAB CD=1.5,DB=2.5.求 AC3,：如圖 2-5, /BACW CAD,AB>A D CH AB,1AE=2 AB+AD .求證：/ D+/ B=180 .4

6、.：如圖2-6,在正方形ABCLfr, E為CD的中點(diǎn), F為BC 上的點(diǎn),/ FAE之DAE求證：AF=AD+CF5. ：如圖 2-7,在 RtABC中,/ACB=90 ,CDL AB,垂足為D, AE平分/ CAB交CD于F,過(guò)F作FH/AB交BC于H.求證C圖2-7三：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,那么截得一個(gè)等腰三角形,垂足為底邊上的中點(diǎn), 該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì).如果題目中有垂直于角平分線的線段,那么延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交.例1. ：如圖 3-1 , / BADW D

7、AC AB>AC,CD_AD于 D, H是 BC中點(diǎn).一一 1一求證：DH= AB-AQ 2分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,那么可得全等三角形.問(wèn)題可證例2.：如圖 3-2, AB=AC / BAC=90 , AD為/ A圖3-2F=BHBC的平分線,CE! BE.求證：BD=2CE例3.：如圖3-3在4ABC中,AD. AE分別/ BAC的內(nèi)、外角平分線,N 圖 3-3AD=AB CML AD 交 AD過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)求證：AM=ME分析：由AD AE是/BAC內(nèi)外角平分線,可得EA ,AF,從而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等.例4.：如圖3-

8、4,在4ABC中,AD平分/ BAC1_ 一延長(zhǎng)線于 M 求證：AM= (AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換,作 AB1 一 一C圖3-4D關(guān)于AD的對(duì)稱4AED然后只需證DMEC另外 a1由求證的結(jié)果AM= (AB+AC,即2AM=AB+AC也可 2嘗試作 AC岷于CM勺對(duì)稱 FCM然后只需證DF=C'F即可.練習(xí)：1. ：在 ABC中,AB=5 AC=3 D是BC中點(diǎn),AE是/ BAC的平分 線,且CELAE于E,連接DE,求DE2. BE、BF分別是4ABC的/ ABC的內(nèi)角與外角的平分線, AF±BF于F, AE1 BE于E,連接E

9、F分別交 AB AC于M N,求證MN=1 BC 2四、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí),常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線, 從而構(gòu)造等腰 三角形.或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交,從而也構(gòu)造等腰三角形.如圖4-1和圖4-2所示.圖4-1圖4-2例 4 如圖,AB>AC,/1 = /2,求證：AB-AC>BD-CD例 5 如圖,BC>BA BD 平分/ABC 且 AD=CD 求證：/ A+/ C=18Q例 6 如圖,AB/ CD AE DE分另I平分/ BAD&/ ADE 求證：AD=AB+CDB練習(xí):1 .,如圖,/

10、C=2Z A, AC=2BC求證： ABCg直角三角形.2,：如圖,AB=2AC /1=/ 2, DA=DB 求證：DCLAC3.CE AD是ABC勺角平分線,/ B=60° ,求證:4,：如圖在 ABC中,/A=90° , AB=AC BD是/ ABC勺平分線,求證：BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半,延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn).線段和差不等式,移到同一三角去.遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí),一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法:1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證實(shí)剩下局部等 于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)局部等于另一條短線段,然后證實(shí)新

11、線 段等于長(zhǎng)線段.對(duì)于證實(shí)有關(guān)線段和差的不等式,通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第 三邊、之差小于第三邊,故可想方法放在一個(gè)三角形中證實(shí).一、在利用三角形三邊關(guān)系證實(shí)線段不等關(guān)系時(shí),如直接證不出來(lái),可 連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中, 再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證實(shí),如：例1、 如圖1-1: D、E為4ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證實(shí)：(法一)將DE兩邊延長(zhǎng)分別交 AB AC于M N,在AlW, AM+AN>MD+DE+N日;)在ABDh/l, MB+MD>BD2)在CENfr, CN+NE>CE(3) 由(

