五年級奧數(shù).應(yīng)用題.工程問題(一)(A級).教師版

1、知識框架工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“ 1”的應(yīng)用題， 它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困難。 在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一、工程問題的基本概念定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。工作總量：一般抽象成單位“ 1”工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量三個基本公式：工作總量 =工作效率X工作時間，工作效率=工作總量十工作時間，工作時間=工作總量十工作效率；二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面： 具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力

2、，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； 在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運用； 學(xué)會畫線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理； 學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法因此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等 多種解題方法，不斷地開拓解題思路.三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量”

3、和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案一般情況下，工程問題求的 是時間.重難點(1) 熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；(2) 工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學(xué)會分段處理;(3) 根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進(jìn)行單位“ 1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；(4) 工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用.-例題精講、工程問題基本題型【例1】 一項工程，甲單獨做需要28天時間，乙單獨做需要21天時間，如果甲、乙合作需要多少時間?【考點】工程問題【難度】1星【

4、題型】解答【解析】將整個工程的工作量看作“1個單位，那么甲每天完成總量的28,乙每天完成總量的21 ,兩人合作每天能完成總量的 281 1-，所以兩人合作的話，需要21 12112天能夠完成.12【答案】12【鞏固】一項工程，甲單獨做需要21天時間，甲、乙合作需要 12天時間，如果乙單獨做需要多少時間?【考點】工程問題【難度】1星【題型】解答【解析】【答案】【例2】乙單獨做每天能完成總量的丄1228甲、乙兩人共同加工一批零件,1 121莎，所以乙單獨做28天能完成8小時可以完成任務(wù).如果甲單獨加工，便需要12小時完成.現(xiàn)將整個工程的工作量看作 “ 1個單位，那么甲每天完成總量的 -,甲、乙合作

5、每天完成總量的 丄,21 1222 _在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了5小時后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了 420個零件才完成任務(wù)問乙一共加工零件多少個【解析】乙單獨加工，每小時加工1丄丄 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做（1 2-丄）84時所以8 12245 8245乙每小時加工零件420 84 25（個），貝U 2-小時加工25 2- 60 （個），所以乙一共加工零件555420+60 = 480（個）.【答案】480【鞏固】 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了 6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？【考點】工程問題【難度】2星【題型】解

6、答【解析】共做了 6天后，原來，甲做 24天，乙做24天， 現(xiàn)在，甲做0天，乙做40= （24+16）天這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3 。3 2如果甲獨做，所需時間是30 30 - 75天如果乙獨做，所需時間是30 30 - 50天；甲或乙2 3獨做所需時間分別是 75天和50天.【答案】分別是 75天和50天【例3】 一項工程，甲單獨完成需要 12天，乙單獨完成需要 9天若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，甲的工作效率為丄，乙的工作效率為 1，

7、采用雞兔同籠問題的假設(shè)法，可知甲12911 1做了（ 10 1） （）4 天.9 9 12【答案】4天【鞏固】 一項工程，甲隊單獨做 20天可以完成，甲隊做了 8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊單獨做15天完成.問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】方法一：甲的工作效率為丄，甲隊8天的工作量為8-，所以乙隊15天的工作量為1 -,20205553 1乙的工作效率為-15 ，所以乙隊單獨完成這項工作需要25天525方法二：此題可以用代換法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率為甲的 -，乙5獨做的時間為20 -25 （天）。5【答案】2

8、5天【例4】 一項工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨做需要30天完成,那么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天?【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】如果將整個工程的工作量看做單位“1；'從條件中我們很容易看出：甲 乙 ，乙丙20115，1乙因此不難得到丙的工作效率為301111-；因此三個人的工作效率之和為15 30 3020130112，也就是說，三個人合作需要 12天可以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效.但是這樣做比較麻煩，事實上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了.【答案】12

9、天【鞏固】一項工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要 12天,由丙單獨做需要 36天完成,那么如果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天?【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】法一：和上題類似，我們可以有：甲1丙広不難求得，乙的工作效率為丄丄1236118，因此甲的工作效率為1181亦，從而甲丙合作的工作效率為即甲丙合作12天能完成。法二：仍然觀察上面那三個等式，我們能否不求出每個人的工作效率，而同過整體的運算直接得到甲+丙”的值呢?【答案】【例5】不難發(fā)現(xiàn),是說：甲12天我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有:丙1 29 36一項工程，甲單獨做 40甲乙丙2 乙丙甲丙，也就1 11

