中心極限定理及其意義

1、題目：中心極限定理及意義課程 名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)班級(jí)：成員組成：聯(lián)系方式：2012年5月25日摘要：本文從隨機(jī)變量序列的各種收斂與他們的關(guān)系談起， 通過(guò)對(duì)概率經(jīng)典定理一 一中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種條件下的結(jié)論做了比較系統(tǒng)的闡 述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)一一平均結(jié)果的穩(wěn)定性。經(jīng)過(guò)對(duì)中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布用正態(tài)分布來(lái)表示的理論依據(jù)。同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立分布與獨(dú)立不同分布兩個(gè)角度來(lái)研究。同時(shí)通過(guò)很多相關(guān)的正反例題，進(jìn)行說(shuō)明這些定理所給出的條件是否是充要條件；簽掉在實(shí)際問(wèn)題中靈活的應(yīng)用和辨別是否服從我們給出的定理?xiàng)l件。 最后了解一些簡(jiǎn)單簡(jiǎn)便

2、 的中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、僅是計(jì)算以及保險(xiǎn)業(yè)務(wù)等方面的應(yīng)用， 來(lái)進(jìn)一步的闡明了中心極限定理分支學(xué)課中的中重要作用和應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量，獨(dú)立隨機(jī)變量，特征函數(shù)，中心極限定理引言：在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，他們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因數(shù)的綜合 影響所形成的，而其中每一個(gè)別因數(shù)在總的影響中所起的作用都是渺小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。中心極限定理自提出至今，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富。在概率論中，把研究在什 么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理稱為中心 極限定理。但其中最常見(jiàn)、最基本的兩個(gè)定理是德莫佛 -拉普拉

3、斯中心極限定理 和林德貝格-勒維中心極限定理。一、三個(gè)重要的中心極限定理1 .獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2,Xn,一相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差 n2 XkE(Xk)",D(Xk)=Q下項(xiàng)=1,2，.),則隨機(jī)變量之和號(hào) 的標(biāo)準(zhǔn)化變量， nnn“ Xk -Eft Xk'、Xk -n丫二 k ±k 生：二_k 4的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)于任意X滿足，X Xk -nNi 2!而小(用=nm：pn.-x2_/2出=八I J2 .李雅普諾夫定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2Xn, -相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差EXk>,DXk =:20(k=1,

4、2,)nB； =、c-2k J_若存在正數(shù)6,使得當(dāng)nT=C時(shí),做空僅卜”2節(jié)3。n則隨機(jī)變量之和生¥勺標(biāo)準(zhǔn)化量化,nnnv Xk -E、 Xk '、XkZnXkk 1Bn 一X k - %kAj1k± xBn一±2/2dt 一.：，x的分布函數(shù)Fn對(duì)于任意X滿足,lim Fn(x) =lim P« nnJsC3 .棣莫弗一拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量"n（n=12"）服從參數(shù)為n,P（°<P<1）的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意X,有_xe' /2dt =力 x"n -np，以 7np(1 p)二、中

5、心極限定理的意義：首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要 n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨 機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量， 所以可以利用它解決很多實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)這還 有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事 實(shí)，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布， 這就奠定了中心極限定理的首要 功績(jī)。其次，中心極限定理對(duì)于其他學(xué)科都有著重要作用。 例如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參 數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征值的抽樣 分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大， 得知未知總體的樣本特征值 就

6、近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)， 幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問(wèn)題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個(gè)方面也間接地開(kāi)辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于主導(dǎo)地位.三、中心極限定理的應(yīng)用：1.1 保險(xiǎn)學(xué)的概率論數(shù)學(xué)原理保險(xiǎn)體現(xiàn)了 “人人為我，我為人人”的互助思想，它以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為依據(jù)。保 險(xiǎn)中的風(fēng)險(xiǎn)單位是發(fā)生一次風(fēng)險(xiǎn)事故可能造成標(biāo)的物損失的范圍，也就是遭受損失的人、場(chǎng)所或事物。風(fēng)險(xiǎn)單位是保險(xiǎn)公司確定其能夠承擔(dān)的最高保險(xiǎn)責(zé)任的計(jì) 算基礎(chǔ)。理想狀態(tài)下的風(fēng)險(xiǎn)單位應(yīng)獨(dú)立同分布， 這種現(xiàn)象的意義在于保險(xiǎn)人可以據(jù)此向每個(gè)潛在的被保險(xiǎn)人收取同樣的保費(fèi)。同時(shí)根據(jù)中心