12、1) + (2) + (3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB+AC>BD+DE+EC(法二：圖 1-2)延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G 在AABFffi GFCffi 仃口即有：AB+AF>BD+DG+GE角形兩邊之和大于第三邊)(DGF+FC>GE+CE上)(2)DG+GE>D 加上)(3) 由(1) + (2) + (3)得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE.AB+AC>BD+DE4o ECBC在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí),可連接

13、兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在 某個(gè)三角形的外角的位置上,小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上, 再利用外角定 理:例如：如圖2-1:D為 ABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證：/ BDC>/BAC.分析：由于/ BDC與/BAC不在同個(gè)三角形中,沒(méi)有直接的聯(lián)系,可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形,使/ BDC處于在外角的位置,/ BAC處于在內(nèi)角 的位置；證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/ BDC®/XEDCC勺外角,/ BDC> DEC 同理/ DEC> BAC / BDC> BAC證法二：連接AD并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/ BD支4ABD的 外角, ./ BDF/

14、BAD 同理,C CDF/ CAD . . / BDF+/ CDF/ BAD廿 CAD 即：/ BDC1 BAC注意：利用三角形外角定理證實(shí)不等關(guān)系時(shí),通常將大角放在某三角形的外 角位置上,小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上,再利用不等式性質(zhì)證實(shí).有角平分線時(shí),通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,如:例如：如圖3-1:AD為 ABC的中線,且/1 =/ 2,/3=/4,求證：BE+CF>EF.分析：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定 理證實(shí),須把BE, CF, EF移到同一個(gè)三角形中,而由/ 1 = /2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊

15、相等,把EN, FN, EF移到同個(gè)三角形中.證實(shí)：在DNL1截取DN=DB連接NE NF,貝U DN=DC在DBEffi 4NDE 中:f DN=DB輔助線作法 /1 = /2 ED=ED公共邊. .DB陷 ANDE SAS . BE=NE全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等同理可得：CF=NF在ZXEFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>E F注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí),常可考慮在角的兩邊截取相等的線段, 構(gòu)造全 等三角形,然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素.三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線.例如：如圖6-1:在ABC, AB>AC /1=/ 2, P為AD上 任一點(diǎn)求證：A

16、B-AC>PB-RC分析|要證：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系,定理證之,由于 欲證的線段之差,故用兩邊之差小于第三邊,從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC彳# AB-AC=BN再連接PN那么PC=PN又在 PNB中, PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證實(shí)：截長(zhǎng)法在 AB上截取 AN=ACi接 PN,在AAPNffnAAPC'AN=AC輔助線作法 1=/ 2 AP=AP公共邊 .AP*AAPCSAS ,PC=PN全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 在 BPN,有PB-PN<BN三角形兩邊之差小于第三邊BP-PC<AB-A

17、C證實(shí)：補(bǔ)短法延長(zhǎng)AC至M 使AM=AB連接PM在 AB所口 AAMP,AB=AM輔助線作法/ 1=/ 2 AP=AP公共邊.AB% A AMP SAS. PB=PM全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等AB-AC>PB-P C例 1.如圖,AC平分/ BAD CE!AB,且/ B+/ D=180,求證：AE=AD+BEe rCB又.在 PCW有：CM>PM-PC角形兩邊之差小于第三邊求證：/ ADC廿 B=18Gb例2如圖,在四邊形 ABCg, AC平分/BAD CH AB于E, AD+AB=2A E例3：如圖,等腰三角形 ABC中,AB=AC/A=108° , BD平分/ABC求證：B

