中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn)模型幾何變換的三種模型手拉手半角對(duì)角互補(bǔ)

1、中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練旋轉(zhuǎn) 模型幾何變換的三種模 型手拉手半角對(duì)角互補(bǔ)ConlPany DOCUment number : WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998幾何變換的三種模型手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)知識(shí)關(guān)聯(lián)圖'等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等邊三角形（包含費(fèi)馬點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)變換對(duì)角互補(bǔ)模型翟鬻角含半角模型Z特殊角一般角等線段變換（與圓相關(guān)）T【練1】真題演練（2013 北京中考）在/MBC 中，AB = ACi ZBAC = a （0<<600） 將線段BC繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段Q .如圖1,直接寫出3辺的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆蝗鐖D2

2、, ZBCE = I50%ZABE = 60°,判斷ZE的形狀并加以證明；在（2）的條件下，連結(jié)DE,若ADEC = 45°,求&的值.囹2【練2】（2012年北京中考）在ZkABC中，BA = BC 9 ABAC = a t中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段Q4繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2得到線段PO（1）若& = 60。且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1）,線段CQ的延長(zhǎng)線交射線3M于 點(diǎn)D,請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并寫岀ZCDB的度數(shù)；（2）在圖2中，點(diǎn)P不與點(diǎn)重合，線段CQ的延長(zhǎng)線與射線BM交于 點(diǎn)6 猜想ZCDB的大?。ㄓ煤琎的代數(shù)式表示），并加以證明；（3）對(duì)于適當(dāng)大小的J當(dāng)點(diǎn)P在

3、線段3M上運(yùn)動(dòng)到某一位置（不與點(diǎn) B, M重合）時(shí)，能使得線段CO的延長(zhǎng)線與射線交于點(diǎn)D ,且 PQ = QD,請(qǐng)直接寫出的范圍.例題精講考點(diǎn)1 :手拉手模型：全等和相似包含:等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等邊三角形伴隨旋轉(zhuǎn)岀全 等，處于各種位置的旋轉(zhuǎn)模型，及殘缺的旋轉(zhuǎn)模型都要能很快看出來（1）等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰出伴隨全等）（2）等邊三角形旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等邊出伴隨全等）（3）等腰直角旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等腰直角出伴隨全等）（4）不等邊旋轉(zhuǎn)模型圖（共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不等腰出伴隨相似）【例1】（14年海淀期末）已知四邊形ABCD和四邊形QMG都是正方形，且AB>C

4、E.（1）如圖連接BG、DG .求證：BG = DE ；（2）如圖2,如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為T ,將正方形CEFG繞著點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)恰好使得CG/BD I BG = BD .求ZZQE的度數(shù)；請(qǐng)直接寫出正方形CEFG的邊長(zhǎng)的值.【題型總結(jié)】手拉手模型是中考中最常見的模型，突破口常見的有哪些信息常見的考試方法有哪些【例2】(2014年西城一模)四邊形ABCD是正方形，MEF是等腰直角三角形，ZBEF = 90°, BE = EF,連接 DF, G 為 DF 的中點(diǎn)、,連接 EG, CG , ECo(1) 如圖24-1,若點(diǎn)£在CB邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出EG與GC的

5、位 置關(guān)系及芋的值；(2) 將圖24-1中的 繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖24-2所示位置，請(qǐng)問(1)中所得的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成 立，請(qǐng)說明理由；圖【題型總結(jié)】此類型題目方法多樣，你還能找到其他的解題方法嗎另外涉及到的中點(diǎn)輔肋線你還能說. 釉【例3】(2015年海淀九上期末)如圖1,在AABC中，BC = A9以線段AB為邊作 ABD,使得AD = BD,連接DC，再以DC為邊作使得DC = DE, ZCDE = ZADB = a (1)如圖2,當(dāng)ZABC = 45°且Q = 90。時(shí)，用等式表示線段P, DE之 間的數(shù)量關(guān)系；圖1(2)將線段CB沿著射線CE的方

6、向平移，得到線段空，連接BF, AF .若 = 90,依題意補(bǔ)全圖3,求線段M的長(zhǎng)；請(qǐng)直接寫出 線段AF的長(zhǎng)(用含。的式子表示)備用圖【例4】（13年房山一模）（1）如圖1, WC和（?£>£都是等邊三角形，且3、C、D三點(diǎn)共 線，聯(lián)結(jié)2、BE相交于點(diǎn)八 求證：BE=AD （2）如圖2,在中，ZBCD<120 ,分別以眈、CD和BD為邊 在ZXBCD外部作等邊ZMBC、等邊 MDE和等邊.MDF ,聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點(diǎn)P ,下列結(jié)論中正確的是 （只填序號(hào)即可）AD = BE = CF ； ZBEC = ZADC ； ZDPE =乙EPC = ZCPA =