7、極限定理，含有 n 個(gè)風(fēng)險(xiǎn)單位的隨機(jī)樣本的平均損失符合正態(tài)分布，這個(gè)結(jié)論對(duì)保險(xiǎn)費(fèi)率的厘定極 為重要。保險(xiǎn)公司各險(xiǎn)種的交費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是經(jīng)過(guò)精算后以同期銀行利率比照制定的， 所以在此基礎(chǔ)上應(yīng)盡可能地多承保風(fēng)險(xiǎn)單位，也就越可能有足夠的資金賠付保險(xiǎn) 期內(nèi)發(fā)生的所有索賠，從而使保險(xiǎn)公司的運(yùn)營(yíng)更加平穩(wěn)，也就越有利于投保人或 被保險(xiǎn)人.既然可利用中心極限定理能合理地厘定保險(xiǎn)費(fèi)率，為何老年人投保一再被提高門檻呢？京江晚報(bào)3月28日就有報(bào)道“對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，老年人屬于高風(fēng)險(xiǎn) 人群，存在的不確定因素較多，老年人發(fā)生醫(yī)療費(fèi)用支出和意外事故的風(fēng)險(xiǎn)要比 年輕人大。所以，從賠付率的角度考慮，保險(xiǎn)產(chǎn)品在推出前會(huì)經(jīng)過(guò)精密測(cè)算，設(shè)

8、置相應(yīng)的年齡門檻和不同的繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)”.我們以最簡(jiǎn)單的一年定期壽險(xiǎn)為例說(shuō)明保險(xiǎn)公司為何對(duì)中老年人保險(xiǎn)總提高門檻，老年人投保壽險(xiǎn)與年輕人有何區(qū)別。 如表1所示是臺(tái)灣遠(yuǎn)雄人壽千喜男 性一年定期壽險(xiǎn)的部分費(fèi)率及死亡率（見(jiàn)附錄三、四）。為說(shuō)明問(wèn)題，我們選取 25-29歲作為年輕人的代表，61-65歲為老年人的代表，將這兩個(gè)年齡段進(jìn)行比 較。遠(yuǎn)雄人壽千喜男性一年定期壽險(xiǎn)的部分費(fèi)率及死亡率表1單位：元/每萬(wàn)元基本保額年齡保費(fèi)死亡率年齡保費(fèi)死亡率25180.000945612150.01489226180.000925622350.01636127180.000915632570.01797228180.000

9、918642810.01974029190.000933653080.021677現(xiàn)假定每個(gè)年齡各有1000個(gè)人投保，則按照下列計(jì)算公式得出表 2:總保費(fèi)=1000父單個(gè)人的保費(fèi)（元）=0.1父單個(gè)人的保費(fèi)（萬(wàn)元），賠付額=104 ME（元）=E1（萬(wàn)元），E：為100階年齡為歲的個(gè)體在一年內(nèi)死亡的期卷不同年齡的總保費(fèi)及賠付額表2單位：萬(wàn)元年齡25262728296162636465總保費(fèi)1.81.81.81.81.921.523.525.728.130.8賠付額0.950.930.920.920.9314.916.418.019.721.7由于計(jì)算中假定每個(gè)年齡的投保數(shù)相同， 而老年人的死亡

10、率比年輕人高，則導(dǎo)致賠付額的基數(shù)較大，所以還不能很好的解釋問(wèn)題，這里再引入賠付率（賠付 率=賠付額/總保費(fèi)），得出表3。各年齡的賠付率表3年齡25262728296162636465賠付率52.851.751.151.148.969.369.870.070.170.5%從表3可知，25-29歲總體的賠付率呈下降趨勢(shì)，而 61-65歲總體的賠付率 呈上升趨勢(shì)且賠付率處于較高水平。 那么對(duì)于一個(gè)保險(xiǎn)公司，她的經(jīng)營(yíng)主要是以盈利為目的，老年人身體狀況較差，是疾病、死亡的多發(fā)群體，面臨的風(fēng)險(xiǎn)大，所以為老年承保壽險(xiǎn)時(shí)保險(xiǎn)公司的賠付率相對(duì)較高。因此老年人投保壽險(xiǎn)一再被提高門檻。同時(shí)，老年人壽險(xiǎn)的保費(fèi)若定價(jià)較

