同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》第2章導(dǎo)數(shù)與微分教案總結(jié)

1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的：1、 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和 法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之 間的的關(guān)系。2、 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3、基本

2、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4、高階導(dǎo)數(shù)；6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§ 1導(dǎo)數(shù)概念一、引例1.直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為ss是t的函數(shù)s f(t)求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度考慮比值s S) f(t) f(to) t to t to這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t to內(nèi)的平均速度 如果時(shí)間間隔選較短這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻 to的速度但這樣做是不精確的更確地應(yīng)當(dāng)這樣 令t to 0取比值f(t) f(to)的極限 如果這個(gè)極限存在

3、設(shè)為v即t tof(t) f(to)v limt tot to這時(shí)就把這個(gè)極限值 v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t 0的速度2 .切線問(wèn)題設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M 在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N作割線MN當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C 趨于點(diǎn)M時(shí) 如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置 MT直線MT就稱為曲線C有點(diǎn)M處 的切線設(shè)曲線C就是函數(shù)y f(x)的圖形 現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn)M(xo, yo)(yo f(xo)處的切線 只要定出切線的斜率就行了為此在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x, y)于是割線MN的斜率為tan y yof(x)f(Xo)X Xo x xo其中 為割線MN的傾角 當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)x xo如果當(dāng)x o時(shí) 上式的

4、極限存 在設(shè)為k即f (x) f (xo)k limX Xox xo存在 則此極限k是割線斜率的極限也就是切線的斜率這里k tan 其中 是切線MT的傾角 于是 通過(guò)點(diǎn)M(xo, f(xo)且以k為斜率的直線 MT便是曲線C在點(diǎn)M處的切線二、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題看出非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限lim f(x)畑x X0X Xo令 x x Xo 貝y f(xo x) f(xo)f(x) f(xo) X xo相當(dāng)于 X 0于是 lim f(x)x xoXf (Xo)Xo成為lim y 或 lim 0X) f(Xo)x 0 XX 0X定義

5、 設(shè)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義當(dāng)自變量x在xo處取得增量 x(點(diǎn)xo x仍在該鄰域內(nèi))時(shí)相應(yīng)地函數(shù)y取得增量y f(xo x) f(xo)如果y與x之比當(dāng)x 0時(shí)的極 限存在則稱函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)并稱這個(gè)極限為函數(shù) y f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)記為y |x § 即lim 乂 lim f(Xox) f(Xo)X o XX 0X也可記為y巴或df!X)X0dX x xodX x xo函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成f(x)在點(diǎn)xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在 導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式常見(jiàn)的有f(xo) lim f(xo h) f(xo)h ohf(xo) lim

6、 f (x) f (xo)X xox xo在實(shí)際中需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題 在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述如果極限lim* f(xo)不存在 就說(shuō)函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處不可導(dǎo)x ox如果不可導(dǎo)的原因是由于lim 上_%)f(x°)x ox也往往說(shuō)函數(shù) y f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大如果函數(shù)y f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)就稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo) 這時(shí)對(duì)于任一 x I都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作y f(x) dy或dx dx

7、導(dǎo)函數(shù)的定義式y(tǒng) lim f(x x) f(x) lim f(x h) f(x)x oxh ohf (xo)與f (x)之間的關(guān)系函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (x)就是導(dǎo)函數(shù)f(X)在點(diǎn)x xo處的函數(shù)值即f (xo) f (x) x xo導(dǎo)函數(shù)f (x)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù) 而f (xo)是f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f (x)在xo處的值 左右導(dǎo)數(shù)所列極限存在則定義15f(x)在xo的左導(dǎo)數(shù)f (xo)hlin3f(Xo h) f(xo)hf(x)在Xo的右導(dǎo)數(shù)f (Xo)limh of(Xo h) f(Xo)h如果極限hlimof(Xo hh f(Xo)存在則稱此極限值為函數(shù)在Xo的左導(dǎo)數(shù)如果極

8、限hlimof(Xo hh f(Xo)存在則稱此極限值為函數(shù)在Xo的右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系f (xo) A f (Xo) f (Xo) a求導(dǎo)數(shù)舉例1.求函數(shù)f(x) C (C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)f(x) lim f(x h) f(x)h 0C Climh 0 h即(C )求f(x) 1的導(dǎo)數(shù)xf (x) lim f(x h) f(x)h 01him。訂1xhlimh 0 h(x h)xlimh 0 (x求f(x) . x的導(dǎo)數(shù)f(x) lim f(x h) f(x)h 0lim Jh 0 h-_ 1_、x h x 2，xhim01limh 0h( x h x)例2.求函數(shù)f(x) xn(n為正

