排列組合2種方法

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔高考數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法排列組合問題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣,但題型多樣,思路靈活,因此解決排列組合問題,首先要認(rèn)真審題,弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征,采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚?教學(xué)目標(biāo)1 .進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理.2 .掌握解決排列組合問題的常用策略；能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題.提升學(xué)生解決問題分析問題的水平3 .學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題.復(fù)習(xí)穩(wěn)固1 .分類計(jì)數(shù)原理加法原理完成一件事,有n類方法,在第 1 類方法中有門種不同的方法,在第 2 類方法中有m2種不同的方法,在第n類方法中有

2、州種不同的方法,那么完成這件事共有：N=m1+m2+|+mn種不同的方法.2 .分步計(jì)數(shù)原理乘法原理完成一件事,需要分成n個(gè)步驟,做第 1 步有mi種不同的方法,做第 2 步有m2種不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有：N=n黑m2Mll|乂mn種不同的方法.3 .分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立,任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事.分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一個(gè)階段,不能完成整個(gè)事件.解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1 .認(rèn)真審題弄清要做什么事2 .怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行,確定

3、分多少步及多少類.3 .確定每一步或每一類是排列問題有序還是組合無序問題,元素文案大全總數(shù)是多少及取出多少個(gè)元素4 .解決排列組合綜合性問題,往往類與步交叉,因此必須掌握一些常用的解題策略一 .特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求占了這兩個(gè)位置.先排末位共有C3然后排首位共有C4最后排其它位置共有A3由分步計(jì)數(shù)原理得C4c3=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最根本的方法,假設(shè)以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.假設(shè)以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置

4、.假設(shè)有多個(gè)約束條件,往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件練習(xí)題:7 種不同的花種在排成一列的花盆里,假設(shè)兩種葵花不種在中間,也不種在兩端的花盆里,問有多少不同的種法？二 .相鄰元素捆綁策略例 2.7 人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素,同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素,再與其它元素進(jìn)行排列,同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A5A2A2=480種不同的排法要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

5、練習(xí)題：某人射擊 8 槍,命中 4 槍,4 槍命中恰好有 3 槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20三 .不相鄰問題插空策略例 3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4 個(gè)舞蹈,2 個(gè)相聲,3 個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),那么節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排 2 個(gè)相聲和 3 個(gè)獨(dú)唱共有A5種,第二步將 4舞蹈插入第一步排好的 6 個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種A4文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有A5A6種元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩練習(xí)題： 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目

6、.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中,且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰,那么不同插法的種數(shù)為應(yīng)四 .定序問題倍縮空位插入策略例 4.7 人排隊(duì),其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少不同的排法解:倍縮法對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),那么共有不同排法種數(shù)是：A7/A3空位法設(shè)想有 7 把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A4種方法,其余的三個(gè)位置甲乙丙共有工種坐法,那么共彳A4種方法.思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎？插入法 先排甲乙丙三個(gè)人,共有 1 種排法,再把其余 4 四人依次插入共有方法定序問題可以用倍縮法,還可轉(zhuǎn)化為占位插練習(xí)

7、題:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求從左至右身高逐漸增加,共有多少排法？-5五 .重復(fù)排列問題求哥策略住店法解決“允許重復(fù)排列問題要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù),另一類不能重復(fù),把可能重復(fù)的元素看作“客,能重復(fù)的元素看作“店,再利用乘法原理直接求解.例 21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍,每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得,獲得冠軍的可能的種數(shù)有分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得 n 項(xiàng)冠軍,故學(xué)生可重復(fù)排列,將七名學(xué)生看作 7 家“店,五項(xiàng)冠軍看作 5 名“客,每個(gè)“客有 7 種住宿法,由乘法原理得 75種.例 5.把 6 名實(shí)習(xí)生元素分配到 7 個(gè)車間位置實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解：完成

8、此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 J 種分法.把文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔練習(xí)題：1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為 42一先插一個(gè)再插一個(gè)！2.某 8 層大樓一樓電梯上來 8 名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法78看清題目！一樓上的,下的話只有 28 層共 7 層!六.環(huán)排問題線排策略例 6.8 人圍桌而坐,共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于,坐成圓形沒有首尾之分,所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余 7 人共有8-1!,種排法即 7!一般地,n,n 個(gè)不同元素作圓