18、C=AB+D C例4如圖, RtABC中,/ACB=90 , AD是/ CAB的平分線,DMLAB1于 M 且 AM=MB求證：CD=2 DRC【夯實(shí)根底】 例：AABC中,AD是/BAC的平分線,且BD=CD ,求證AB=AC方法1:作DEL AB于E,作DFXACT F,證實(shí)二次全等方法2:輔助線同上,利用面積方法3:倍長(zhǎng)中線ADD方式1:延長(zhǎng)AD到E,使 DE=AD , 連接BE方式2:間接倍長(zhǎng)作 CFXADT F,作BE LAD的延長(zhǎng)線于E連接BEAC延長(zhǎng) MD!ij N, 使 DN=MD 連接CD【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長(zhǎng)中線【經(jīng)典例題】例1: ABC中,AB=5 , A

19、C=3 ,求中線 AD的取值范圍提示：畫(huà)出圖形,倍長(zhǎng)中線 AD,利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:在 ABC中,AB=AC , D在AB上,E在AC的延長(zhǎng)線上, DE交BC于F,且DF=EF ,求證：BD=CE方法1過(guò) D 作 DG / AE 交 BC 于 G,證實(shí) A DGF A CEF方法方法過(guò)E作EG / AB交BC的延長(zhǎng)線于 G,證實(shí)A EFe A DFB過(guò)D作DGBC于G,過(guò)E作EhU BC的延長(zhǎng)線于 H證實(shí) A BDe A ECHADBCFE例4：如圖,在 AABC中,ABfAC, 交 AE于點(diǎn) F, DF=AC.求證：AE平分NBAC提示：方法1:倍長(zhǎng)AE至G,連結(jié)DG方法2:倍

20、長(zhǎng)FE至H,連結(jié)CHD、E 在 BC上,且 DE=EC 過(guò) D作 DF /BA例3:在 ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn),且 BE=AC ,延長(zhǎng)BE交AC 于 F,求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng) AD至G,連接BG,證實(shí)ABD8ACDA三角形BEG是等腰三角形例 5: CD=AB , / BDA= / BAD , AE 是 ABD的中線,求證：/ C= / BAE提示：倍長(zhǎng)AE至F,連結(jié)DF證實(shí) AABEAFDE (SAS【融會(huì)貫穿】1、在四邊形ABCD中, 相交于點(diǎn)F.試探究線段進(jìn)而證實(shí) AADMAADC(SAS)AB / DC, E為BC邊的中點(diǎn),/ BAE= / EAF , A

21、F與DC的延長(zhǎng)線AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證實(shí)你的結(jié)論F提示：延長(zhǎng)AE、DF交于G證實(shí) AB=GC AF=GF 所以 AB=AF+FC2、如圖,AD為AABC的中線,DE平分/BDA交AB于E, DF平分/ ADC交AC于F.求證：BE CF EF第14題圖提示：方法1:在DA上截取 DG=BD ,連結(jié)EG、FG證實(shí) A BDE A GDE A DC障 A DGF所以 BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2:倍長(zhǎng)ED至H,連結(jié)CH、FH證實(shí) FH=EF、 CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、：如圖, MBC 中,NC=90 °, CM_LAB 于 M

22、, AT 平分/BAC 交 CM 于 D,交 BC于T,過(guò)D作DE/AB 交BC于E,求證：CT=BE.提示：過(guò)T作TNXABT N 證實(shí) A BTN A ECD1 .如圖,AB/ CD AE DE分另1J平分 / BAD# /ADE 求證：AD=AB+C DAB2 .如圖, ABC中,/ BAC=90 , AB=AC AE是過(guò) A的一條直線,且 B, C 在AE的異側(cè),BDL AE于 D, CELAE于 E.求證：BD=DE+CE四、由中點(diǎn)想到的輔助線口訣:三角形中兩中點(diǎn),連接那么成中位線.三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線.在三角形中,如果一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn), 那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形

