最全的高中冪-指數(shù)-對數(shù)-三角函數(shù)知識點總結(jié)

1、最全的高中幕-指數(shù)-對數(shù)-三角函數(shù)知識點總結(jié)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一.幕函數(shù) 一、塞函數(shù)定義：形如)'=-(aeB的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中尤是自變量，a是常數(shù)。注意：塞函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何不同？【思考提示】 本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，幕函數(shù)的自變量在底數(shù)位 置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置.觀察圖：y=xy=x2y=>y=xJ=X-1定義域RRR0, +8)磯X乒RJSL值域R0, +8)R0,+ 8)曲4R且3*0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增XG0,+8) 時*增 xe(8, 0 時，減增增aG(0, +8) 時，減、&#

2、163;(8, 0) 時，減定點(0,0), (1,1)(14)2歸納：塞函數(shù)在第一象限的性質(zhì):2。，圖像過定點（0,0）（1,1）,在區(qū)間（°，+8）上單調(diào)遞增。2°,圖像過定點（1J）,在區(qū)間（"+s）上單調(diào)遞減。fn探究：整數(shù)nn的奇偶與幕函數(shù)）'=叱且?,互質(zhì)）的定義域以及奇偶 性有什么關(guān)系？ 結(jié)果：形如）' = x" 0"eZ,且八互質(zhì)）的福函數(shù)的奇偶性（1）當(dāng)m, n都為奇數(shù)時，f （x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；（2）當(dāng)m為奇數(shù)n為偶數(shù)時，f （x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；（3）當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時，f （x

3、）是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限 內(nèi).三、幕函數(shù)的圖像畫法：關(guān)鍵先畫第一象限，然后根據(jù)奇偶性和定義域畫其它象限。指數(shù)大于1,在第一象限為拋物線型（凹）;指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線；指數(shù)大于。小于1,在第一象限為拋物線型（凸）；指數(shù)等于0.在第一象限為水平的射線；指數(shù)小于0,在第一象限為雙曲線型；四、規(guī)律方法總結(jié)：y = xaa = y p,qeZ, 互質(zhì)）2、幕函數(shù)P的圖像:(1)若能化為同指數(shù)，則用幕函數(shù)的單調(diào)性；(2)若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(3)若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當(dāng)?shù)臄?shù) 作為橋梁來比較大小.-.指數(shù)與指數(shù)幕的運算1 .根式的概念：

4、一般地，如果爐那么X叫做，的 次方根，其中 >1,且 WN*.負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的田可次方根都是0,記作Vo = o0當(dāng)是奇數(shù)時，痂=，當(dāng)是偶數(shù)時，萬(心。) -« (a < 0)2 .分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：m an =(« > Ojn.n e Nn > 1)-1 1 *a "= ,:(a > 0,?, e N , > 1)竺 “/jan0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0 , 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義3 .實數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)(1 )優(yōu)"="+' (a>0,seR)；(2) (a>

5、0,seR)；(3 )(而丫(a>0,r,seR).(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地,函數(shù)y = / m >。,且“1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量， 函數(shù)的定義域為R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零 和1 .2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>l0<a<l/,/定義域R定義域R值域y>0值域y >0在R上單 調(diào)遞增在R上單 調(diào)遞減非奇非偶函 數(shù)非奇非偶函 數(shù)函數(shù)圖象都 過定點(0,1)函數(shù)圖象都 過定點(0,1)注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出： (1)在a , b± , £出)=2*缶>

6、;0且£1工1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)；(2 )若X W 0 ,則f(x) H 1 ； f(x)里遍所有正數(shù)當(dāng)且僅 當(dāng) xwR ；(3 )對于指數(shù)函數(shù)f (x) = a' (a > OMa+1) f總有f(D = a ；三、對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)1 .對數(shù)的概念：一般地，如果優(yōu)=N (a > 0,”*1),那么教x叫做以。為底N的對數(shù)，記作：x = bg.N ( 一底 數(shù)，N真數(shù)，log*一對數(shù)式)說明：1注意底數(shù)的限制a>0 ,且。W1 ；2 ax =N log, N = x ； log N3注意對數(shù)的書寫格式.片兩個重要對數(shù)：1常用對