7、3 ；（3）如圖2,在（2）的條件下，求證：PB+ PC+ PD = BE .圖2【題型總結(jié)】到三個(gè)定理的三條線段之和最小，夾角都為120° 旋轉(zhuǎn)與最短路程問題主要是利用旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問題.同時(shí)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)路程最短的問題比較重要的 就是費(fèi)馬點(diǎn)問題考點(diǎn)2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋轉(zhuǎn)：構(gòu)造兩次全等【例1】（2012年西城期末）已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為“，BM, DV分別平 分正方形的兩個(gè)外角，且滿足 AN = 45。,連結(jié)MC, NCt MN.猜想線段 BM , DN和MN之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論.【例2】(2014年平谷一模)(1 )如圖1

8、 ,點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)， ZEAF = 45° ,連接EF , 則EF、BE、FQ之間的數(shù)量關(guān)系是： EF = BE+FD.連結(jié) BD,交 AE、AF 于點(diǎn) M、N ,且 MN、BM、DN 滿 足MN2 = BM2 + DNI ,請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系：(2)在ZMBC中，AB = AC ,點(diǎn)D E分別為BC邊上的兩點(diǎn). 如圖2,當(dāng)ZBAC = 60。，ZDAE = 30°時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是； 如圖 3 ,當(dāng) ABAC= a、(OoVa <90o) , ZDAE= 時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是.參考：sin2 &

9、lt;z+ cos2 = 1 】圖1圖2圖3【題型總結(jié)】角含半角的特點(diǎn)有哪些，哪些是不變的量由角含半角產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系都是有哪些如何描2÷ 2z- - HiH n AAQF4考點(diǎn)3 :對(duì)角互補(bǔ)模型常和角平分線性質(zhì)一起考，一般有兩種解題方法（全等型120°）（全等型一任意角小【例1】四邊形ABCD被對(duì)角線3D分為等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD ,其中ZA和ZC都是直角，另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2,求四邊形ABCD的而積【例2】已知：點(diǎn)P是ZMON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線PA交射線OM于點(diǎn)4.將射線 PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線OV于點(diǎn)B ,且使ZAPB+/WQV = 18

10、0 .(1)利用圖L求證：PA = PB ； (2)如圖1,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn)，當(dāng) S mb = 3SAmJ 時(shí)，求PB與PC的比值；圖1圖2【題型總結(jié)】對(duì)角互補(bǔ)模型經(jīng)常在哪里題目里出現(xiàn)題目中有哪些提示信息經(jīng)常和哪種圖形同時(shí)出現(xiàn)【例3】(初二期末)已知：如圖，在ZXABC中，AB = AC , ABAC= « ,且 60o<<120o P 為/!BC 內(nèi)部一點(diǎn)，且 PC = AC9 ZPC4 = 120o- (1)用含的代數(shù)式表示ZAPC ,得ZAPC(2) 求證：ZBAP = ZPCB ；(3) 求ZPBC的度數(shù)P【題型總結(jié)】般涉及到線段的旋轉(zhuǎn)都可以和圓聯(lián)系起來，

11、根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)解題是一種比較便捷的全能突破【練1】(2015年昌平九上期末)如圖，已知aABC和AADE都是等腰直角三角形， ZBAC = ZDAE= 90o, AB = AC, AD = AE.連接 BD 交 AE 于 M ,連接 CE 交 AB于N , BD與CE交點(diǎn)為F ,連接AF.(1) 如圖1,求證：BD丄CE ；(2) 如圖L求證：M是ZCFD的平分線；(3) 如圖 2,當(dāng) AC = 2, ZBCE = I5° 時(shí)，求 CF 的長(zhǎng).B【練2】(2014西城九上期末)已知：AABC ,礦都是等邊三角形，M是BC與礦的中點(diǎn)，連接AD, BE (1) 如圖1,當(dāng)EF與BC在同

12、一條直線上時(shí)，直接寫出血與處的數(shù) 量關(guān)系和位置關(guān)系；(2) AABC固定不動(dòng)，將圖1中的aDF繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)& (0 W9(T)角，如圖2所示，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立， 若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，"說明理由；(3) ABC固定不動(dòng)，將圖1中的aDEF繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)Q (OtlWQW 90°)角，作DH丄Be于點(diǎn)H .設(shè)BH=* 線段加，BEIED, DA所圍成的圖形面積為S .當(dāng)AB=6, DE=2時(shí)，求S關(guān)于 "的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的X的取值范圍.【練3】(2014年朝陽(yáng)一模24題)在ABC中，AC = BC .在AAEe)中，AD = E