10、2-，所以甲丙合作12天能完成。天完成，乙單獨做 60天完成.現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天，所以經(jīng)過了 27天才完成.問甲休息了幾天?【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】法一：在整個過程中，乙沒有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的 60927亦還91111有1亦20是甲做的，所以甲干了亦22 （天）；休息了 27 22 5 （天）.40法二：假設(shè)中間甲沒有休息， 則兩人合作27天，應(yīng)完成全部工程的（丄丄）27406099，超過了單位“ 1的9 11，則甲休息了 1丄5 （天）.88840【答案】5天【鞏固】一項工程，甲單獨做 20天完成，乙單獨做30天完成甲、乙合

11、作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)做，從開工到完成任務(wù)共用了16天乙請假多少天？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的164，還有1 -1是乙做的，所以乙干了205551 11 丄 6（天），休息了 16 6 10（天），請假天數(shù)為：16 6 10（天）530114法二：假設(shè)乙沒有請假，則兩人合作16天，應(yīng)完成全部工程的（亠 丄）16 -，超過了單位“120 3034 11 1的1，則乙請假10（天）.333 30【答案】10天【例6】 一件工程，甲、乙兩人合作 8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作 12天可以完成那么甲、丁兩人

12、合作多少天可以完成？【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答111【解析】甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是、丄、丄.對于工作效率有（甲，乙）+（丙，丁）8 6 1211111（乙，丙）=（甲，?。┘? +丄-1 =丄，甲、丁合作的工作效率為 所以，甲、丁兩人合8 12 6 2424作24天可以完成這件工程.【答案】24天【鞏固】修筑一條高速公里。 若甲、乙、丙合作,90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。還需多少天可完工?【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】設(shè)這項工程為單位“ 1。

13、則甲+乙 +丙的工作效率為901,甲+乙+丁的工作效率為。丙+丁的工作效率為120丄。那么甲+乙的工作效率為（丄 丄180901201 111而，甲+乙+丙+丁的工作效率為面而80。60天。因此剩下的工程還需要（1 36）14480【答案】60天【例7】 有兩個同樣的倉庫，搬運完其中一個倉庫的貨物，甲需要6小時，乙需要7小時，丙需要14小時甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物，開始時，丙先幫甲搬運，后來又去幫乙搬運，最 后兩個倉庫的貨物同時搬完則丙幫甲小時，幫乙小時.【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】整個搬運的過程，就是甲、乙、丙三人同時開始同時結(jié)束，共搬運了兩個倉庫的貨物，所以它

14、們111 21完成工作的總時間為 2(-)21小時在這段時間內(nèi)，甲、乙各自在某一個倉庫內(nèi)搬運，67144丙則在兩個倉庫都搬運過甲完成的工作量是1 21 7，所以丙幫甲搬了 1 - 1的貨物，丙6488811 32131幫甲做的時間為丄丄1-小時，那么丙幫乙做的時間為21 1上3丄小時.8 14 444 2【答案】丙幫甲13小時，丙幫乙31小時.4 2【鞏固】 搬運一個倉庫的貨物，甲需 10小時，乙需12小時，丙需15小時.有同樣的倉庫 A和B，甲在A 倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫乙搬運，最后同時搬完 兩個倉庫的貨物丙幫助甲、乙各搬運了幾小時？【考點】工程問題【

15、難度】3星【題型】解答111 11【解析】甲、乙、丙搬完兩個倉庫共用了：2( ) 8小時，丙幫助甲搬運了 1 8310 12 151015小時，丙幫助乙搬運了 8 3 5小時.【答案】5小時【例8 一份文件，如果甲抄 10小時，乙抄10小時可以抄完；如果甲抄 8小時，乙抄13小時也可以抄完現(xiàn)在甲先抄 2小時，剩下的甲、乙合作，還需要幾小時才能完成？【考點工程問題【難度3星【題型解答1【解析由題意可知，甲、乙合作的效率為;將甲抄8小時，乙抄13小時，轉(zhuǎn)化為甲乙和抄8小時,1011乙單獨抄5小時，則乙單獨工作的效率為1 8 (13 8),10251133 1所以甲單獨工作的效率丄丄 甲、乙兩人的工