7、數(shù)：以10為底的對數(shù)lg N ；2自然對數(shù)：以無理數(shù)e = 2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)InN .指數(shù)式與對數(shù)式的互化鬲值真數(shù).I Iii = N<=> log. N = btt底數(shù)指數(shù)對數(shù)(二)對數(shù)的運算性質(zhì)如果>0 ,且awl , M>0 , N>0 ,那么：1 logjM -N)= logflM + logfl N ；2 logn = logfl M - log. N ；3 Iogn Mn = n logfl M (n e R).注意：換底公式log ab = 1（ a >0，且"1 ； c > 0，且 cWl ； log,“b>

8、;0 ）.利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1 ） log/，/ = logfl b ； （ 2 ） log J? = !. logz, a（二）對致函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y = log. X（4 > 0 ,且4 H 1） 口U 做對數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是（0 , + OO ）.注意：1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y = 2log2 x , v = iogs都不是對5數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:（。>0 ,且“1）.2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a：>10«<1-/ ,/C111、上V -定義域X

9、>0定義域x>0值域為R值域為R在R上遞 增在R上遞減函數(shù)圖象 都過定點（1,0）函數(shù)圖象都過 定點（1,0 ）四.三角函數(shù)知識要點1 .與夕（0°<a <360°）終邊相同的角的集合（角。與角尸的終邊重合）物1萬=人360。 + a, A £ Z終邊在X軸上的角的集合:加I£ = 2x180Fez終邊在），軸上的角的集合:加12=-180。+90。/“ 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：EA = -9OF£ZSINCOS .用函數(shù)值大小關(guān)系圖終邊在）0軸上的角的集合：加1尸=-180。+45七"晶質(zhì)"粼晾二

10、三終邊在y = f軸上的角的集合:加/ = -180。-45。入Z若角。與角尸的終邊關(guān)于X軸對稱，則角。與角力的關(guān)系：。=3602-/ 若角。與角尸的終邊關(guān)于y軸對稱，則角a與角尸的關(guān)系：。=3602 + 180。-萬 若角。與角尸的終邊在一條直線上，則角。與角£的關(guān)系：。=180* +尸 角。與角耳的終邊互相垂直，則角。與角力的關(guān)系：a = 36OZ + /7±9O。2 .角度與弧度的互換關(guān)系:3600=2兀 180。=乃 1°=0.01745 1=57.30°=57°18,注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧

11、度與角度互換公式：had =吧。=57.30。=57。18 ' .1。= 2 =。1745（rad）3、弧長公式：/Tai廣扇形面積公式：s坳形=/4、三角函數(shù)：設(shè)。是一個任意角，在。的終邊上任y. </ p I?。ó愑谠c的）一點p（X, y） P與原點的距離為/cota = 9 seca = - ， csca = vxy5、三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）三角函數(shù)定義域f (x) = sinxxxeR/(.¥)= cosxxxeRf (a) = tanv<xxe. R且xxk7T + 7T.k eZ 2J/(.¥)= COtVx 1

12、 xe R且x#k/r,k eZf (a) = secx<xxe. R且xxk7T + 7T.k eZ 2J/(.¥)= CSCXx 1 xe R且x#k/r,k eZ+ x余弦、正割6、三角函數(shù)線AT.正弦線：MP； 余弦線：0M;正切線：7 ,三角函數(shù)的定義域：16.幾個重要結(jié)論:8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：* =吧= colacosasinatana cota = l csca siiia = l seca cosa = lsiir a + cos2 a = 1 sec2 or-tair a = 1 esc2 a-col2 a = 19、誘導(dǎo)公式：把絲士M為三角函數(shù)化為

13、a的三角函數(shù)，概括為: 2“奇變偶不變，符號看象限.三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系公式組一siax csca-=1sin x taax-cos.vsin河牌。D = sinxCOSA, scc-v=lcos.v cotx=： sin xtaav cotv=l公式組四公式組五cos(2 + x) = cos x= tanx.cot(2-hx) = cot x l+COt A=CSC .V公式組六公式組二 sin(-x) = -sinx cos(-v) = cos.v tan(-v) = -tanx cot(-x) = -cot.v公式組三sin( + x) = - sin x cos + x)