23、的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)直角三角形斜邊中線性質(zhì)、 等腰三角形底邊中線性質(zhì),然后通過(guò)探索,找到解決問(wèn)題的方法.一、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖 1, AD 是 A ABC的中線,WJ Sa ab=S ace= 2 Sa ABC 由于 AABDW A ACD 是等底同高的.例1.如圖2, A ABC中,AD是中線,延長(zhǎng) AD到E,使DE=AD DF是A DCE的中線.A ABC的面積為2,求：ACDF的面積.解：由于AD是AABC的中線,所以Saac=-SaabC=- X2=1,又因CD® A AC22E 的中線,故 Sa cd=SaAC=1 ,E -1

24、 -11因 DF是 ACDE勺中線,所以 Sacd=-Sacde=- X1=-.222 A CDF勺面積為2二、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCLfr, AB=CD E、F分別是BG AD的中點(diǎn),BACD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線 G A求證：/ BGE=CHE證實(shí)：連結(jié)BD并取BD的中點(diǎn)為 M 連結(jié)ME MF,. ME A BCD勺中位線, .ME - CD/ MEFW CHE.MF是A ABD勺中位線,.MF' ' AB,MFE=BGE:2v AB=CDME=MF/ MEF= MFE從而/ BGE= CHE三、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3.圖4,AAB

25、C中,AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2求BC的長(zhǎng).解：延長(zhǎng) AD至ij E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=2 2=4.在 A ACM AEBD中,. AD=ED / ADC=EDB CD=BD.AAC*AEBD AC=BE從而 BE=AC= 3在 A ABE中,因 AU+BE=42+32=25=AB,故/ E=90° ,BD=IbsDE2 =J? +¥ =713 ,故 BC=2BD喇AD又是BC邊上的中例4.如圖5,AABC中,AD是/BAC的平分線, 線.求證：AABC等腰三角形.證實(shí)：延長(zhǎng) AD至ij E,使DE=AD仿例3可證：A BED A CAD故

26、EB=AC / E=/ 2,又 / 1=/ 2,/ 1=/ E,.AB=EB從而AB=AC即A ABC是等腰三角形四、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例 5.如圖 6,梯形 ABCLfr, ABZ/DC, AC±BC ACLBD,求證：AC=BD 證實(shí)：取 AB的中點(diǎn)E,連結(jié)DE CE貝U DE CE分另為RtA ABD Rt A ABC斜邊AB上的中線,故 DE=CE=AB,因止匕/ CDE4 DCE2,.ABZ/DC, ./ CDE= 1, / DCE=2, / 1=/2,在 AADEffi A BCE中,. DE=CE / 1=/ 2, AE=BEA AD圖A BCE ；AD=BC從而

27、梯形 ABC此等腰梯形,因止匕AC=BD五、角平分線且垂直一線段,應(yīng)想到等腰三角形的中線例6.如圖7, A ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC 于點(diǎn)D, CE垂直于BR交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E 求證：BD=2CE證實(shí)：延長(zhǎng)BA CE交于點(diǎn)F,在ABEF和/1=/ 2, BE=BE / BEF玄 BEC=90 , A BEH A BEC - EF=EC 從而 CF=2CE 又/1+/ f=/ 3+/ F=90° ,故 / 1 = /3. 在 A ABM AACF中,. / 1=/3, AB=AC90° , AABD AACFBD=CF : B

28、D=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線六中線延長(zhǎng)常延長(zhǎng)加倍此線段,再將端點(diǎn)連結(jié),便可口訣：三角形中有中線,延長(zhǎng)中線等中線. 題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,得到全等三角形例一：如圖 4-1 : AD為AABC的中線,且/ 1 = /2, /3=/4,求證：BE+CF>ER證實(shí)：廷長(zhǎng)ED至M,使DM=DE連接CM MR在BDEffi ACDh/l,B BD=CD中點(diǎn)定義/1 = /5對(duì)頂角相等- ED=M D輔助線作法 . zBD陷 zCDMSAS又= Z1=Z 2, / 3=/ 4 Z1 + Z2+Z 3+7 4=180° 平角的定義Z 3+7 2=90°

