數列通項公式前n項和求法總結全

1、一.數列通項公式求法總結：1 .定義法一一直接利用等差或等比數列的定義求通項。特征：適應于已知數列類型(等差或者等比).例1 .等差數列Q 是遞增數列，前n項和為Sn ,且ai,a3, a§成等比數列，S5 = a2 .求數歹心口 的通項公式.變式練習：2 .等差數列%中，a7 =4,ai9=2a9,求值的通項公式3 .在等比數列a。中，a?-&=2，且2a2為3ai和a3的等差中項，求數列烝的首項、公比及 前n項和.4 .公式法、S n = 1 .求數列an的通項an可用公式an =求解。、Sn-Snn22特征：已知數列的前n項和Sn與an的關系例2.已知下列兩數列an的前

2、n項和Sn的公式，求an的通項公式。(1) Sn=n3 + n1。(2)Sn=n21變式練習：1 .已知數列an的前n項和為Sn,且Sn=2n2+n, nC N* ,數列b n滿足an =4log 2bn+3, nC N * .求 an , bn。2 .已知數列4的前n項和0 =-n2+kn (kN*)，且S的最大值為8,試確定常數k2并求an o2 .3.已知數列an)的前n項和&=nn, nW N”.求數列Gn)的通項公式。23.由遞推式求數列通項法類型1特征：遞推公式為an+=an +f(n)對策：把原遞推公式轉化為an+-an = f(n),利用累加法求解。例3.已知數列

3、67;n滿足a1=1, an4t=an十一一 ,求an。2n n變式練習：1 .已知數列an滿足an =an+2n+1, a1 =1 ,求數列an的通項公式。2 .已知數列：求通項公式類型2特征：遞推公式為 an. = f（n）%對策：把原遞推公式轉化為 電土 = f （n）,利用累乘法求解。an例4.已知數列配滿足ai =2, an¥=-an,求七。 3n 1變式練習：1 .已知數列aj中，a1=2, an干=3nan,求通項公式an。2 .設an是首項為1的正項數列，且（n+1 ）an -na2+an書an =0 （ n =1, 2, 3 ,），求數列的通項公式是an類型3特征：

4、遞推公式為an* = pan +q （其中p, q均為常數）對策：（利用構造法消去q）把原遞推公式轉化為由an+= pan+q得an = pan+q（n之2）兩式相減并整理得an書an =p,構成數列an書-an以a2-a1為首項，以p為公比的等比數 an _ an 1歹I.求出an4-an的通項再轉化為類型1 （累加法）便可求出an.例 5.已知數列 L 中，a1 =1 , an+ = 2an +3 ,求 an .變式練習：1 .數列an滿足a1=1, 3an4 +an-7=0,求數列a。的通項公式。2 .已知數列an滿足a1=1,前書=3升+1.證明%+；2是等比數列，并求斗的通項公式。類

5、型4特征：遞推公式為an = pan + f（n）（其中p為常數）對策：（利用構造法消去 p）兩邊同時除以pn*可得到 書=駕+"1） ,令粵=4 ,則 ppppbn+=bn+里，再轉化為類型1 （累加法），求出bn之后得an = pnbn p例6.已知數列an滿足an+ =2% +4 '3n,，a1 =1 ,求數列an的通項公式。變式練習：已知數列In1滿足a1 =1 , an=3n+2an（n±2）,求an.二.數列的前n項和的求法總結1.公式法（1）等差數列前n項和：Sn =g3 = na1+皿dn 212(2)等比數列前n項和:q=1 時，Sn=na1例1.

6、已知log 3 x = -1 ,求x + x2 +x3 +xn +的前n項和. log2 3變式練習：1 .設等比數列an的前n項和為Sn.已知a2=6, 6a1+a3=30，求an和Sn.2 .設a。是等差數列，bn是各項均為正數的等比數列，且 ai = bi=1, a3 + bs = 21, a5 +b3 =13 o(1)求 an , bn；(2)求數列%的前n項和Sn。an3 .錯位相減法若數列an為等差數列，數列bn為等比數列，則數列an bn的求和就要采用此法.將數列Qn bn的每一項分別乘以bn的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列 % bn 的 前n項和.例 2.求 1 + 2x

7、 + 3x2 + 4x3 + +nxn，的和變式練習：1 .已知數列a的前n項和為Sn,且Sn = 2n2+n ,n C N*，數列bn滿足an = 4log2n+ 3n C N * .(1)求 an, bn；(2)求數列Qn bn 的前n項和Tn .2 .若公比為c的等比數列4的首項為&=1,且滿足烝=+*10=3,4,.)。2(1)求c的值；(2)求數列nan的前n項和&3 .倒序相加法如果一個數列4,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征： a1 , an =a2 an4 =

8、.把數列的各項順序倒寫，再與原來順序的數列相加。例3.已知f(x)x2門)k 則”"+fHf(3) ff(4) f變式練習:1.求122212 10222 92Q22母.川記彳的和.2.求 sin21 -十sin2 2" + sin23"+ 十sin288°+sin289 -的值。4 .裂項相消法般地，當數列的通項an(an b1)(an b2)(a,bi,b2,c為常數)時，往往可將an變成兩項的差，采用裂項相消法求和. 可用待定系數法進行裂項:設anan b2通分整理后與原式相比較,根據對應項系數相等得c= , b2 - b從而可得(an b1)(a

9、n b2) (b21bl)(an b1an b2”常用裂項形式有:1=1_ 1 .n(n 1) n n T 1111)； 22k2k2 -112 k -1 k 1k 1 (k 1)k1：記：(k -1)k k -1 k一1 . n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)' 2(，n , 1 -、n) =2 :二1：二 2= 2(、. n -n -d)n . n 1、. n , n . n -1例4.求數列1 3'n(n 2),的前n項和S.變式練習:1.在數列a n中,an =+ +,又bn=-2,求數列bn的前n項的和. n 1an an 12.等比數列4的

10、各項均為正數，且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(I)求數列Gn的通項公式.(II) 設 bn =log3al+log3 a2 + ,+log3 an,求數歹U4一的刖項和. bn5.分組求和法有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.一般分兩步：找通向項公式由通項公式確定如何分組.1111例5.求數列2,4,6，J|L2n,的刖n項和Sn . 4 8 162變式練習：1 .求數列11,21,3',4211的前n項和 3 9 27 812 .若數列an 的通項公式an =2an +3na -1(a =0),求an的前n項和6 .記住常見數列的前