9、整數(shù))在x a處的導(dǎo)數(shù) 解 f lim f(x) f(a)x把以上結(jié)果中的x換成lima x ax 得 f (x) nxxn anx a xn 1即lim (xn 1 axn 2aan1)nan(xn) nxn 1(C) 0 (1)1x2(、x)(x )x sin x 解 f (x) lim f (x h) h 0更一般地有(x )例3 .求函數(shù)f(x)'其中為常數(shù) 的導(dǎo)數(shù)f(x)lim沁h(yuǎn) 0h) sinx hh2 cos(x )sin2 2h sin lim cos(x )2 cosxh 02 h2即 (si n x) cos x用類似的方法 可求得 (cos x ) sin xl

10、im 里h 0 h例4 .求函數(shù)f(x) a x(a>0 a 1)的導(dǎo)數(shù) 解 f(x) lim f(x h) f(x)h 0axlimo呻令U a呱両治"logaex1axl na特別地有(ex) e5.求函數(shù)f(x) log ax (a>0 a 1)的導(dǎo)數(shù) f(x) lim f(x h) f(x)h 0Iim loga(x h) logaXh 01 logaexf(x) lim 沁h(yuǎn) 0凱訴M h 1him0loga(1 護(hù)1xlna1丈叫Oga(1xh) hx1 1Xae 亦1(logax)亦特殊地 (ln x)11(logaX) -(l nx)-xln ax3 .單

11、側(cè)導(dǎo)數(shù)極限lim f(x h) f(x)存在的充分必要條件是 h 0hlim f(x h) f(x)h 0h及l(fā)imh 0f(x h) hf(x)都存在且相等f(wàn)(x)在x0處的左導(dǎo)數(shù)f (X0)limh 0f(Xh) hf(x)f(x)在X0處的右導(dǎo)數(shù)f (X0)limh 0f(xh) hf(x)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f(X0)和右導(dǎo)數(shù)f(X0)都存在且相等如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo) 且右導(dǎo)數(shù)f (a)和左導(dǎo)數(shù)f (b)都存在就說(shuō)f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo)例6 .求函數(shù)f(x) x|在x 0處的導(dǎo)數(shù)f(0 h) f(0)|

12、h| 彳解 f (0) limlim 1h 0hh 0 hf (0) lim f(0 h) f(0) lim 回 1 h 0hh 0 h因?yàn)閒 (0) f (0)所以函數(shù)f(x) |x|在 x 0處不可導(dǎo)四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f (xo)在幾何上表示曲線y f(x)在點(diǎn)M(xo, f(xo)處的切線的斜率 即f (x 0) tan其中是切線的傾角如果y f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大這時(shí)曲線y f(x)的割線以垂直于x軸的直線x x°為極限位置 即曲線y f(x)在點(diǎn)M(X0, f(x。)處具有垂直于 x軸的切線x X。由直線的點(diǎn)斜式方程可知曲線y f(

13、x)在點(diǎn)M(x0, y。)處的切線方程為y y° f(X0)(x X0)過(guò)切點(diǎn)M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y f(x)在點(diǎn)M處的法線如果f (X0) 0法線的斜率為從而法線方程為f (X0)y y01 (x X0)f (X0)例8求等邊雙曲線y丄在點(diǎn)(£ 2)處的切線的斜率并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法x 2線方程3f (X0) (X2)3x22XX)解y 盤所求切線及法線的斜率分別為ki (*24 k2丄1k1 4所求切線方程為y 24(x即 4x y 4 0所求法線方程為y 2!(x 丄)4'2即 2x 8y 15 0例9求曲線yx x的通過(guò)點(diǎn)(0

14、4)的切線方程解設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X0則切線的斜率為于是所求切線的方程可設(shè)為3 y X。, x 2 / Xo(x x0)根據(jù)題目要求 點(diǎn)(0 4)在切線上因此4 Xo、.Xo 3、Xo(O Xo)解之得Xo 4于是所求切線的方程為y 4.4 3 i4(x 4)即 3x y 4 0四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)y f(X)在點(diǎn)xo處可導(dǎo) 即lim f (冷)存在 貝VX 0 Xlimy lim yx limylimx f (x0)0 0x 0 x 0 xx 0xx 0這就是說(shuō) 函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo處是連續(xù)的所以 如果函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)另一方面一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)