29、;即：/EDF=90/ FDM= EDF=90在 zED林口 AMDFt'ED=MD輔助線作法/EDFWFDM已證' DF=DF公共邊 .ED/MDFSAS . EF=MF全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 .在ACM葉,CF+CM>M1角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上.注意當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí), 可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段,構(gòu)造全等三角形,使題中分散的條件集中.例二：如圖5-1 : AD為4ABC的中線,求證：AB+AC>2AD分析：要證 AB+AC>2AD 由圖想至U： AB+BD>AD,AC+CD>AD以有 A

30、B+AC+BD+CD>AD+AD=2A仄邊比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題,而由 2AD想到要構(gòu)造2AD即加倍中線,把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證實(shí)：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD連接BE, CE.AD為 ABC的中線.BD=CD中線定義在ACDffi "BD 中BD=CD已證)/1 = /2 對(duì)頂角相等AD=ED輔助線作法. .AC* zEBD(SASE圖5-1. BE=CA全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在 ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊 .AB+AC>2AD練習(xí):如圖,AB=q AC=8 D為BC的中點(diǎn),求AD的取值范圍.如圖,AB=CD

31、 E為 BC的中點(diǎn),/ BAC=BCA 求證：AD=2AE3 如圖,AB=AC AD=AEM為 BE中點(diǎn),/ BACW DAE=90 .求證：AML DC4, ABC AD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外 作等腰直角三角形,如圖5-2,求證EF=2ADFB D C5.：如圖AD為ABC勺中線,AE=EF求證:BF=AC常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：B D C1遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一的性質(zhì)解題,思 維模式是全等變換中的“對(duì)折 .2遇到三角形的中線,倍長(zhǎng)中線,使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等,構(gòu)造全等 三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn) .3遇到角平分線,

32、可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,利用的 思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折,所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定 理或逆定理.4過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是 全等變換中的“平移或“翻轉(zhuǎn)折疊5截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相 等,或是將某條線段延長(zhǎng),是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì) 加以說(shuō)明.這種作法,適合于證實(shí)線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí), 常把某點(diǎn)到原三角形各頂 點(diǎn)的線段連接起來(lái),利用三角形面積的知識(shí)解答.一、倍長(zhǎng)中線線段造全等DC1:“希望杯試題,如圖 ABC中

33、,AB=5, AC=3那么中線AD的取值范圍是2:如圖,ABC, E、F分別在AR AC上,DEIDF, D是中點(diǎn),試比擬 B E+C* EF的大小.3:如圖,ABC, BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn),求證：AD平分/ BAE.中考應(yīng)用(09崇文二模)以&ABC的兩邊AB AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等 腰RtAACE , /BAD =NCAE =90 口,連接DE M N分別是BC DE的中點(diǎn).探究： AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.(1)如圖 當(dāng)&ABC為直角三角形時(shí),AM與DE的位置關(guān)系是)線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是;(2)將圖中的等腰RtMBD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较?/p>

34、旋轉(zhuǎn)日、0日90)后,如圖所示,(1)問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖,ABC 中,AB=2AC ADF分 /BAC ,且 AD=BD 求證：CD1 ACBD2:如圖,3:如圖,上,并且AP,=AB+BPAC/ BD, EA,EB分別平分/ CAB,/ DBA CD過(guò)點(diǎn) E,求證;AB=AC+BQ分別是/ BAC ,在 LlABC 內(nèi),/BAC=60°, /C=40°, P, Q 分別在 BQ CAC.A . C =1805:如圖在 ABC中,>PB-PCAAB>AC, /1 = /2, P 為 AD上任意一點(diǎn),求證；AB-ACA

