平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第一章 平面向量2.1向量的基本概念和基本運(yùn)算16、向量：既有大小，又有方向的量 數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度 零向量：長(zhǎng)度為的向量單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量17、向量加法運(yùn)算：三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)三角形不等式： 運(yùn)算性質(zhì)：交換律：；結(jié)合律：；坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則18、向量減法運(yùn)算：三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則19、向量數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量

2、的數(shù)乘，記作；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，運(yùn)算律：；坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則20、向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使設(shè)，其中，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量、共線2.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使（不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)分別是，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（當(dāng)2.3平面向量的數(shù)量積23、平面向量的數(shù)量積（兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。）：零向量與任一向量的數(shù)量積為性質(zhì)：設(shè)和都是非零

3、向量，則當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或運(yùn)算律：；坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，則若，則，或 設(shè)，則設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，則知識(shí)鏈接：空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類比而得.下面對(duì)空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量： 若A、B是直線上的任意兩點(diǎn)，則為直線的一個(gè)方向向量；與平行的任意非零向量也是直線的方向向量.平面的法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量. 平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）： 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系設(shè)平面的法向量為求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)根據(jù)法向量

4、定義建立方程組.解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量. （如圖） 1、 用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行 設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即.即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。線面平行（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即.即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量即可.面面平行若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證.即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線的方向

5、向量分別是，則要證明，只需證明，即.即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。線面垂直（法一）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則要證明，只需證明，即.（法二）設(shè)直線的方向向量是，平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為，若即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。面面垂直 若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證. 即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則求直線和平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這

6、個(gè)平面所成的角求法：設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：求二面角定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線，則為二面角的平面角.如圖：OABOABl求法：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為，再設(shè)的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角：如果是銳角，則，即； 如果是鈍角，則， 即.5、利用法向量求空間

7、距離點(diǎn)Q到直線距離 若Q為直線外的一點(diǎn),在直線上，為直線的方向向量，=，則點(diǎn)Q到直線距離為 點(diǎn)A到平面的距離若點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對(duì)值. 即 直線與平面之間的距離 當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。 即兩平行平面之間的距離 利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。即異面直線間的距離 設(shè)向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對(duì)值。 即6、三垂線定理及其逆

8、定理三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直推理模式：概括為：垂直于射影就垂直于斜線.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內(nèi)的射影，且BDAD，垂足為D.設(shè)AB與 (AD)所成的角為， AD與AC所成的角為， AB與AC所成的角為則.8、 面積射影定理已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則 9、一個(gè)結(jié)論 長(zhǎng)度為的線

9、段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,則有 .（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O中的任意一點(diǎn)為起點(diǎn)，與起點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有()A6個(gè) B7個(gè)C8個(gè) D9個(gè)解析：選D.與向量共線的向量有，共9個(gè)，故選D.2設(shè)不共線的兩個(gè)非零向量e1，e2，且k(e1e2)(e1ke2)，則實(shí)數(shù)k的值為()A1 B1 C±1 D0答案：A3已知向量是不共線向量e1，e2，給出下列各組向量：a2e1，be1e2；a2e1e2，be1e2；

10、ae1e2，b2e12e2；ae1e2，be1e2.其中共線的向量組共有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案：B4已知E、F分別為四邊形ABCD的邊CD、BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)a，b，則()A.(ab) B(ab)C.(ab) D.(ba)答案：B5下列計(jì)算正確的有()(7)×6a42a；a2b(2a2b)3a；ab(ab)0.A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)解析：對(duì)，對(duì)，錯(cuò)，因?yàn)閍b(ab)0.答案：C1化簡(jiǎn)所得結(jié)果是()A.B. C0 D.答案：C2在ABC中，|1，則|的值為()A0 B1 C. D2答案：B3已知向量ab，且|a|>|b|>0，則向量ab的方向()A與