15、卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)例7.函數(shù)f (x) 3 x在區(qū)間(，)內(nèi)連續(xù) 但在點(diǎn)x 0處不可導(dǎo)這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x 0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大lim f(0 h) f(0)恤王衛(wèi)h ohh o h§2 2函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u u(x)及v v(x)在點(diǎn)X具有導(dǎo)數(shù)那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)X具有導(dǎo)數(shù) 并且u(x) v(x) u (x) v(x)u(x) v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)u(x) u(x)v(x) u(x)v(x)v(x)v2(x)證明(1)u(x) v(x) himou(X h) v(X h) u(X) v

16、(X)lim 吩 h) u(x) g h) v(x)v(x)h 0 hh法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為(u v) u vu(x)v(x) Iimu(x h)v(xhh) u(x)v(x)1|imhu(x h)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x) lim u(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) v(x)h 0 hhlim u(xh)u(x) |im v(xh) u(x) lim v(xh)v(x)h 0hh 0h 0hu (x)v(x) u(x)v (x)其中l(wèi)im v(x h) v(x)是由于v (x)存在故v(x)在點(diǎn)x連續(xù)h 0法則(2)可

17、簡(jiǎn)單地表示為(uv) u v uvu(x h) u(x)u(x) Iim v(x h) v(x) Iim u(x h)v(x) u(x)v(x h)(3) limlimv(x) h 0 hh 0 v(x h)v(x)hlim u(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x)h 0v(x h)v(x)hlimh 0u(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x) hhv(x h)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x) v2(x)法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為(v)uv uv(u v) u v (uv) u v uv(;)u v uvv2例如 設(shè) u u(x)、v v(

18、x)、定理1中的法則(1)、可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形 w w(x)均可導(dǎo)則有(u v w) u v w(uvw) (uv)w (uv) w (uv)w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw即(uvw) u vw uv w uvw在法則中如果v C(C為常數(shù))則有(Cu) Cu例1.y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解y(2x 3 5x 2 3x 7)(2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3)5 x 2)3 x)2 3x 2 5 2x 3 6x 2 10x3例2f (x) x3 4cosx sin -2求 f (x)及 f (邁)解f (x) (x3)(4

19、cosx)(si nR3x2 4sin xf ()-:2 4 2丿4例3. y ex(sin xcos x)求y解y e ) (sin xcos x)ex(sin xcos x)ex(sin xcos x)e x (cos xsin x)x2e cosx例 4. y ta n x 求 y解 y (ta nx)(沁)(sinn/osx)cosxcos2 xcos2x2sin2x導(dǎo) se&xcos2 xcos2 x即 (tan x) sec?x例 5. y sec x 求 y解 y (secx)(丄) cosx f (cosx)沖 sec x tan x cosxcos2 xcos2x即(

20、sec x) sec x tan x用類似方法還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(cot x)cscFx(csc x) csc x cot x二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則y f 1(x)在對(duì)定理2如果函數(shù)x f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y) 0那么它的反函數(shù) 應(yīng)區(qū)間Ix x|x f(y) y Iy內(nèi)也可導(dǎo) 并且f 1(x)1 或 dy f (x) f (y)或 dx dx dy1 (x)存在簡(jiǎn)要證明由于x f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù))所以x f(y)的反函數(shù)y且f 1(x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)任取x I x給x以增量x( x 0 x x I x)由yf *x)的單調(diào)性可知y f

21、 1(x x) f 1(x) 0因?yàn)閒 1(X)連續(xù)故ximo y 0從而f 1(x) lim 丄x 0 xlim 1y 0 x f (y)y上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)例 6 .設(shè) x sin y y -,y為直接函數(shù)則y arcsin x是它的反函數(shù) 函數(shù)x sin y在開(kāi)區(qū)間("2，2)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(sin y) cos y 0 因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則(arcsin x) -(sin y)在對(duì)應(yīng)區(qū)間I x (1 1cosy 1 sin 2y1 1)內(nèi)有11 x2類似地有(arccosx)1、1x2例 7 .設(shè) x ta n y y (y,)為直接函數(shù)則