35、4:如圖,在四邊形 ABCD中,BC> BA,AD= CD BD平分/ABC ,求證:中考應(yīng)用08海擊-模如圖,在四辿忌ABCD中, 上.判斷W卜4E 解：例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角,構(gòu)造等腰三角光 當(dāng),個(gè)一角形中出現(xiàn),個(gè)角是另三角形.如圖中,假設(shè)/ ABC=2,D.40/瓦,點(diǎn)E是3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).假設(shè)乙川二審八,憎=比,H 崗的關(guān)系并證實(shí)你的結(jié)論.AD£BC一個(gè)角的2倍時(shí),我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰/ C,如果作BD平分/ ABC,那么ADBC是等腰三角形；如圖中,假設(shè)/ ABC=2/C,如果延長(zhǎng)線 CB至ij D,使BD = B 是等腰三角形；如圖中,假設(shè)/B=2/AC

36、B,如果以C為角的頂點(diǎn), 外作/ ACD = / ACB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,那么ADBC是等腰三角A,連結(jié)AD,那么4ADCCA為角的一邊,在形 形.D,A D AB小C DB 小C , AB6c4CBA2DCBABADADADEFAAAAGECDBCBBDDE3EAPB如圖A求證那么 AADE 那么 AAGE 那么 AAGE如圖中 如圖中 如圖中 如圖中/ AG/ AB/ ADBAGBAGBAGDEGEB Ci是等腰三角形 :等腰三角形； 等腰三角形； :等腰三角形.平分/ 平分/ 平分/EI, ABC EF / AB.如圖,4ABC中 垂足為點(diǎn)F .求證DE=CD, EF=AC利用角

37、平分線+平行線,構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí),我們就可以尋找到等腰三角形AD平分/ BAC, E、F分別在BD、ADAD 平分/ BAG, AD / EG,那么 AAGE1、如圖, ABC 中,AB=AC, BD, AC 交 AC 于CD FC F2、如圖, ABC 中,/ACB = 2/B, BC=2AC.求證P作EFXBC,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：/ DBC= 1 ZBACAB = AC,在AC上取點(diǎn)P三、利用角平分線+垂線,構(gòu)造等腰三角形D圖1當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時(shí),我們就可以尋找到等腰三角形 假設(shè)AD平分/ BAG, AD ± DG ,那

38、么4AEG是等腰三角形.5、如圖 2,等腰 RtA ABC 中,AB=AC, Z BAC = 90°, BF 平分/ ABC, CDXBD 交BF的延長(zhǎng)線于 D.求證： BF= 2CD.四：其他方法總結(jié)1 .截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖,：正方形 ABCD中,/ BAC的平分線交 BC于E, 求證：AB+BE=AC .2 .倍長(zhǎng)中線法題中條件假設(shè)有中線,可延長(zhǎng)一倍,以構(gòu)造全等三角形, 分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi).7、如圖7 AD是4ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且 AE=EF . 求證：AC=BF從而將8、 ABC AD是BC邊上的中線,分別以 AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直

39、角三角 形,如圖,求證EF= 2AD=3.平行線法或平移法假設(shè)題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線,對(duì)9、 ABC 中,/ BAC=60 ° , / C=40° AP 平分/ BAC 于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ .說(shuō)明：此題也可以在 AB截取AD=AQ,連OD,構(gòu)造全等三角形,即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法CDRt ,有時(shí)可作出斜邊的中線.交BC于P, BQ平分/ ABC交AC此題利用“平行法解法也較多,舉例如下： 如圖1,過(guò)O作OD/ BC交AC于D,那么 ADO04ABO 來(lái)解決.如圖2,過(guò)O作DE / BC交AB于D ,交AC ： 那么4 ADOAQO , ABOAEO 來(lái)解決.如圖3,過(guò)P作PD/ BQ交AB的延長(zhǎng)線于D,A .于 E'BPC/j1'圖3D,那么 APDAPC來(lái)解決.如圖4,過(guò)P作PD / BQ交AC于10、：如圖,在 ABC中,/ A的平