16、作效率之比為2：丄 3: 2 10 25 5050 25甲先抄2小時，這2小時的工作量如果兩人合作，需要3 2 (3 2) 11小時，5所以剩下的工作量由甲、乙合作，還需要10 ll 8-小時.5 5【答案】8-小時5【鞏固】 一件工作甲先做 6小時，乙接著做12小時可以完成；甲先做 8小時，乙接著做 6小時也可以完成如果甲做3小時后由乙接著做，還需要多少小時完成？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，甲做8 62小時的工作量等于乙做 12 66小時的工作量，可見甲做1小時的工作量等于乙做 3小時的工作量.那么可以用乙做3小時來代換甲做1小時，可知乙完成全部工作需要6

17、3 12 30小時，甲先做的3小時相當(dāng)于乙做了 9小時，所以乙還需要 30 9 21小時.【答案】21小時【例9】 某工程如果由第一、二、三小隊合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小隊合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊合干需要42天才能完成那么這五個小隊一起合干需要多少天才能完成這項工程？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】首先將各個小隊之間的組合列成表：一隊二隊三隊四隊五隊工作效率OOOXX112OXOXO17XOXOO18OXOOX丄42從表中可以看出，一隊、三隊在表中各出現(xiàn)3次，二隊、四隊、五隊各出現(xiàn) 2次，那么，如

18、果將第二、四、五小隊的組合計算兩次，那么各種組隊的工作效率和中5個小隊都被計算了 3次所111111以五個小隊的工作效率之和為： -1 2丄 3 1，五個小隊一起合干需要1 - 6天.12 7 84266【答案】6天【鞏固】 A、B、C、D、E五個人干一項工作，若 A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若B、C、D、E四人一起干需要 8天完工；若A、E兩人一起干需要12天完工那么，若 E 一人 單獨干需要幾天完工？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】從題中可以看出， A、B、C、D四人每天完成總量的 丄，B、C、D、E四人每天完成總量6的，A、E兩人每天完成總量的，可見，E 一人每

19、天完成總量的丄2 ，所812812648以E 一人單獨干需要1 丄 48天.48【答案】48天【例10】某市有一項工程舉行公開招標(biāo)，有甲、乙、丙三家公司參加競標(biāo).三家公司的競標(biāo)條件如下:公司名稱單獨完成工程所需天數(shù)每天工資/萬兀甲105.6乙153.8丙301.7 如果想盡快完工，應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？需要多少天完成？如果想盡量降低工資成本，應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？完工時要付工資多少元?【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009年，十三分，入學(xué)測試【解析】如果要想盡快完工，應(yīng)該選擇效率較高的兩家公司.由于甲、乙、丙三家公司單獨做時，每天完成的工作量分別為丄、丄、丄，所以應(yīng)該選

20、擇甲、101530乙這兩家公司合作.甲、乙兩公司合作，完成工程需要的時間為1 （丄 丄）6天；1015如果想盡量降低工資成本，應(yīng)該選擇完成全部工程所需總工資較少的兩家公司.由于甲、乙、丙三家公司單獨完成全部工程所需要的工資成本分別為5.6 10 56萬元、3.8 15 57萬元、1.7 30 51萬元，所以應(yīng)當(dāng)選擇甲、丙這兩家公司合作.1 1甲、丙兩公司合作需要 1（- 一）7.5天才能完成工程，完工時要付的工資為：1030（5.61.7） 10000 7.5547500 元.【答案】547500元【鞏固】 一項工程，若請甲工程隊單獨做需 4個月完成，每月要耗資 9萬元；若請乙工程隊單獨做此項

