浙大概率論習題

1、習題 第一講1,由盛有號碼為1,2，N的球的箱子中有放回的摸了 n次，依次記其號碼，求這些號碼按嚴格上升次序排列的概率 .2,對任意湊在一起的 40人，求他們中沒有兩人生日相同的概率.3.從n雙不同的鞋子中任取 2r（2r n）只，求下列事件的概率：（1） （1）沒有成雙的鞋子；（2）只有一雙鞋子；（3） 恰有二雙鞋子;（4） 有r雙鞋子.4,從52張的一副撲克牌中，任取5張，求下列事件的概率：（1） （1）取得以A為打頭的順次同花色 5張；（2） （2）有4張同花色；（3） （3）5張同花色；（4） （4）3張同點數(shù)且另2張也同點數(shù).思考題：1 .（分房、占位問題）把n個球隨機地放入 N個不

2、同的格子中，每個球落入各格子內的概率 相同（設格子足夠大，可以容納任意多個球）。1. I.若這n個球是可以區(qū)分的，求（1）指定的n個格子各有一球的概率；（2）有n 個格子各有一球的概率；若這n個球是不可以區(qū)分的，求（1）某一指定的盒子中恰有 k個球的概率；（2）恰好有m 個空盒的概率。2,取數(shù)問題）從1-9這九個數(shù)中有放回地依次取出五個數(shù)，求下列各事件的概率：（1）（1）五個數(shù)全不同；（2） 1恰好出現(xiàn)二次；（3）總和為10.第二講1,在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，問方格要多小時才能使硬幣與線不相交的概率小于2 .在某城市中共發(fā)行三種報紙：甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報 （記

3、為A）的有 45%訂乙報（記為B）的有35%訂丙報（記為C）的有30%同時訂甲、乙兩報（記為D）的有 10%同時訂甲、丙兩報（記為E）的有8%同時訂乙、丙兩報（記為F）的有5%同時訂三中 報紙（記為G）的有3%.試表示下列事件，并求下述百分比：（1）只訂甲報的；（2）只訂甲、 乙兩報的；（3）只訂一種報紙的；（4）正好訂兩種報紙的；（5）至少訂一種報紙的；（6）不 訂任何報紙的.3 .在線段0,1上任意投三個點，求0到這三點的三條線段能構成三角形的概率.4 .設A, B, C, D 是四個事件，似用它們表示下列事件：(1) (1)四個事件至少發(fā)生一個；(2) (2)四個事件恰好發(fā)生兩個；(3)

4、 (3)A,B都發(fā)生而C, D不發(fā)生；(4) (4)這四個事件都不發(fā)生；(5) (5)這四個事件至多發(fā)生一個；(6) (6)這四個事件至少發(fā)生兩個；(7) (7)這四個事件至多發(fā)生兩個.5 .考試時共有n張考簽，有m(m n)個同學參加考試.若被抽過的考簽立即放回，求在 考試結束后，至少有一張考簽沒有被抽到的概率.6 .在§3例5中，求恰好有k(k n)個人拿到自己的槍的概率.7 .給定 P P(A),q P(B),r P(A B),求 P(AB)及 P(AB).思考題1.(蒲豐投針問題續(xù))向畫滿間隔為a的平行線的桌面上任投一直徑l(l a)為的半圓形紙片，求事件“紙片與某直線相交”

5、的概率；第三講1. n件產品中有m件廢品，任取兩件，求：(1) (1)在所取兩件中至少有一彳是廢品的條件下，另一件也是廢品的概率；(2) (2)在所取兩件中至少有一件不是廢品的條件下，另一件是廢品的概率.2 .袋中有a(a 3)只白球，b只黑球，甲乙丙三人依次從袋中取出一球(取后不放回).試用全概率公式分別求甲乙丙各取得白球的概率3 .敵機被擊中部位分成三部分：在第一部分被擊中一彈，或第二部分被擊中兩彈，或第三 部分被擊中三彈時，敵機才能被擊落.其命中率與各部分面積成正比.假如這三部分面積之比為一. 若已中兩彈，求敵機被擊落的概率.4 .甲乙兩人從裝有九個球，其中三個是紅球的盒子中，依次摸一個