11、高，但老年人收入相對(duì)偏低，可能 買不起，而定價(jià)過(guò)低，保險(xiǎn)公司也承受不起，從而更加影響公司的盈利。因此， 壽險(xiǎn)公司更愿意把目光投向年輕人群體。1.2 定期壽險(xiǎn)保險(xiǎn)金的給付模型在上述比較中，我們知道了保險(xiǎn)公司更青睞于年輕群體，但是在保險(xiǎn)公司追 求利益的同時(shí)還應(yīng)考慮到他們的償還能力。我國(guó)保險(xiǎn)法規(guī)定“保險(xiǎn)公司應(yīng)該 具有與其業(yè)務(wù)相適應(yīng)的最低償付能力?！毕旅嫖覀兙蛯⒔⒍ㄆ趬垭U(xiǎn)保險(xiǎn)金給付 模型。首先，根據(jù)國(guó)際精算協(xié)會(huì)的慣例，采用下列符號(hào)：(x): 一個(gè)新生兒生存至x歲，記為個(gè)體(x);tPx: (x)活過(guò)年齡x+t歲的概率，即(X)至少再活t年的概率；*t)： (x)活到t歲的個(gè)體恰好在此年齡死亡的可能性

12、，稱為死亡力。且當(dāng)N(t)為常數(shù)時(shí)有tL t Px =e6：是衡量在某個(gè)確切時(shí)點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)，稱為利息力，簡(jiǎn)稱息力；1.3 為貼現(xiàn)因子，表示1年后得到1元在年初時(shí)刻的現(xiàn)值；91T (x):個(gè)體(x)的未來(lái)生存時(shí)間?，F(xiàn)假定利率為常數(shù)i ,則有：i 1 =ln(1 i),d =，v = 1 i 1 i再記n年定期壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)人給付額的現(xiàn)值為 Z,則Z的精算現(xiàn)值為1-1,vtt Px J(x)dtAx：n = oZ的j階矩為1 11jAl：n=Ax：nj5 (其中 j6表小計(jì)算時(shí)米用利息力j6)nvjtt Px(x)dt=0現(xiàn)假定1000個(gè)x歲獨(dú)立的個(gè)體投保一年定期壽險(xiǎn)，死亡保險(xiǎn)金為1萬(wàn)元，在死亡

13、后立即給付。死亡力為常數(shù) k =0.06 o死亡給付是由某投資基金提供，投資基金的利息力為6=0.04。若要能夠支付未來(lái)死亡保險(xiǎn)金的概率不低于0.975,現(xiàn)在所需資金最低額度是多少？記1000個(gè)個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間分別為T1(x)，T2(x)，.，T1000 (x),總給付金額的現(xiàn)1000vTj(x)值為短，則精算現(xiàn)值為111Ax：1 = vtpx(x)dt= ereJdt =二階矩為2 Ax：1 =6：12、.二 e2 te At 二J (1 -e,，) =0.6(1-e©) =0.057130 14_ )=-(1-e- 4) =0.0560Ti(x)、211、21000一Tj(x)

14、Pvj()j 11000 vTj(x)1000 T(x)-1“ vj -1000Ax：1,1j4W -1000Ax：1£W)=P()J000D(v j( ). 1000D(v j( )=P(j=1,1000D(vTj(x)W -52.7)7.2611000Ax：1一 N-52.77.26 )因此方差D(v )= Ax：1 -(Ax1) =0.0527。設(shè)W為滿足要求所需的最低資金額 度，利用中心極限定理，我們可以得到：再利用正態(tài)分布0.975的分為點(diǎn)1.96 ,得W -52.7 1.967.26即W67萬(wàn)元。所以，若需要能夠支付未來(lái)死亡保險(xiǎn)金的概率不低于0.975,現(xiàn)在所需資金的最低

