《植樹問題》教學設計

1、植樹問題西航三校 楊雄兵教學內(nèi)容：數(shù)學廣角 植樹的學問教學目標：1經(jīng)歷將實際問題抽象出植樹問題模型的過程，掌握種樹棵樹與間隔數(shù)之間的關系。2會應用植樹問題的模型解決一些相關的實際問題，培養(yǎng)學生的應用意識和解決實際問題的能力。3感悟構建數(shù)學模型是解決實際問題的重要方法之一。教學重點：理解植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關系，應用規(guī)律解決相關的實際問題。教學難點：應用植樹問題的模型靈活解決一些相關的實際問題。各位同學，我們可以看到后面有很多位老師，我們現(xiàn)在以熱烈的掌聲歡迎各位老師。希望等會同學能積極發(fā)言，給各位老師留下一個好印象.一、情景導入有一句俗語，處處留心皆學問。在剛才場景中，我發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學知識，我現(xiàn)

2、在把場景再現(xiàn)一下. （老師拍掌四次）老師拍掌四次老師拍了幾次，有幾次空隔？師：誰能回答一下，老師拍了幾次掌？生：四次師：有幾次空隔？生：三次師：剛才同學向老師問好的時候，我也留意了一下，發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學問題。請這組的同學起立，數(shù)一數(shù)有幾名同學？生：三名師：有幾個空隔？生：兩個師：老師剛才鼓掌的時候，也留心了一下，也發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學知識， 數(shù)一數(shù)有幾個手指？生：五個師：有幾個空隔呀？生：四個二、探究新知剛才老師坐車來上課的時候，看見路旁有一行行的樹，這一行行的樹也蘊含著數(shù)學知識，這節(jié)課我們就來研究植樹問題。那問題就出現(xiàn)了，教室里沒有樹，怎么來解決這個問題？同學們思考一下。生：可以拿一些東西來代替。師

3、：用什么東西來代替？生：用吸鐵石、粉筆師：還有什么方法？生：畫一棵棵的樹師：還有什么方法？剛才我們同學起立的時候，用人代替什么呀？生；用人代替樹師：請第一排的同學代替樹，數(shù)一數(shù)有多少棵樹？（請學生一個一個地數(shù)）生：8棵師：有多少個空隔呀？（請學生一個一個地數(shù)）生：7個師：那么在數(shù)學中，我們把空格叫間隔。這里的間隔表示的是什么？數(shù)學術語把空格叫間隔，那么，這里的間隔指的就是？生：空隔師：在這里間隔就是兩個樹之間的空隔。那么剛才我們數(shù)了有幾個間隔呀？生：7個師：那么，間隔數(shù)就是7剛才這個同學站起來了，說用人代替樹，我覺得還不方便。我現(xiàn)在準備要求我們同學把樹栽在本子上，可以用什么代替樹？生：可以用幾

4、個小點師：還可以用什么代替樹？生：豎杠師：還可以用什么？生：橫杠師：還可以用什么代替樹？生：用三角形師：現(xiàn)在請同學用三角形代替樹，把樹植到本子上要求：第一：在你的本子上用直尺畫一條線段，長度適宜，不要太短，不要太長。第二：為了和線段的兩個端點區(qū)分，用三角形表示樹。把樹植在這條線段上。（時間一分鐘）植好之后請你數(shù)一數(shù)你數(shù)植了多少棵樹？有多少個間隔？（寫在圖的下面，數(shù)的時候要仔細數(shù)）。剛才老師轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)，我發(fā)現(xiàn)我們同學有這幾種植法：老師畫圖，學生說植法：1、兩端都植2、一端不栽（我們也稱作只植一端）這兩種情況都稱作只植一端。3、兩端都不植那么我們先來研究兩端都植，植樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關系。那么剛才

