利用二重積分證明積分不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用二重積分證明積分不等式7通過利用二重積分證明第9設(shè)01,證明&1，) <ldx <(9)證明記/二f】d七JO則 4J1 Je/dxcfy */?:-/<不£記5尸（嚴(yán)十,上£/）.5/（/ +廣£"），則5,UDG.注意到次；0.所以f dwfy < 卜 dxdy <£e -d.Kdy即 J dffj're 'dr < 4J2re - dr o 即 甘)（4/口由此，即證得原不等式成立,3利用二重積分的正定性例4 設(shè)網(wǎng)g科也"”上的正值可積函數(shù).（I）是

2、單調(diào)增的可積函數(shù).81%（1）/1*）去J（ X J 例 X）應(yīng)三 I 心）、X ）f X ）g（x）f/x.證明：我們同樣可以用分割求和一再用有窮的相隔不等式.迪過極限過程將到一在這里我們再給出一種用二 重枳分正定性證叫的方法.考慮於 & 。&I I J：P（1門*）«）向-（。（工爐用）I %（霽）/工）杰）=%同。（丁加工-同-同J：P&電=L ）川工打“川/（工）*（*1-4？向打交樵工與的位置.立即可得2 L”白（1-甘" 1出力將兩式相加.得 2 3 L fup（x）p（ J）|/（.V）-/（¥）I | fffx）- （y）.

3、 ill J/（ vj （x）是單調(diào)好函數(shù)，且P（H）。.積分號中函數(shù)對任意K與丁恒取正值.故2 A3。.即J）（對才）引工）酬工）山）-（ j%f）以打由J 0例6.設(shè)f（x）, g（x）在a,b上連續(xù)且單調(diào)增加，求證:bbb(b - a) g(x)f (x)dx - f (x)dx g(x)dxaaa分析：右端出現(xiàn)了兩個(gè)積分，若將兩個(gè)積分的積分變量換成不同符號則可化為二重積分： bbbbb bb bf(x)dx g(x)dx= f(y)dy g(x)dx= f (y)g(x)dxdy = f(x)g(y)dxdy aaaaa aa abb bb b而左邊亦可化為二重積分：(b - a) g

4、(x)f(x)dx= f(x)g(x)dxdy = f(y)g(y)dxdy aa aa a這樣就化為二重積分的比較了。 bbb證：令 I =(b-a) g (x) f (x)dx - f (x)dx g (x)dx aa-ab bb bb b貝U I = a a f(x)g(x)dxdy - f(x)g(y)dxdy = f (x)g(x) - g(y)dxdy a aa aa a學(xué)習(xí)必備歡迎下載b b同樣可得 I = = a a f(y)g(y)-g(x)dxdyb b兩式相加得 2i = f (x) - f (y) g(x) - g(y)dxdy _ 0bbb故 I = (b a) g(

5、x) f (x)dx - a f (x)dx ： g(x)dx > 0結(jié)論得證。例1設(shè)函數(shù)f (x )為10,1 上的單調(diào)減少且大于0的連續(xù)函數(shù)，1212xf x dx f x dx求證：_2_° xf x dx 0fx dx1111證明：令 I = ° xf x dx ° f2 x dx _ °xf2 x dx ° f xdx112121=0 xf X dx 0 f y dy - 0 xf x dx。f y dy1 1=0 0xf y f x f y -f x ”dy1 1同理I= L y yf (x f (y Xf (x )- f (

6、y )dxdy兩邊相加整理得2I= Hf(yf(xlx-yfy)-f(x"xdy ,f (x )>0且在0,1 上單調(diào)減少，x-yl-fy-fxl.0二I20命題得證?？偨Y(jié)：當(dāng)題設(shè)條件中告知被積函數(shù)減少或增加時(shí)，并沒有指明是否可導(dǎo)，且積分區(qū)間相同時(shí)，將命題化為差式利用變量的對稱式化為二重積分來進(jìn)行證明學(xué)習(xí)必備歡迎下載三,重積分法證明不等式2例3設(shè)Ax）在區(qū)間k力上連續(xù).證明”/U）小1 wr (b - a) f(x)dx.分析公二/八）五（積分與積分變最的記號 無關(guān)）2,f證明 f(x )dx = f(x)dx f( y )dy =(其中。= aj> X a,A )7=(x) + /2(y) dxdv = (b - a)I）f二J化為三重枳分,再利用熟知的不等式進(jìn)行放縮.例2設(shè)ihS切在/打上連續(xù)，證明：(X )(lx證明f( )g( x)dxa=/Arfy<x)g(x )f(y)g(y)dy.由“