21、工程需6個月完成，每月耗資 5萬兀.請問甲、乙兩工程隊合作需幾個月完成？耗資多少萬元？現(xiàn)要求最遲5個月完成此項工程即可，請你設(shè)計一種方案，既保證按時完成任務(wù)，又最大限度 節(jié)省資金.【考點】工程問題【難度】4星【題型】解答【解析】甲、乙兩工程隊每月完成的工程量分別占全部工程的1，那么甲、乙合作所需時間為:61 11 （丄1） 2.4個月；甲、乙合作 2.4個月所耗資金為：（9465） 2.433.6（萬元）.甲工程隊完成全部工作要耗資 9 4 36萬元，乙工程隊完成全部工作要耗資 5 6 30萬元，乙工程隊耗資較少，為了節(jié)省資金，應(yīng)盡量請乙工程隊來做，但是乙工程隊無法單獨在五個月內(nèi)完成工程，所以

22、還需要請甲工程隊來幫助完成一部分工程所以，在五個月內(nèi)完成的最好方案為:5 122乙工程做5個月，甲工程隊做（1 _） 一 -個月，即：甲、乙兩工程隊合作一個月后，乙工程隊6 4 33再單獨做d個月.3【答案】33.6萬元甲、乙兩工程隊合作 -個月后，乙工程隊再單獨做13個月33吵課堂檢測【隨練1】一項工程，甲單獨做需要 30天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間?【考點】工程問題【難度】1星【題型】解答【解析】將整個工程的工作量看作“1個單位，那么甲每天完成總量的-，甲、乙合作每天完成總量的丄，3012乙單獨做每天能完成總量的1111，所以乙單獨做120天能完成.12 30

23、 2020【答案】20【隨練2】一件工作，甲、乙兩人合作 36天完成，乙、丙兩人合作 45天完成，甲、丙兩人合作要 60天完 成問甲一人獨做需要多少天完成？【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】設(shè)這件工作的工作量是1。甲乙兩人合作每天完成 -，甲丙兩人合作每天完成 -，乙丙兩人合3660完成的工作量，甲每天完成111 130 45 90，甲獨做需要1 90 90天答：甲一人獨做需要90天【答案】90天【隨練3】一項工程，甲獨做6天完成，甲3天的工作量，乙要 4天完成兩隊合做2天后由乙隊獨做，還 要幾天才能完成？【考點】工程問題【難度】3星【題型】解答【解析】法一：我們把工程看作兩個人

24、分別完成的，那么顯然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整個工作需要 6天，除去自己完成的 2天以外，剩下工作量甲需要 4天完成，乙的工作效率是甲的3 ,因此甲4天完成的量，乙需要4 443罟天完成,除去與甲合作的2天以外,16乙還要做1623罟天。法二：甲的工作效率為1 ,所以乙的工作效率為6113 4兩隊合作 2天后乙隊獨做還要681 6 28 2813天才能完成【答案】10家庭作業(yè)【作業(yè)1】某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成. 現(xiàn)在甲先單獨做 42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？【考點】工程問題【難度】2星

25、【題型】解答【解析】先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15 （天），乙 要多做48-28=20 （天），由此得出乙的工作效率是甲的3，甲先單獨做 42天，比63天少做了4463-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做 21 - 28天因此，乙還要做 28+28= 56 （天），乙還需要做 563天.【答案】56天【作業(yè)2 一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成.那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天？【考點】工程問題【難度】2星【題型】解答【解析】方法一：對于工作效率有：（甲，乙）+（乙，丙）一（丙，甲）

26、=2乙，即1+1 -丄=12為兩倍乙的工891872作效率，所以乙的工作效率為丄3 而對于工作效率有，（乙，丙）一乙=丙，那么丙的工作效率為144-丄3 =丄那么丙一個人來做，完成這項工作需1十丄=48天。91444848方法二：2（甲，乙，丙）=（甲+乙）+（乙、丙）+（甲、丙）=-+ - + =蘭,所以仲，乙，丙）=蘭+289187272212121上丄，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為 上丄那么丙單獨工作的工作效率為上- 6天完成的工程量為41441441441，那么丙一個人來做，完成這項工作需48天.48【答案】48天【作業(yè)3】一項工程,甲隊單獨完成需 40天。若乙隊先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊合作，又需20天可完成。如果乙隊單獨完成此工程，則需天?！究键c】工程問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008年,希望杯，第六屆，六年級，一試【解析】甲每天完