5、有的同學可能有第二種、第三種植法，那么現(xiàn)在請你以最快的速度把你不是兩端植的方法變兩端都植。那問題就是，要變成兩端都值，最多還要補充幾棵樹？生：兩棵師：改過來后，植樹的棵數(shù)和間隔數(shù)是不是也在變化呢？生：是師：現(xiàn)在請你看看植樹多少棵？有多少個間隔？師：現(xiàn)在請同學匯報一下你植樹的情況，匯報的時候請按這樣的要求：你是怎樣植樹的？（也就是植樹的方式）植樹棵數(shù)是多少?間隔數(shù)是多少?比較植樹棵數(shù)和間隔數(shù)的關系.生：我用的是第一種方式，兩端都植，種了10棵樹，有9個間隔.植樹棵數(shù)比間隔數(shù)多1師：還有哪個同學匯報一下？生：我用的是兩端都植的方法，植了23棵樹，有22個間隔植樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1師：誰還來匯報一下

6、？生：我用的是兩端都植，植了10棵樹，有9個間隔，它們相差1師：誰比誰多？生：植樹棵數(shù)比間隔數(shù)多1師：那么剛才這三位同學匯報的結果，不管植了幾棵樹，只要是兩端都植，它都有一個共同特征，什么特征？生：兩端都植，植樹棵數(shù)都比間隔數(shù)多1師：那是不是如果兩端都植，植樹棵數(shù)和間隔數(shù)都存在這樣的關系？生：是師：那我們現(xiàn)在是不是有這樣的猜想？如果兩端都植，植樹棵都比間隔數(shù)多1？也就是說植樹的棵數(shù)都等于間隔數(shù)怎么樣呀？學生：加1師：師板書（植樹棵數(shù)=間隔數(shù)+1）那么，我們的這個猜想是否正確呢？我們需要驗證一下。我現(xiàn)在請同學匯報一下，你的植樹方式，你植了幾棵樹，其他同學猜測一下有幾個間隔數(shù)？生：我是兩端都植，我

7、栽了11棵樹。師：誰來猜一猜有幾個間隔？（請一學生匯報）生：因為植樹棵數(shù)等于間隔數(shù)加1，所以間隔數(shù)就等于植樹棵數(shù)減1，他植了11棵樹，所以間隔數(shù)就等于減等于10師：這位同學植了11棵樹，你們猜想間隔數(shù)是10，如果這個同學植樹的間隔數(shù)確實是1，說明我們的猜想是正確的。請這位同學說一下，你的間隔數(shù)是幾呀？生：間隔數(shù)是10師：正確不正確呀？那么這個猜想是？生：對的師：剛才驗證了一次，我們再驗證一下。我再請一個同學匯報一下，先說你是怎樣植的，植了幾棵樹？生：我植了8棵樹師：你們猜一猜有幾個間隔？（分別請多名學生猜想，學生紛紛回答是7個間隔）師：你是怎么猜的？（請一名學生回答）生：因為植樹棵數(shù)等于間隔數(shù)

8、加一，間隔數(shù)就等于植樹棵數(shù)減一，因為植樹棵數(shù)是8棵，8減1等于7師：植樹的同學，請你數(shù)一數(shù)你的間隔數(shù)是幾呀？生：7個間隔。師：那說明我們猜想的關系式是？生：正確的師：我們驗證了兩個，說明了我們的方法是正確的，那么這時候問號就可以擦掉了。問題又再現(xiàn)了，老師只驗證了兩次，那更多次會不會出錯呢？別著急，我們還有一種方法，我們比較一下植樹棵數(shù)和間隔數(shù)的關系，比較的時候是一一對應去比較，我們把一棵樹對應一個間隔把它圈起來，（教師在黑板上圈圖講解），你們發(fā)現(xiàn)了什么？生：最后一棵樹沒有間隔。師：那說明剩下的是什么？生：剩下一棵樹師：那說明植樹棵數(shù)比間隔數(shù)？生：植樹棵數(shù)比間隔數(shù)多1師：現(xiàn)在用剛才的方法，把你植