9、形排列,共有n-1n-1! !種排法,即.N.N 全排列數(shù)除以總數(shù) N N相當(dāng)于只有一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)而次序不變的所在排列都是一種；n n 個(gè)元素中取出 m m 個(gè)元素作圓形排列共一練習(xí)題：6 顆顏色不同的鉆石,可穿成幾種鉆石圈 120七.多排問題直排策略例 7.8 人排成前后兩排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解：8 人排前后兩排,相當(dāng)于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有A4種,再排后 4 個(gè)位置上的特殊元素丙有A4種,其余的 5 人在 5 個(gè)位置上任意排列有A5種,那么共有A4A4A5種文案大全CKXXXXXXX)ABCDEFGHAABCDEFGHA第

10、二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有 7 種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有76種不同的排法C CE E；D&D&A AG G前排后排實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研練習(xí)題：有兩排座位,前排 11 個(gè)座位,后排 12 個(gè)座位,現(xiàn)安排 2 人就座規(guī)定前排中間的 3 個(gè)座位不能坐,并且這 2 人不左右相鄰,那么不同排法的種數(shù)是 346八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從 5 個(gè)球中選出 2 個(gè)組成復(fù)合元共有 C；種方法,再把 4個(gè)元素包含一個(gè)復(fù)合元素裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi)

11、有A4種方法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C2A4一解決排列組合混合問題,先選后排是最根本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎練習(xí)題： 一個(gè)班有 6 名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各 1 人現(xiàn)從中選 4 人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有 1 人參加,那么不同的選法有 192種九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰即有且只有!兩個(gè)偶數(shù)夾 1,5 在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把1,5,2,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有A2種排法,再排小集團(tuán)內(nèi)部共有A2A2種排法,由分步計(jì)數(shù)原理共有A2A2A2種排法.小集團(tuán)排列

12、問題中,先整體后局部,再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理.練習(xí)題：1.方案展出 10 幅不同的畫,其中 1 幅水彩畫,4 幅油畫,5 幅國(guó)畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起,并且水彩畫不在兩端,那么共有陳列方式的種數(shù)為A2A5A42.5 男生和 5 女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有A2A5A5種十.元素相同|可題隔板策略例 10. 有 10個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)額,分給 7 個(gè)班,每班至少一個(gè),有多少種分配方案？文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔注意有 9 個(gè)空隙,6 個(gè)隔板!解：由于 10 個(gè)名額沒有差異,把它們排成一排.相鄰名額之間形成9個(gè)空隙.在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板,可把名額分成7份,對(duì)應(yīng)地分給

13、7個(gè)班級(jí),每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有C6種分法.將 n n 個(gè)相同的元素分成 m m 份n,mn,m 為正整數(shù),每份至少一個(gè)元素,可以用 m-1m-1 塊隔板,插入 n n 個(gè)元素排成一排的 n-1n-1 個(gè)空隙中,所有分法數(shù)為Cnml1練習(xí)題：1 .10 個(gè)相同的球裝 5 個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？C；2 .x+y+z+w=100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)Cw3十一.正難那么反總體淘汰策略例 11.從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù),使其和為不小于 10 的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于 10 的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法.這

14、十個(gè)數(shù)字中有 5 個(gè)偶數(shù) 5 個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有 3 個(gè)偶數(shù)的取法有 4,只含有 1 個(gè)偶數(shù)的取法有C5c52,和為偶數(shù)的取法共有C5C；+C；.再淘汰和小于 10 的偶數(shù)共 9 種,符合條件的取法共有C5CC3-9有些排列組合問題,正面直接考慮比擬復(fù)雜,而它的反面往往比擬簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中淘汰.練習(xí)題：我們班里有 43 位同學(xué),從中任抽 5 人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種？十二；平均分組問題除法策略例 12.6 本不同的書平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解：分三步取書得 CjCjC；種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象,不妨記 6 本書

15、為 ABCDEF 假設(shè)第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取文案大全三班七班一班實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔EF 該分法記為AB,CD,EF,那么 c；cjc；中還有AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD共有A3種取法,而這些分法僅是AB,CD,EF一種分法,故共有C；C：C212/A3種分法.平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以A： n為均分的組數(shù)防止重復(fù)計(jì)數(shù).練習(xí)題:1 將 13 個(gè)球隊(duì)分成 3 組,一組 5 個(gè)隊(duì),其它兩組 4 個(gè)隊(duì),有多少分法?(dC：/A2)2.10 名學(xué)生分成 3 組,其中一組 4 人,另兩組 3