15、額度是67萬(wàn)元。1.3定期壽險(xiǎn)業(yè)的盈虧我們已經(jīng)知道壽險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)是為了盈利，而一個(gè)保險(xiǎn)公司的盈虧，是否破產(chǎn)， 我們也可以運(yùn)用中心極限定理的知識(shí)做到估算和預(yù)測(cè)。例如設(shè)某壽險(xiǎn)公司在一段 時(shí)間內(nèi)有n個(gè)同一年齡的人投保一年定期壽險(xiǎn)，他們是相互獨(dú)立彼此互不影響 的，且在一年內(nèi)沒(méi)有新的投保人加入該項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，也沒(méi)有人退保。那么就可以 利用中心極限定理估計(jì)該公司接下這些保單的盈虧概率。設(shè)每份保單的保費(fèi)為 M保額為Q該年齡的死亡率為p,令X j,第i個(gè)人死亡，i=1,2,n,0,第i個(gè)人仍活著nZ XiL N(n,p), i /再結(jié)合中心極限定理有該保險(xiǎn)公司的虧本概率為n M八 n MP(n M 二x Q)

16、=P(- ：x)=P(-np Qx -npnp(1 - p) np(1- p)則有-npnp(1 二 p)若計(jì)算出的P較小，則對(duì)公司的盈利有好處，若P偏大，則為了盈利著想，壽險(xiǎn) 公司可通過(guò)增加保費(fèi)等手段來(lái)降低虧本率。1.4實(shí)例分析例1 :某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有10000人參加，每人每年交200元。若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給其家屬1萬(wàn)元。設(shè)老年人的死亡率為0.017 ,問(wèn)：(1)保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率多大？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于20萬(wàn)元的概率多大？解：設(shè)表年內(nèi)參保人的死亡數(shù)。則由題可知 £|_ B(10000,0.017)。(1)要使保險(xiǎn)公司虧本，必須滿足

17、20010000-10000 <0>200貝U P ( >200)=1- P (0W <200)200 -10000 0.017、，/0 -10000 0.0171- :-j()一：/()10000 0.017 0.983.10000 0.017 0.983= 1-：，(2.3256)-力(-13.1783)=0.01即保險(xiǎn)公司虧本的概率為1%(2)要使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于 20萬(wàn)元，必須滿足200 10000-10000 - 200000<180則 P (0<<180) 1：,(180 -10000 0.017 )_：.：,(0-10000 0.

18、017)10000 0.017 0.98310000 0.017 0.983：，(0.78)-中(-13.1783) =0.7823即保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于20萬(wàn)元的概率為78.23%。2.1中心極限定理在決策問(wèn)題中的應(yīng)用 決策是為了達(dá)到某種預(yù)定的目標(biāo)，在若干可供選擇方案中決定一個(gè)合適方案的過(guò)程。那么在就某事的可行性進(jìn)行決策時(shí)，單個(gè)人認(rèn)為是否可行稱為個(gè)體決策, 幾個(gè)人(至少3個(gè)人)按照少數(shù)服從多數(shù)的方法決定是否可行稱為集體決策。 話說(shuō)，人多力量大，那么我們習(xí)慣上認(rèn)為的集體正確決策的概率大于每個(gè)單個(gè)個(gè) 體正確決策的概率是否正確呢？下面將應(yīng)用中心極限定理來(lái)討論分析這個(gè)問(wèn)題。首先，我們給出一些簡(jiǎn)單

19、的數(shù)據(jù)，利用特殊法看看該說(shuō)法是否正確。見(jiàn)表 記n為參與集體決策的人數(shù)，假定每個(gè)個(gè)體做出正確決策的概率相同， 且均為 決策方式也是根據(jù)少數(shù)服從多數(shù)原則，則在空格中所填數(shù)據(jù)為集體決策正確的概4。p,率，記為 味正（其中n=30、40時(shí)應(yīng)用中心極限定理計(jì)算 展正）集體決策做出正確決策的概率表43510203040p=0.250.15620.10350.01970.00390.00090.0001p=0.50.50.50.50.50.50.5p=0.750.84380.89650.92190.98610.99910.9999從表4中，我們可以看到以下兩個(gè)情況:1 一 當(dāng)p=0.25亡（0,萬(wàn)）時(shí)，隨著