9、的樹用一一對應的方法圈起來，看看你最后剩下的是什么？（圈的時候請注意，不要只圈三角形，把一個三角形和一個間隔對應地圈起來）。生：剩下一棵樹師：說明什么呀？生：植樹棵數(shù)比間隔數(shù)多一？師：在怎樣植樹的情況下呀？生；兩端都植師：那么我們剛才研究了兩端都植，植樹棵數(shù)和間隔數(shù)的關系。現(xiàn)在我們再來研究只植一端植樹棵數(shù)和間隔數(shù)和關系。要求：現(xiàn)在在你的本子上按照要求，只植一端，植樹棵數(shù)不要超過10棵，按照剛才的研究方法，然后同桌交流，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？ 師：數(shù)一數(shù)你植了幾棵數(shù)？有幾個間隔？（請學生回答）生1：我植一端，植了8棵樹，有8個間隔，植樹棵數(shù)和間隔數(shù)相同。生2：我植一端，植了6棵，有6個間隔，植樹棵數(shù)

10、和間隔數(shù)相同。生3：我植了9棵樹，有9個間隔，我發(fā)現(xiàn)植樹棵數(shù)和間隔數(shù)相同生4：我植了10棵樹，有10個間隔，我發(fā)現(xiàn)植樹棵數(shù)和間隔數(shù)相同師：相同我們就可以用等號連接。教師板書：只植一端，植樹棵數(shù)=間隔數(shù)師：我們剛才用的數(shù)樹的棵數(shù)和間隔數(shù)。我們再用另一種方法，把一個數(shù)和一個間隔圈在一起，看看有什么發(fā)現(xiàn)？（教師巡視指導）師：有沒有剩余的樹呀？生：沒有師：有沒有剩余的間隔呀？生：沒有師：這說明了一個什么問題呀？生：只植一端，植樹棵數(shù)等于間隔數(shù)師：我們現(xiàn)在要研究的是兩端都不植的情況，看看有什么發(fā)現(xiàn)，可以用剛才老師教的方法解決一下。（教師巡視指導）剛才老師在下面發(fā)現(xiàn)了一個小問題，我們在數(shù)空格的時候，什么是

11、空格？一個空格就是一個間隔。（指導學生一個一個地數(shù)間隔）師：你植了幾棵樹呀？生：4棵師：幾個間隔呀？生：4個師引導學生總結：只植一端，植樹棵數(shù)比間隔數(shù)少1，那么植樹棵數(shù)就等于間隔數(shù)減1（教師板書：植樹棵數(shù)=間隔數(shù)-1）剛才我們同學總結出了植樹的三種情況，三種情況哪一種最好記？有沒有更好的記憶方法？我們可以看線段圖幫助理解。生1：兩端都植最好記師：為什么？生1：兩端都植是畫，不用畫空格生2：我認為只植一端最好記。師：為什么？生2：因為只植一端，植樹棵數(shù)和間隔數(shù)相同。師：大家認為哪個最好記呀？生：只植一端師：老師也認為只植一端最好記，因為植樹棵數(shù)和間隔數(shù)一樣多，好記。那么兩端都植，植樹棵數(shù)要比間隔

12、怎么樣？生：多1師：兩端都不植，植樹棵數(shù)要比間隔數(shù)怎么樣？生：少1師：所以還是只植一端好記，根據(jù)只植一端，記憶兩端都植和兩端都不植。師：這是一種記憶方法，那還有沒有更好的方法呢？教師用手幫助記憶，手指表示樹，而手指間的空隙表示兩棵樹間的間隔，教師先伸出五指，表示兩端都植，再屈起大拇指表示只植一端，再屈起大拇指和小拇指，表示兩端都不植，讓學生分別數(shù)植樹棵數(shù)和間隔數(shù)，理解三種植樹方式植樹棵數(shù)和間隔數(shù)的關系。三、解決問題師：剛才我們研究了植樹的三種情況下植樹棵數(shù)和間隔的關系，那么，我們能不能用這個關系來解決生活中的實際問題呢？有信心嗎？教師出示例題1：在100米長的小路一旁種樹，每隔5米種一棵，兩端

