2010年高中數(shù)學(xué)高考重點(diǎn)難點(diǎn)講解：求解函數(shù)解析式

1、 難點(diǎn)5 求解函數(shù)解析式求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視.本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.難點(diǎn)磁場()已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1).案例探究例1(1)已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= (其中a>0,a1,x>0),求f(x)的表達(dá)式.(2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達(dá)式.命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則，以及計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能

2、力.屬題目.知識(shí)依托：利用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對“f”的理解，用好等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意定義域.錯(cuò)解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價(jià)轉(zhuǎn)化易出錯(cuò).技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法.解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0<a<1,t<0),則x=at.因此f(t)= (atat)f(x)= (axax)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得高考資源網(wǎng)()并且f(1)、f(1)、f(0)不能同時(shí)等于1或1，所以所求函數(shù)為：f(x)=2x21或f(

3、x)=2x2+1或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1或f(x)=x2+x+1或f(x)=x2+x1.例2設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0，2)，且過點(diǎn)(1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象.命題意圖：本題主要考查函數(shù)基本知識(shí)、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數(shù)的分析需要較強(qiáng)的思維能力.因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型.屬題目.知識(shí)依托：函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線.錯(cuò)解分析：本題對思維能力要求很高，分

4、類討論、綜合運(yùn)用知識(shí)易發(fā)生混亂.技巧與方法：合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.解：(1)當(dāng)x1時(shí)，設(shè)f(x)=x+b射線過點(diǎn)(2，0).0=2+b即b=2，f(x)=x+2.(2)當(dāng)1<x<1時(shí)，設(shè)f(x)=ax2+2.拋物線過點(diǎn)(1，1)，1=a·(1)2+2,即a=1f(x)=x2+2.(3)當(dāng)x1時(shí)，f(x)=x+2綜上可知：f(x)=作圖由讀者來完成.錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：1.待定系數(shù)法，如果已知高考資源網(wǎng)()函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，用待定系數(shù)法；2.換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡單時(shí)也可用配湊法

5、；3.消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解f(x);另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()若函數(shù)f(x)=(x)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( )A.3B.C.D.32.()設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，在x1時(shí)，f(x)=(x+1)21,則x>1時(shí)f(x)等于( ) 高考資源網(wǎng)()A.f(x)=(x+3)21B.f(x)=(x3)21C.f(x)=(x3)2+1D.f(x)=(x1)21二、填空題3.()已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式為_.4.()已知f(x)=ax2+b

6、x+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,則f(x)=_.三、解答題5.()設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x2)=f(x2),且其圖象在y軸上的截距為1，在x軸上截得的線段長為，求f(x)的解析式. 高考資源網(wǎng)()6.()設(shè)f(x)是在(,+)上以4為周期的函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上時(shí)，f(x)=2(x3)2+4，求當(dāng)x1,2時(shí)f(x)的解析式.若矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在x軸上，C、D在y=f(x)(0x2)的圖象上，求這個(gè)矩形面積的最大值.7.()動(dòng)點(diǎn)P從邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，f(x)表示PA的長，g

7、(x)表示ABP的面積，求f(x)和g(x),并作出g(x)的簡圖.8.()已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5，函數(shù)y=f(x)(1x1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在0，1上是一次函數(shù)，在1，4上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為5.(1)證明：f(1)+f(4)=0;(2)試求y=f(x),x1,4的解析式；高考資源網(wǎng)()(3)試求y=f(x)在4，9上的解析式.參考答案難點(diǎn)磁場解法一：(換元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),則cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u2

8、7u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二：(配湊法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：f(x)=.ff(x)=x,整理比較系數(shù)得m=3.答案：A2.解析：利用數(shù)形結(jié)合，x1時(shí)，f(x)=(x+1)21的對稱軸為x=1,最小值為1，又y=f(x)關(guān)于x=1對稱，故在x>1上，f(x)的對稱軸為x=3且最小值為1.答案：B二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f(

9、)+2f(x)=3.由上面兩式聯(lián)立消去f()可得f(x)=x.答案：f(x)= x4.解析：f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+高考資源網(wǎng)()bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,f(x)=x2+x.答案：x2+x三、5.解：利用待定系數(shù)法，設(shè)f(x)=ax2+bx+c,然后找關(guān)于a、b、c的方程組求解，f(x)=.6.解：(1)設(shè)x1,2,則4x2,3,f(x)是偶函數(shù)，f(x)=f(x),又因?yàn)?是f(x)的周期，f(x)=f(x)=

10、f(4x)=2(x1)2+4.(2)設(shè)x0，1，則2x+23,f(x)=f(x+2)=2(x1)2+4,又由(1）可知x0,2時(shí)，f(x)=2(x1)2+4,設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(1t,0）,(1+t,0)(0t1,則|AB|=2t,|AD|=2t2+4,S矩形=2t(2t2+4)=4t(2t2),令S矩=S，=2t2(2t2)·(2t2)()3=,當(dāng)且僅當(dāng)2t2=2t2,即t=時(shí)取等號.S2即S,Smax=.7.解：(1)如原題圖，當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=x;當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由RtABD可得PA=;當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由RtADP易得PA=;當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=4x

11、,故f(x)的表達(dá)式為：f(x)=(2)由于P點(diǎn)在折線ABCD上不同位置時(shí)，ABP的形狀各有特征，計(jì)算它們的面積也有不同的方法，因此同樣必須對P點(diǎn)的位置進(jìn)行分類求解.如原題圖，當(dāng)P在線段AB上時(shí)，ABP的面積S=0；當(dāng)P在BC上時(shí)，即1x2時(shí)，SABP=AB·BP=(x1）；當(dāng)P在CD上時(shí)，即高考資源網(wǎng)()2x3時(shí)，SABP=·1·1=；當(dāng)P在DA上時(shí)，即3x4時(shí)，SABP=(4x).故g(x)=8.(1)證明：y=f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)解：當(dāng)x1,4時(shí)，由題高考資源網(wǎng)()意，可設(shè)f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4).(3)解：y=f(x)(1x1)是奇函數(shù)，f(0)=f(0),f(0)