20、n的增加，P集正逐漸下降情況一：!當(dāng)p =0.5時(shí)，凄正三J 與n無(wú)關(guān)1 一 當(dāng)p=0.75亡（萬(wàn),1對(duì)，隨著n的增加，P集正逐漸增加由此我們得出第一個(gè)猜測(cè),猜測(cè)一:當(dāng)pW（0,1）時(shí)，隨著n的增加，P集正逐漸下降 21 .1.：當(dāng)p= 一時(shí)，p集正三一，與n無(wú)關(guān)2 2當(dāng)嗎訓(xùn)，隨著n的增加，鼠逐漸增加一1當(dāng)p=0.25三（0,萬(wàn)）時(shí)，P集正cp情況一：當(dāng)p=0寸，凄正=p ，一1當(dāng)p =0.75三q,1）時(shí)，凄正p顯然由這一情況可知，集體正確決策的概率大于每個(gè)單個(gè)個(gè)體正確決策的概率這 一說(shuō)法是不一定正確的，同時(shí)我們也得出了第二個(gè)猜測(cè)，猜測(cè)二:_1-當(dāng)pu（0，a）時(shí)，凄正p,1 一W當(dāng)p =2

21、時(shí)，正=p_ 1 -當(dāng)puq/M，p集正p現(xiàn)在就利用一般法檢驗(yàn)兩個(gè)猜測(cè)是否正確，下面將結(jié)合中心極限定理來(lái)做出判 斷。設(shè)X為n個(gè)人中做出正確決策的人數(shù)，令_；1，第i個(gè)人的決策正確Xi = （0，第i個(gè)人的決策錯(cuò)誤i =1,2,., n，t己 P(Xi =1) =p, P(Xi =0) =1p,貝 1nX =£ Xi, EX =np, DX =np(1 p)。 i ±將X標(biāo)準(zhǔn)化，并由中心極限定理可得X -np u N(0,1)。np(1 二 p)當(dāng)n成分大時(shí),nP(X ./)=P(為下面討論方便，令X -npn-np 2 .np(1-p) , np(1 - p)=1一：,(n

22、-np二).np(1-p)(8)1-pn _2.p(1- p)nnpf (n) =2 一np(1 - p).P(X n) =1 _ .D(f (n)那么對(duì)于猜測(cè)一：(1)當(dāng)0<p<1時(shí)，f(n)是大于0的單調(diào)增函數(shù),2若 ni <明,則0 < f (ni)< f (n2).中(f(ni)：,(f(n2)n1 xn2、二 P(X > >P(X > ° 22同理可證明(2), (3)。所以猜測(cè)一是正確的。對(duì)于猜測(cè)二：當(dāng)n充分大時(shí)，我們可以得到二 1 i, n右0 < p < -，則f (n)T 收，此時(shí) P(X a-)t 0;2

23、21 . . n 1/右p =-,則f (n) =0,此時(shí) P(X >)=一；2 224 1，一，n若 <p <1則f (n)T q,此時(shí)P(X >n)T 1。由此可知，當(dāng)n充分大時(shí)，若1cp父1則p(x >口)無(wú)限趨近于1,而p是一個(gè)大于 221/2小于1的常數(shù)，所以必定有P(XAn)Ap,即1 <p<1是P(X>D)>p的必要條件; 222相反當(dāng)P(X >2)：>p時(shí)，是否也有工<<：1呢？不妨采用反證法說(shuō)明。若 p=l,則 222nn7 -np1P(X ;) =1"(-2)二邛，2.np(1-p) 2

24、,1矛盾。右0<p<-,則當(dāng)n充分大時(shí),2nnp P(X >n) =1 -玄 J =)趨于 0,2. np(1 -p)1 n一 一而p是一個(gè)大于0小于-的常數(shù)，所以P(Xa )也不可能大于p,矛盾。即p2 2只能屬于(，1)。因此，當(dāng)n充分大時(shí)，P集正a p的充要條件為-<p<1 o6 22在驗(yàn)證猜測(cè)一與二的基礎(chǔ)上，我們可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)0.5<p<1時(shí)集 體決策為正確的概率大于個(gè)體決策為正確的概率，并且當(dāng)參與人數(shù) n不斷增加 時(shí)，集體決策正確的概率也不斷趨向于 13.0中心極限定理在生產(chǎn)供應(yīng)、需求上的應(yīng)用現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)廠家的生產(chǎn)量大于需求量