14、= -cosx tan(乃+1)=tanx cotQr + x) = cotxsin(2-.v) = -sin x cos(2-x) = cosx tan(2-x) = -tanx cot (2 乃 7) = - cot xsin(-x) = sin x cos(乃一 x) = - COS.T tan(-A)= -tanx cot (萬一 X) = - cot 貢(-)角與角之間的互換公式組一公式組二cos(a 4-/7) = cos a cos p - sin a sin psin 勿=2 sin a cos acos(a - B) = cos a cos p + sin a sin 0co

15、s 2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 ar-1 = l-2sin2 asin( a + /?)= sin a cos (3 + cos a sin fttan2a =2 tanasin(。一/7) = sin a cos A-cos a sin pI-tcur asin = ± 2c tana 4-tail Z7 tan(a + 0)=-1 - tana tan/1 + cosa2a cos = ±2tan(a-7?) =tana - tan A1 +tana tanPa tan = ±21 + cosa 1 + cosa1-cosa sin

16、a 1-cosasin a公式組三-a2 tan .?sin a =-，a1 +1 an2公式組四公式組五sin a cos/? = sin(a + /7)+sin(a-/7) cos or sin p = isin(<2f4-/7)-sin(a-/7) cos a cos 尸=i cos(a + /7)+ cosfcz - 77)A 、cos(4一 a) = sin a 2A 、sin(-7r-a) = cosa21 - tan cosa =1 +tan2 2sin a sin p = - - |cos(a +cos(a " /?)二. a + B a-p sin a + s

17、in p = 2 sin - cos2tan 2 tan a =-iTarr 2sin a - sin ft = 2 coscos a + cos/? = 2 cosa+A . a-B sin22a + (3 a-0 cos-cos a - cos /7 = -2 sinat3 . a-B smtan(= cota2J 、.cos(- + a) = -sinar2tan( + a) = -cotaA 、sin(乃+ a) = cosa2sin-5 :與，sin -、/，.5 375 =2-35 -5 =2 + 310.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):y = sin xV = cosxy

18、 = tcinxy = cotxy = Asin(6M + 0) (A、> 0)定義域RRx 1 x /? lir H笊.k e ZxxeRBj:kk eZR值域l-l.+l)l-MRRA, A周期性2)2n至 co奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)”0,非奇非偶 當(dāng)8 = 0.奇函數(shù)單調(diào)性-y + 2, +2kff 上為增函 數(shù)； 止+ 221,2上為減函 數(shù)(kZ )(21 阮 2k八 ;上為增 函數(shù) 2Kr, (2k+ 1問 上為減函 數(shù)(&eZ)心+. 1 22)上為增函數(shù) UeZ)上為減 函數(shù)(AreZ)2k/r- - -(p，0)2kn十 L九一卬=(T)_0上為增函數(shù)

19、；rcr”2A” 十 -Q2， co32A” + =(-A) coJ上為減函數(shù)(keZ)注意：> =-&1工與y = sinx的單調(diào)性正好相反；y = -cosx與y = cosx的單調(diào)性也刈上遞減同樣相反.一般地,若y = f(x)在句上遞增(減),則, = /")在.v =憧q與y = |cos.v|的周期是"-y = sin(dn + )y = cos(5 +。) (的周期丁 = N .tan乙的周期為2乃(T = £2|回=T；如圖，翻折無效).y = sin(5+Q)的對稱軸方程是工=%乃+彳(AtgZ ),對稱中心(ki,0)；y = c

20、os3 + 0的對稱軸方程是刀=攵(AwZ),對稱中心(江+ Uo)；2k jry = tan(6K + °)的對稱中心(,0).2y = cos2.v->y = -cos(-2a) = -cos2x當(dāng) tana tan/7 = l, a + / = A/r + g(太 eZ) ； tana- tan£ = -l. a-/? =+ eZ).y = cosx與" sijx + f+ 2此|是同一函數(shù)，而,=(行+ 0)是偶函數(shù)貝Uy = (cm + 夕)=sin(tuv + A/r + 5產(chǎn))=±costov)-函數(shù)y = kmx在R上為增函數(shù).（x