6、球，并且規(guī)定摸到紅球 的將受罰.(1) (1)如果甲先摸，他不受罰的概率有多大(2) (2)如果甲先摸并且沒有受罰，求乙也不受罰的的概率.(3) (3)如果甲先摸并且受罰，求乙不受罰的的概率.(4) (4)乙先摸是否對甲有利(5) (5)如果甲先摸，并且已知乙沒有受罰，求甲也不受罰的概率.5.設事件A, B, C相互獨立，求證：A b，AB,A B也相互獨立.思考題1 .甲、乙兩人輪流擲一均勻的骰子。甲先擲，以后每當某人擲出1點時則交給對方擲，否則此人繼續(xù)擲。試求事件An=第n次由甲擲的概率.2 (賭徒輸光問題)兩個賭徒甲、乙進行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為q, p+

7、q=1,每一局后，負者要付一元給勝者。如果起始時甲有資本a元，乙有資本b元，a+b=c,兩個賭徒直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸光的概率 第四講1 .對同一目標進行三次獨立射擊，要害各次射擊命中率依次為，和.求：(1) (1)三次射擊中恰好一次擊中目標的概率；(2) (2)至少一次擊中目標的概率.2 .在一電器中，某元件隨機開、關，每萬分之一秒按下面規(guī)律改變它的狀態(tài)：(1) (1)如果當前狀態(tài)是開的，那么萬分之一秒后，它仍然處于開狀態(tài)的概率為(1),變?yōu)殚]狀態(tài)的概率為；(2) (2)如果當前狀態(tài)是閉的，那么萬分之一秒后，它仍然處于閉狀態(tài)的概率為(1),變?yōu)殚_狀態(tài)的概率為假a殳 01101, 并且

8、用n表示該元件萬分之n秒后處于閉狀態(tài)的概率.請給出n的遞推公式.3 .在伯努里概型中，若A出現(xiàn)的概率為 p ,求在出現(xiàn)m次以前A出現(xiàn)k次的A概率(可 以不連續(xù)出現(xiàn)).4 .甲乙丙三人進行某項比賽，設三人勝每局的概率相等.比賽規(guī)定先勝三局者為整場比賽的優(yōu)勝者.若甲勝了第一、三局，乙勝了第二局，問丙成了整場比賽優(yōu)勝者的概率是多少5 . 一個人的血型為 。A、B AB型的概率分別為、和.現(xiàn)任選五人，求下列事件的概率：(1) (1)兩人為O型，其他三人分別為其他三種血型；(2) (2)三人為O型，兩人為A型；(3)沒有一人為AB型第一講1. 1.設為重復獨立伯努里試驗中開始后第一個連續(xù)成功或連續(xù)失敗的

9、次數(shù)，求 的分布.2. 2.直線上一質點在時刻0從原點出發(fā)，每經過一個單位時間分別概率或向左或向右移動一格，每次移動是相互獨立的.以n表示在時刻n質點向右移動的次數(shù)，以Sn表示時 刻n質點的位置，分別求n與Sn的分布列.3. 3.每月電費帳單是由電力公司派人上門抄表給用戶的.如果平均有1%勺帳單與實際不符，那么在500張帳單中至少有10張不符的概率是多少4. 4.某車間有12臺車床獨立工作，每臺開車時間占總工作時間的2/3,開車時每臺需用電力1單位，問：(1) (1)若供給車間9單位電力，則因電力不足而耽誤生產的概率等于多少(2) (2)至少供給車間多少電力，才能使因電力不足而耽誤生產的概率小