22、y arctan x是它的反函數(shù)函數(shù)x tan y在區(qū)間("2，_2)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)2(tan y) sec y 0 因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則在對(duì)應(yīng)區(qū)間(arcta n x)(tan y)sec2 y 1 tan2 y|x (11 x2)內(nèi)有類似地有(arccot x)11 x2a y(a 0 a例8設(shè)x)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且(ay) ayln a 0因此由反函數(shù)的求導(dǎo)法則1)為直接函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間則y loga x是它的反函數(shù) 函數(shù)x ay在區(qū)間Iy (1 x (0)內(nèi)有1(log a x)(ay) ayl na xlna到目前為止所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來(lái)了那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)

23、雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)In tan x、ex3、的導(dǎo)數(shù)怎樣求?三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3如果u g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo) 函數(shù)y f(u)在點(diǎn)u g(x)可導(dǎo)可導(dǎo)且其導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)fg(x)在點(diǎn) xdxf (u) g (x)或心證明 當(dāng)u g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí)立y=f (x)也是常數(shù)此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零結(jié)論自然成因此當(dāng)u g(x)在 x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí)fg(xdydx簡(jiǎn)要證明fg(x x) fg(x)u 0此時(shí)有x) fg(x) g(x x)g(x x) g(x)g(x)xf (U U) f (u) g(xx) g(x)lim y limx 0f(u u) f(u)叫瞼 x)

24、 g(x) = f (u) g (x)業(yè) lim - dx x 0 xlim - x 0 u xlim yu 0忸弋 f(u)g(x)9 y ex3 求 dxx3函數(shù)y ex3可看作是由ydx10 yeux3復(fù)合而成的因此直® eu 3x2 3x2ex3du dxsin代求半1 x2 dx函數(shù)y sin”2x卞是由y sin u2x口復(fù)合而成的dy dy dudx du dxcosu(1對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后2(1 x2) (2x)2cos 傘(1 x2)21 x2x2)2就不必再寫(xiě)出中間變量11-l nsin x 求興吐(In sinx) (sinx) dxsin x1 cos

25、x cot x sin x12. y 31 2x2 求魚(yú) dx4x33 (1 2x2)2.142dy (1 2x2)3丄(1 2x2) 3 (1 2x2) dx3例如 設(shè) y f(u) u (v) v (x)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形 則dy du dy dlu ddx du dx du dv dx例 13. y Incos(ex)求字In cos(ex) cos(ex)cos(ex)14.1 sin(ex) (ex)cos(ex).1 sine x求dxexta n(ex)sin1(e x).1 sin e x（吋.1 sin e xcos1x(12) (ln x)x17

26、sin 丄 1e x cos 例15設(shè)x 0證明幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(X ) xln x解因?yàn)閤 (e ln x) e ln x所以(x ) (e ln x) e ln x( ln x)四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) (C) 0(2) (x )x 1(3) (si n x) cos x(4) (cos x)sin x(5) (tan x) secfx(6) (cot x)cscFx(7) (sec x) sec xtan x(8) (csc x)csc x cot x(9) (ax) a x ln a(10) (ex) ex(11) (logax)1xln a(13) (a

27、rcsin x)1.1x2(14) (arccos x)1、1 x2(15) (arctanx)11 x2(16) (arccot x)11 x2232 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u u(x) v v(x)都可導(dǎo) 貝y(1) (u v) u v(2) (C u) C u(3) (u v) u v u v(u)u v uvv23 反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)x f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f (y) 0則它的反函數(shù)y f 1(x)在lx f(|y)內(nèi)也可導(dǎo) 并 且f 1(x)或dx1dxdy4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則復(fù)合函數(shù)y fg(x)的導(dǎo)數(shù)為設(shè)y f(x)而u g(x)且f(u)及g(x)都可

28、導(dǎo)興先畔或y(x) f (u)g(x)例16求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)閟h x 1(ex e x)所以1 1(sh x)(ex e x) (ex e x) ch x即(sh x) ch x類似地有(ch x) sh x例17求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù)解因?yàn)閠h x響所以ch x(th x)ch2x sh2xch2x1ch2x例18求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù)解因?yàn)閍rsh x ln(x 、1 x2)所以(arsh x)1x2 111 x2由 arch x In(x .x2 1) 可得(arch x)1 1 x由 arth x -In 可得(arth x)2 I x類似地可得(arch x