13、都不植，一共需要多少棵樹苗？1、學生齊讀題2、師：條件是什么？生：在100米長的小路一旁種樹，每隔5米種一棵，兩端都植師：每隔5米是什么意思呀？生：每隔5米為一段師：問題是什么呀？生：一共需要多少棵樹苗？師：我們只要知道什么就行了？生：間隔數(shù)師：那怎樣求間隔數(shù)呢？你知道嗎？生：100米長的路，每5米為一段，能分成多少段？生：20段師：能分20段，就有20個間隔師：你能解決這個問題嗎？試做一下（注意：兩端都植）請一學生在黑板上做，其他學生在本子上練習，教師巡視指導。同桌互查。師：現(xiàn)在我們看看黑板上的同學做得對嗎？100除以5等于20，對嗎？生：對師：這個同學在20后面不知道寫什么單位，你能告訴我

14、寫什么單位嗎？生：棵生：個師：你們認為用哪個單位名稱比較合適？生：個師：為什么用個呢？生：因為計算的是20個間隔。師：因為這里20表示20個間隔，所以用“個”作單位剛才我們解決的是兩端都植的問題，下面的問題有點難度，你們能解決嗎？教師出示例題2：大象館和猩猩館相距60米，在路的兩旁每隔3米植一棵樹，一共植樹多少棵？1、生讀題2、師：容易忽略哪個詞語？生：兩旁師：把容易忽略的、關鍵的詞語畫出來。為了幫助理解，老師把大象館和猩猩館畫出來，在小路的兩旁植樹，植幾行樹？植樹的方式是哪一種？生：植兩行樹，兩端都不植師：你能解決這個問題嗎？請你們試著做一下師巡視指導師點評算式：60÷3=20，2

15、0-1=19，19×2=38 60除以3等于20，這20表示什么意思？生：表示20個間隔師：為什么用20-1？生：因為兩端都要不植，植樹棵數(shù)比間隔數(shù)少1師：19×2是什么意思？生：表示兩行植樹的棵數(shù)師：下面有的同學算的是19棵，他錯在什么地方？生；要植兩行，他只計算了一行師：剛才我們同學對兩種植樹方式都能夠解決，現(xiàn)在我們看例題1是哪種植樹方式？生：兩端都植師：例題2是哪種植樹方式，植了幾行？生：兩端都不植，植了兩行師：所以我們做題一定要細致，一定要分清植樹方式和植樹行數(shù)，單位名稱在寫的時候一定要理解四、總結回顧：師：我們這節(jié)課學了什么知識？生：植樹問題師：在我們?nèi)粘Ｉ钪校?/p>

16、類似于植樹的問題很多，例如：同學們在操場排隊，每名同學就相當于一棵樹，比如，跨欄比賽時，跑道上的跨欄相當一棵棵樹，再比如鋸木頭，鋸的次數(shù)相當于樹等等，同學們在日常生活中找一找，還有哪些類似于植樹問題的例子。剛才我在上課前聽到學校的鈴聲，也類似于植樹問題，現(xiàn)在請同學們記錄一下，我敲一下，同學們用“點”記錄。師：敲了幾下？生：5下師：每兩響之間間隔10秒，從第一響到最后一響間隔幾秒？生：40秒師：在這個場景中，什么相當于樹？生：點相當于樹師：這里的點代表的什么？生：鈴聲師：這是哪種植樹方式？生：兩端都植師：有多少個間隔？有多少秒？生：4個間隔40秒師：我們同學能解決植樹問題，也能解決生活中類似于植樹的問題，形象的樹我們能畫出來，抽象的樹我們也能解決，通過這節(jié)課，你學會了什么？生1：學會了植樹知識生2：植樹的三種情況：兩端都植、只植一端和兩端都