10、于1%5. 5.螺絲釘?shù)膹U品率為.問一盒中應裝多少螺絲釘才能保證每盒有100只以上好螺絲釘?shù)母怕什恍∮?0%6. 6.某疫苗所含細菌數(shù)服從泊松分布，每一毫升中平均含有一個細菌，把這種疫苗放入5 只試管中，每管2毫升，求：(1) (1)5只試管中都有細菌的概率；(2) (2)至少有3只試管含有細菌的概率.第二講1. 1.在半彳空為R,球心為O的球內任取一點 P,(1) (1)求 =OP的分布函數(shù)；(2) (2)求P( R R/2).2. 2.確定下列函數(shù)中的常數(shù)A,使它們?yōu)槊芏群瘮?shù)Ax2, 1 x 2, p(x) Ax, 2x3, P(x) Ae *；(2)0,其他.3. 3.某城市每天用電量不

11、超過100萬度，以 表示每天耗電量(即用電量/100),其密度為2P(x) 12x(1 x) (0 x D .問每天供電量為80萬度時，不夠需要的概率為多少 供電量為90萬度呢3假設一塊放射性物質在單位時間內發(fā)射出的粒子數(shù) 服從參數(shù)為 的泊松分布.而每個發(fā)射出的 粒子被記錄下來的概率均為 p,就是說有1 p的概率被計數(shù)器遺漏.如果個 粒子是否被記錄是相互獨立的 ，試求記錄下的 粒子數(shù) 的分布。4. 4.設 N(5,4),求 a,使 P( a) 0.90; (2) P(|5| a) 0.01.5. 5.若 U0,5,求方程有實根的概率.第三講1. 1.試用(，)的分布函數(shù)F(x, y)表示下列概

12、率：(1)P(a b, y);(2)P( a, y); (3)P(,).2設二維隨機向量(，)的密度函數(shù)為p(x,y)Ae2(xy),x 0,y 0 0, 其它.(1) (1)確定常數(shù)A;(2)求分布函數(shù)F(x,y);(3)求的邊際密度；(4)計算概率2,01); (5)計算概率 P( 2); (6) P( ).3. 3.設隨機變量與 相互獨立，且P( 1) P( 1) p 0,又P( 0)P(0)1 p,定義：0,為奇數(shù)，1 ,為偶數(shù).問p取什么值能使，獨立 第四講2 221. 1.設(，)服從圓x y r上的均勻分布，(1) (1)求，各自的密度；(2) (2)判斷與是否相互獨立.2. 2

13、.設(，)的密度函數(shù)為 P(x, y),求證 與 相互獨立的充分必要條件為p(x,y)可分離變量，即p(x, y)g(x) h(y).此時g(x),h(y)與邊際密度有何關系3. 3.利用上題的充分必要條件判斷與的獨立性，若它們的密度函數(shù)為p(x, y) 4xy, 0 x 1,0 y 1,0,其他.P(x,y)(2)8xy, 0 x y 1,0, 其他.第五講1.四張小紙片分別寫有數(shù)字0, 1, 1,2.有放回地取兩次，每次取一張，以,分別記兩次取得的數(shù)字，求，各自的分布以及的分布.2. 2.設，是獨立隨機變量，分別服從參數(shù)為1及2的泊松分布，試直接證明(1) 服從參數(shù)為1+ 2的泊松分布；k

14、 1 k 2 n k P( k | n) Cn () () ,k 0,1, , n.(2) 12123. 3.若服從/2, /2上的均勻分布，匕n ,求的密度.4. 4.設，獨立同分布，且都服從0,1上的均勻分布，求的密度函數(shù)5. 設，獨立同分布，且都服從N(0,1)分布，求 /的分布密度.第六講1 .在線段(0,a)上隨機投擲兩點，求兩點間距離的密度函數(shù).2 .設，相互獨立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求U與V /的聯(lián)合密度并分別求出U與V/的密度.3 .設(，)的聯(lián)合密度為:4xy, 0 x 1,0 y 1, p(x,y)0,其他./ 22.求(，)的聯(lián)合密度.22、4.設(，)服從二兀正