16、人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法15403.某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí),現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 4 名學(xué)生,要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排 2 名,那么不同的安排方案種數(shù)為CjC；A；/A2=90十三.合理分類與分步策略例 13.在一次演唱會(huì)上共 10 名演員,其中 8 人能唱歌,5 人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè) 2 人唱歌 2 人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解： 10 演員中有 5 人只會(huì)唱歌,2 人只會(huì)跳舞 3 人為全能演員.選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的 5 人中沒有人選上唱歌人員共有C3C2種,只會(huì)唱的 5 人中只有 1 人選上唱歌人員C5c3C2種,只會(huì)唱的 5 人中只有 2

17、人選上唱歌人員有 C；C；種,由分類計(jì)數(shù)原理共有c；c；+c5c3cj+C2C；種.解含有約束條件的排列組合問題,可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步,做到標(biāo)準(zhǔn)明確.分步層次清楚,不重不漏,分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終.練習(xí)題：1.從 4 名男生和 3 名女生中選出 4 人參加某個(gè)座談會(huì),假設(shè)這 4 人中必須既有男生又有女生,那么不同的選法共有獨(dú)23 成人 2 小孩乘船游玩,1 號(hào)船最多乘 3 人,2 號(hào)船最多乘 2 人,3 號(hào)船只能乘 1 人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船,這3人共有多少乘船方法. 27文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔此題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：* 以

18、3 個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以 3 個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)* 以只會(huì)跳舞的 2 人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略例 14.馬路上有編號(hào)為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3 盞,但不能關(guān)掉相鄰的 2 盞或 3 盞,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在 6 盞亮燈的 5 個(gè)空隙中插入 3 個(gè)不亮的燈有C53種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型,如占位填空模型,排隊(duì)模型,裝盒模型等,可使問題直觀解決練習(xí)題：某排共有 10 個(gè)座位,假設(shè) 4 人就坐,每人

19、左右兩邊都有空位,那么不同的坐法有多少種？120十五.實(shí)際操作窮舉策略例 15.設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5 的五個(gè)球和編號(hào) 1,2,3,4,5 的五個(gè)盒子,現(xiàn)將 5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球,并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法解：從 5 個(gè)球中取出 2 個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有C；種還剩下 3 球 3 盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng),利用實(shí)際操作法,如果剩 3,4,5 號(hào)球,3,4,5 號(hào)盒 3 號(hào)球裝 4 號(hào)盒時(shí),那么 4,5 號(hào)球有只有 1 種裝法,同理 3 號(hào)球裝 5 號(hào)盒時(shí),4,5 號(hào)球有也只有 1 種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2Cs種對(duì)于條件比擬復(fù)雜的排列組合問題,不易方公式進(jìn)

20、行運(yùn)算,往往利用窮舉法或畫出樹農(nóng)圖會(huì)收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題：1 .同一寢室 4 人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡,那么四張賀年卡不同的分配方式有多少種？92 .給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有 4 種可選顏色,那么不文案大全4 號(hào)盒號(hào)盒3 號(hào)盒5實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔同的著色方法有 72 種十六.分解與合成策略例 16.30030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把 30030 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2X3X5x7x11X13依題意可知偶因數(shù)必先取 2,再?gòu)钠溆?5 個(gè)因數(shù)中任取假設(shè)干個(gè)組成乘積,所有的偶因數(shù)為：C5十C；十C；十c54十C5練習(xí):正方體

21、的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從 8 個(gè)頂點(diǎn)中任取 4 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共C84-12=58,每個(gè)四面體有3 對(duì)異面直線,正方體中的 8 個(gè)頂點(diǎn)可連成358=174對(duì)異面莖皴軍與合成策略是排列組合問題的一種最根本的解題策略,把一個(gè)復(fù)雜問題分解成幾個(gè)小問題五一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案,每個(gè)比擬復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例 17.25 人排成 5X5 方陣,現(xiàn)從中選 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？解： 將這個(gè)問題退化成 9 人排成 3X3 方陣,現(xiàn)從中選 3 人,

22、要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每行必有 1 人從其中的一行中選取1 人后,把這人所在的行列都劃掉,如此繼續(xù)下去.從 3X3 方隊(duì)中選 3 人的方法有C3c2C1種.再?gòu)?5X5 方陣選出 3X3 方陣便可解決問題.從 5X5 方隊(duì)中選取 3行 3 列有C；C；選法所以從 5X5 方陣選不在同一行也不在同一列的 3 人有C；C；C3c2C1選法.處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡(jiǎn)要的問題,通過解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問題的解決找到解題方法,從而進(jìn)下一步解決原來的問題文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔練習(xí)題:某城市的街區(qū)由 12 個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路,從 A 走到 B 的最短路徑有多少種？(C；=35)A十八.數(shù)字排序問題查字典策略例 18.由 0,1,2,3,4,5 六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的比32410