25、時(shí)，會(huì)導(dǎo)致商品的積壓以及商品價(jià) 值難以體現(xiàn)；而當(dāng)廠家的生產(chǎn)量小于需求量時(shí)， 供給又難以滿足社會(huì)需求。為了 盡量防止“供”過(guò)于大于“求”及盡可能的滿足社會(huì)需求度，我們就要利用中心 極限定理來(lái)估算一些值，具體如下。3.1 根據(jù)現(xiàn)有生產(chǎn)能力及用戶需求狀態(tài)，估算能滿足社會(huì)需求的可靠程度某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)n個(gè)人的商品供應(yīng)，在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件該商 品的概率為p,假定在這段時(shí)間內(nèi)每個(gè)人購(gòu)買與否彼此獨(dú)立，現(xiàn)該工廠僅生產(chǎn)M件冏品,試估計(jì)能滿足該地區(qū)人們需求的概率P若記：1,第i個(gè)人購(gòu)買該商品.Xi =/、，=1,ni(0,第i個(gè)人不購(gòu)買該商品nn、Xi -npPC Xi <M) P( i- M n

26、p_)_：.：,(m -np)_B ,y. np(1 - p) np(1- p) np(1-p)通過(guò)查正態(tài)分布表可求得P o3.2 根據(jù)社會(huì)需求狀態(tài)來(lái)確定生產(chǎn)任務(wù)某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)n個(gè)人的商品供應(yīng)，在一段時(shí)間內(nèi)每人需用一件該商品的概率為p,假定在這段時(shí)間內(nèi)每個(gè)人購(gòu)買與否彼此獨(dú)立，現(xiàn)該工廠至少有P的把握滿足社會(huì)需求，試問(wèn)該工廠需要生產(chǎn)商品的件數(shù)M若記1,第i個(gè)人購(gòu)買該商品L1 . nXi =W " " ,，一、一，i，n0,第i個(gè)人不購(gòu)頭該商品則N、Xi N(n, p) i ±nn.二.Xinp二 P(Z Xi <M ) =P( < M -np ) =

27、6( 1M _np ) >P ,i1.np(1-p) .np(1-p), np(1-p)令子(x|.)二：，上np +xpynp(1-p),(11)所以該工廠至少需要生產(chǎn)np +x（x：np（1-p）件商品。3.3 根據(jù)需求及產(chǎn)品質(zhì)量情況來(lái)確定生產(chǎn)量的生產(chǎn)量No若記則所以由可知令1, Y =0,第i件商品是次品第i件商品不是次品Nv Y(N,p)i 土,i=1,N,NP（N，丫 _M）二眇i 土Nn_ Y - NpPY MN -M) =P( "_ ( p) M ) 一 ：i 1Np(1 - p) . Np(1 -p)某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)的商品供應(yīng)，該商品的次品率為p,而在一段時(shí)

28、間內(nèi)共 需M件該商品且要求至少有P的可靠程度來(lái)保證居民購(gòu)買到的是正品， 求該工廠(y)= 再通過(guò)解不等式N(1 -p) -M.Np(1 二p)由上式可解出生產(chǎn)量N的范圍3.4 例題分析設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)液晶電視機(jī)以滿足某地區(qū) 100家客戶的需求，若由以往的 統(tǒng)計(jì)資料表明：每一用戶對(duì)該電視機(jī)的年需求量服從九=2的泊松分布，現(xiàn)在該廠這種電視機(jī)的年產(chǎn)量為220臺(tái)，能以多大的把握滿足客戶的需求量呢？若該廠 要有97.5%的把握滿足客戶的需求，則該廠至少生產(chǎn)多少臺(tái)這種液晶電視機(jī)？現(xiàn) 在該廠引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，將液晶電視機(jī)的出廠正品率提高到95%現(xiàn)估計(jì)一年內(nèi)該地區(qū)的社會(huì)總需求量為500臺(tái)，則為了有99.7%的把握保證客戶購(gòu)買到的是正品液晶電視機(jī)，則該廠該年至少生產(chǎn)多少臺(tái)液晶電視機(jī)？11解：設(shè)這100戶客戶對(duì)這種液