11、向量a方向相同 B與向量a方向相反C與向量b方向相同 D與向量b方向相反答案：A4在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則_.答案：25向量()()等于()A. B. C. D.解析：()()()().故選C.答案：C1如果e1、e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么()A若實(shí)數(shù)1、2使1e12e20，則120B空間任一向量a可以表示為a1e12e2，這里1、2是實(shí)數(shù)C對(duì)實(shí)數(shù)1、2，1e12e2不一定在平面內(nèi)D對(duì)平面中的任一向量a，使a1e12e2的實(shí)數(shù)1、2有無(wú)數(shù)對(duì)答案：A2如果3e14e2a,2e13e2b，其中a，b為已知向量，則e1_，e2_.答案：e13a4be22a3b3

12、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，如果3e12e2，4e1e2，8e19e2，則共線的三點(diǎn)是()AA、B、C BB、C、DCA、B、D DA、C、D答案：C4設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1 De2和e1e2解析：4e26e12(3e12e2)，3e12e2與4e26e1共線，故選B.答案：B1若，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A(1,1)B.C. D.答案：C2已知平行四邊形OABC(O為原點(diǎn))，(2,0)，(3,1)，則OC等于()A(1,1) B(1，1)C(

13、1，1) D(1,1)解析：(3,1)(2,0)(1,1)，故選A.答案：A3若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于()Aab B.abC.ab Dab答案：B1若a(2,3)，b(4，1y)，且ab，則y()A6B5C7D8答案：C2已知點(diǎn)M是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，若，則等于()A. B. C. D.解析：用，表示向量，.，.答案：D1.若向量a、b滿足|a|b|1，a與b的夾角為60°，則a·aa·b等于()A.B.C1 D2解析：選B.a·aa·b|a|2|a|b|cos60°1.2.設(shè)a，b

14、，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是()A(a·b)c(c·a)b0Ba·b0a0或b0C(b·c)a(a·c)b不與c垂直D(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2解析：選D.由于數(shù)量積是實(shí)數(shù)，因此(a·b)c，(c·a)b分別表示與c，b共線的向量，運(yùn)算結(jié)果不為0，故A錯(cuò)誤；當(dāng)ab，a與b都不為零向量時(shí)，也有a·b0，故B錯(cuò)誤；(b·c)a(a·c)b·c(b·c)a·c(a·c)b·c0，故C錯(cuò)誤；(3a

15、4b)·(3a4b)9a216b212a·b12a·b9|a|216|b|2.1.a(4，3)，b(5，6)，則3|a|24a·b等于()A23B57C63 D83解析：選D.|a|5，a·b4×53×62，3|a|24a·b3×524×(2)83.故選D.2.已知A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)，則ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D任意三角形解析：選B.·(1，1)·(3，3)330.故選B.1設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，已知過(guò)點(diǎn)的直線交函數(shù)yx2的圖象于A

16、、B兩點(diǎn)，則·的值為()A. B.C D解析：選C.由題意知直線的斜率存在可設(shè)為k，則直線方程為ykx，與yx2聯(lián)立得x2kx，x22kx10，x1x21，x1x22k，y1y2k2x1x2k2k2，·x1x2y1y21.二 填空題2已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量是平行向量，與是共線向量，則m_.解析：A，B， C不共線，與不共線，又m與，都共線，m0.答案：06已知|a|3，|b|3，AOB120°，則|ab|_.答案：35已知向量a，b不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，則xy_.解析：由題意，得3x4y6且2x3y3，解得

17、x6，y3，xy3.答案：36如下圖所示，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)G，若a，b，用a、b表示_.解析：E、F分別為相應(yīng)邊中點(diǎn)，(ab)ab.答案：ab4已知a，b，實(shí)數(shù)x，y滿足xayb，則x_.答案：15若將向量a(，1)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標(biāo)為_(kāi)答案：(1，)6已知平行四邊形ABCD中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)答案：7作用于原點(diǎn)的兩個(gè)力F1，F(xiàn)2，為使它們平衡，需加力F3_.答案：3已知ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(5,7)，B(3，x)，C(2,3)，D(4，x)，則x_.答案：53.已知向量a，b滿足|b|2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是_解析：b在a上的投影是|b|cosa，b2cos60°1. 答案：14.已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是_解析：由于|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有實(shí)根，則|a|24a·b0，設(shè)向量a與b的夾角為，則cos，.答案：4.在邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC中，設(shè)ABc，a，b，則a·bb·cc·a_解析：a&#