15、態(tài)分布 N (0,0, 1，2 , r).求 與相互獨立的充分必要條件.第一講1. 1.某人有n把鑰匙，只有一把能打開家門.當他隨意使用這n把鑰匙時，求打開家門時已被使用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學期望.假設：(1) (1)每次使用過的鑰匙不再放回；(2) (2)每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起.2. 2.設隨機變量分別具有下列密度，求Ex,0x1, p(x) 2 x, 1 x 2, 0, 其他.3.(2)p(x)22cos x,0,/2 x /2;其他3.設分子的速度的分布密度有馬克斯韋爾分布律給出22x 0,x 0.4x一/ x、p(x) a3、exp( ”),0,分子的質量為m ,求分子的平均速度

16、和平均動能 第二講1 . 1.設事件A在第i次試驗中出現(xiàn)的概率為p , 是在n次獨立試驗中 A出現(xiàn)的次數(shù)，求E.2 .某人有門把鑰匙，只有一把能打開家門.當他隨意使用這n把鑰匙時，求打開家門時已 被使用過的鑰匙數(shù)的方差.假設：(1) (1)每次使用過的鑰匙不再放回；(2) (2)每次使用過的鑰匙與其它鑰匙混在一起.3. 某公司計劃開發(fā)一種新產品市場，并試圖確定該產品的產量.他們估計出售該產品一件可獲利m元，而每積壓該產品一件導致n元的損失。另外，該產品的銷售量預測服從參數(shù)的指數(shù)分布。問若要獲得最大利潤，應安排生產多少件產品24. 4.設 只取值于a,bL求證Var (b a) /4.5. 5.

17、設二維隨機向量(，)的分布密度為2 x y, 0 x 1,0 y 1, P(X，y)0,其他.求協(xié)方差矩陣.思考題1.設袋中裝有 m只顏色各不相同的球.有返回地摸取n次，摸到 種顏色的球.求E第三講1. 1.設U a b,V c d,a,b,c,d為常數(shù)，a,c同號，求證U ,V的相關系數(shù)等于 ,的相關系數(shù).2. 2.設隨機變量1,2, 2n的數(shù)學期望都為0,方差都為1,兩兩間的相關系數(shù)都為求 1 n與 n 1 2n之間的相關系數(shù).3. 3.設，都是只取兩個值的隨機變量，求證：如果它們不相關，則它們獨立. 思考題1. 1.設(，) N(0,0,1,1,r),求證：Emax( , ) J(1 r

18、)/ .2. 2.設 E E0,VarVar 1,Cov( , ).證明：E max( 2, 2) 1.12.第四講1. 1.求下列分布的特征函數(shù)： k 1(1) P( k) pq ,k 1,2, ,q 1 p;(2) 服從a,a上的均勻分布；(3) 服從參數(shù)為的指數(shù)分布.2. 2.設(t)是特征函數(shù)，求證下列函數(shù)也是特征函數(shù)(1) (t)n(n Z );(2) (t)網和0).at3. 3.證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應的分布.(1)cos2t;(2)(12;(3)(1 t2)1.思考題1. 1.試舉例說明在逆極限定理中，在t 0處連續(xù)這一條件不能少2. 2.當，獨立時，則有第一講1. 1.下列分布函數(shù)列是否弱收斂于分布函數(shù)Fn(x)(2)Fn(x)0, x1/ n,1,x1/ n.0,x n,(x n) /2n, n x n,1,x n.2. 2.設 n為獨立同分布隨機變量序列， n的分布列為0.5 0.5n ,/2kk 1 k .求證 n的分布收斂于-1,1上的均勻分布第二講1. 1.設某車間有200臺同型機床，工作時每臺車床60%勺時間在開動，每臺開動時耗電千瓦.問應供給該車間多少千瓦電力才能有的把握保證正常生產2. 2. 一家火災保險公司承保160幢房屋，最高保險金額有所不同，數(shù)值如下表所示：最大保險金額(萬元)10 20 30 50 1