13、D. 點(diǎn)D、E分別在C4、AB上，(1)圖，若ZACB = ZADE = ,則CD與處的數(shù)量關(guān)系是(2)若ZACB = ZADE = 120o 1將/MED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，則CD與處的數(shù)量關(guān)系是；(3)若ZACB = ZADE = 2a(0<a <90)將/M加繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖 所示的位置，探究線段8與處的數(shù)量關(guān)系，并加以證明(用含的 式子表示)哥囹【練4】（2015年燕山九上期末）小輝遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在RtAABC中,ZEAC=90。, AB=AC,點(diǎn)，E 在邊 BC 上,ZDAE=45° .若 BD=3 , CE=I.求DE的長(zhǎng).圖1圖3小輝發(fā)現(xiàn)

14、，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o,得到aACF,連接EF（如圖2）,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及ZZME=45°,可證 FAEDAE,得 FE=DE 解 FCEl 可求得 EF （即DE）的長(zhǎng)請(qǐng)回答：在圖2中，ZFCE的度數(shù)是. DE的長(zhǎng)為RtAB（J .參考小輝思考問題的方法，解決問題：如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD, ZB+ZD=180o . E, F分別是邊 BC, 8上的點(diǎn)，且ZEAF=Abad .猜想線段BE EF, FD之間的數(shù)量 關(guān)系并說明理由【練5】(11年石景山一模)已知：如圖，正方形ABa)中，AC, BD為對(duì)角線，將 繞頂點(diǎn)A逆時(shí) 針旋轉(zhuǎn)(

15、0<<45 ),旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交BD于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,交BC、CD于點(diǎn)、E、點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF、EQ,(1) 在BC的旋轉(zhuǎn)過程中，ZAE0的大小是否改變，若不變寫出它 的度數(shù)，若改變，寫出它的變化范圍(直接在答題卡上寫出結(jié)果， 不必證明)；(2) 探究AAPQ與AEF的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明AD【練6】(2015年延慶九上期末)已知：AABC是OO的內(nèi)接三角形，AB = AC .在 ZBAC所對(duì)弧AC上，任取一點(diǎn)D ,連接AD, BD CD,(1)如圖1, ZBC = a,直接寫出ZADB的大小(用含&的式子表 示)；(2)如圖 2,如果 Z BC = o ,求證：

16、BD + CD = D ；(3) 如圖3,如果ZBAC = I20%那么加+ 8與AD之間的數(shù)量關(guān) 系是什么寫出猜測(cè)并加以證明；(4) 如果ABAC = al直接寫出BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系.【練7】(1)如圖，在四邊形ABCD中，B = AD,ZB = ZD = 90o , E、F分別是邊 BC、CQ上的點(diǎn)，E. ZEAF = 1ZBAD .求證:EF = BE+ FD; 如圖在四邊形ABCD中，AB = AD, ZB + ZD = 180o, E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，且AEAF = BADt (1)中的結(jié)論是否仍然成立不 用證明(3)如圖.在四邊形ABcD中，AB = AD

17、, ZBZADC = Wt GF分別是邊 BC, CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且AEAF=BADI (1)中的結(jié)論是否仍然 成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系， 并證明【練8】小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1, ABC中，ZACB = 30o, BC = 6, AC = 5 ,在 ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA、PB、PC,求PA +PB十PC的最小值小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重 合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩 個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短"，就可以求出這三條 線段和的最小值了 他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平

18、移的方法，發(fā)現(xiàn)通 過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題他的做法是，如圖2,將aAPC繞點(diǎn)C順時(shí) 針旋轉(zhuǎn)60o,得到連接加、BE,則處的長(zhǎng)即為所求.（1）請(qǐng)你寫出圖2中，PA +PB+ PC的最小值為；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題： 如圖3,菱形ABCD中，ZABC = 60o,在菱形ABa）內(nèi)部有一點(diǎn)P , 請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長(zhǎng)度等于E4 + PB + PC最小值的線段（保留畫圖 痕跡，畫出一條即可）； 若中菱形ABa）的邊長(zhǎng)為4,請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA +PB +PC值最小時(shí) P3的長(zhǎng)圖2圖3【練9】（2014年西城二模）在ABC , ABAC為銳角，AB>AC9 AQ平分BAC交BC于點(diǎn)D（1）如圖1，若ABC是等腰直角三角形，直