21、）只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯誤的.定義域關(guān)于原點對稱是/*）具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關(guān)于原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：/（-A-） = /（X）,奇函數(shù)：f（-x） = -f（x）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：），= tanx是奇函數(shù)，尸tan（x + L）是非奇非3偶.（定義域不關(guān)于原點對稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若OEX的定義域，則/*）一定有八0） = 0.（。任X的定義域,則無此性質(zhì)）,= sin忖不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（7 =不），= c。*是周期函數(shù)（如圖）；y = |cosx|為周期函數(shù)（五

22、團 卜.SlCWlt.lQI用泉y = cos2x+的周期為江（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如" 2y = f （x） = 5 = f（x + k）,k e R . y = ncosa+sin J3 = ja2+b2 sin（a + ） + cos = 有 yja2h2 > lyl.a11、三角函數(shù)圖象的作法：1）、幾何法：2）、描點法及其特例五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線）.3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.函數(shù)y=Asin （cux + tp）的振幅A ,周期丁 =至，頻率/=_!_

23、 =曳，相位 I T In初相。（即當(dāng)x = 0時的相位）.（當(dāng)A>0, 3>。時以上公式可去絕 對值符號），由y二sinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)IAI>1）或縮 短（當(dāng)O<IAI<1）到原來的IAI倍，得到y(tǒng)二Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫 沿y軸的伸縮變換.（用y/A替換y）由y二sinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0<lwl<l）或 縮短（IcjI>1）到原來的小倍，得到丫二sinwx的圖象，叫做周期變換或叫做沿X軸的伸縮變換.（用UJX替換X）由y二sinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)（p>0）或

24、向右（當(dāng)（P<O）平行移動|（P |個單位，得到y(tǒng)=sin （x +（p）的圖象 叫做相位變換或叫做沿x軸方向 的平移.（用x + cp替換X）由y二sinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平行移 動| b |個單位，得到y(tǒng)=sinx + b的圖象叫做沿y軸方向的平移.（用y+（-b）替 換y）由y二sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin （wx +（p） （A>0, u > 0） （xGR）的圖象.要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原 圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。4、反三角函數(shù)：函數(shù)），=siiiY,保二至1的反函數(shù)叫做反正

25、弦函數(shù).記作y二arcsinx,它的定義 域是T, 1,值域是卜二. 函數(shù))，=cosx,(a-G 0, tt )的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y二arccosx,它的定義域是-1, 1,值域是。，.函數(shù)y=taiu，卜卜至j 的反函數(shù)叫做反正切函數(shù).記作二arctaiu;它的定義域是(-8, +8),值域是,將函數(shù)產(chǎn)ctgx, xE (0, Z7)的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y二arcctgx,它的定義域是(-8, +8),值域是(0, “).H.競賽知識要點 一、反三角函數(shù).1.反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)y = arcsinx是奇函數(shù)，故arcsinjr) =-arcsinx,(一定要注明定義

26、域，若xw(-oom),沒有x與y對應(yīng)，故丁 = $。工無反函數(shù)) 注.sin(arcsiiLv) = a* , x e - 1,1, arcs in x g .2 2.反余弦函數(shù)y = arccosr非奇非偶，但有arccos(-x) + arccos(r) = + 2k兀,x e -11注:® cos(arccost) = x t .re-l.li arccos.vG0,-> = cosx是偶函數(shù)，.V = arccosA非奇非偶，而y = sin工和y = arcsin.r為奇函數(shù).反正切函數(shù)：y = arctanx,定義域(-8,+°°),值域(-&

27、#163;,£) , y = arclan.r是奇函數(shù)，arctan(-v) = -arctan.v, X e (00,+8).注：tan(arctaiu) = x, x e(-oc,+8).反余切函數(shù)：y = </vcotx,定義域(-8.+0O),值域(-J，?)，y = wccotx是非奇非偶.arccot(-x) + arccot(x)=4 + 2k4 f x e (oo,+oo).注：Qj cot(6/rccotx) = x, x e (-8,+oo). y = aicsin x 與 y = arcsin(l-x)互為奇函數(shù)，y = arctanx 同理為奇而 y = arccosx與y =<nvcotA-非奇非偶但滿足arccos(-v) + arccosx =4 + 2kl.cot.v+afvcot(-x)=