29、)1x2 1(arth x)11 x2例 19. y sin nx sinnx (n 為常數(shù))求 y 解 y (sin nx) sinnx + sin nx (sin n x)nn 1ncos nx sin x+sin nx n sin 1 x (sin x )nn 1n 1ncos nx sin x+n sin x cos x n sin x sin(n+1)x§2. 3高階導(dǎo)數(shù)一般地函數(shù)y f(x)的導(dǎo)數(shù)y f (x)仍然是x的函數(shù) 我們把y f (x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y f(x)的二階導(dǎo)數(shù)記作y、f (x)或dx2即y (y) f (x) f (x)d2y a(魚(yú))dx2 dx

30、dx相應(yīng)地 把y f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)叫做函數(shù)y f(x)的一階導(dǎo)數(shù)類似地 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 叫做三階導(dǎo)數(shù) 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)分別記作般地(n 1)dnydxn如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有n階n階的導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)y稱為一階導(dǎo)數(shù)y yyy(n)都稱為高階導(dǎo)數(shù)例 1. y axb求y解yay0例 2. s sint求s解 scosi t s2sint例3 .證明函數(shù)y 、2x x2滿足關(guān)系式y(tǒng) 3y證明因?yàn)閥22x1 x函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù)也常說(shuō)成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于1 02x %

31、2 (1 Sr,2x x22x x2 (1 x)2(2x x2) .(2x x2)11(2x x2)號(hào)y3所以y 3y例4.解一般地1 0求函數(shù)xe yex的n階導(dǎo)數(shù)x ey( 4) exy可得y( n) ex(ex)(n) ex例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的解ysin x階導(dǎo)數(shù)cosx sin(x )cos(x ) sin(x )sin(x 2-)cos(x ) sin(x 2 y cos(x 3 y) sin(x 4 )般地可得y(n)sin(x nR 即(sinx)(n)sin(x nR用類似方法可得(COSX)(n)cos(x n )例6 .求對(duì)函數(shù)ln(1 x)的n階導(dǎo)數(shù)解般地1y ln

32、(1 x) y (1 x) y(1 x)y ( 1)( 2)(1 x) 3 y(1)( 2)( 3)(1 x)可得y(n)( 1)( 2)1)(1 x)(1)n1 (n 1)!(1 x)nln(1 x)(n)(1)n1 (n 1)!(1 x)n解y x 1y (1)x2y (1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x 4般地可得(n).y (1)(2)(n 1)x例6 .求幕函數(shù)y x (是任意常數(shù))的nn階導(dǎo)數(shù)公式即(x )(n)(1)(2)( n 1)x n當(dāng)n時(shí)得到(xn)(n)(1)(2)3 2 1 n!而(Xn)( n 1)0如果函數(shù)uu(x )及 vv(x)都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)

33、數(shù)那么顯然函數(shù)u(x) v(x)也在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)且(u v)(n) u(n) v(n)(uv) u v uv(uv) u v 2u v uv(uv) u v 3u v 3u v uv用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n(uv)(n)Cnku(n k)v(k)k 0這一公式稱為萊布尼茨公式例 8. y x2e2x 求 y(20)解設(shè)u e2x v x2貝U(u)(k)2ke2x(k 1,2, 20)v 2x v 2 (v)(k) 0 (k 3, 4, 20)代入萊布尼茨公式得y (20) (u v)(20) u(20) v C 201u(19)v C 202u(18) v220e2x x2 20 219

34、e2x 2x °218e2x 2 2!220e2x (x2 20x 95)§. 4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù) 形如y f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù)例如y sin x y In x +ex隱函數(shù) 由方程F(x y) 0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)例如方程x y3 1 0確定的隱函數(shù)為 y y 31 x如果在方程F(x y) 0中當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存在那么就說(shuō)方程F(x y) 0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)叫做隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的甚至是不可能的但在實(shí)際問(wèn)題中 有時(shí)需

35、要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此我們希望有一種方法不管隱函數(shù)能否顯化 都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)例1.求由方程ey xy e 0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得(ey) (xy) (e) (0)(xy) (e) (0)y xy 0e y y xy 0427從而希(x ey 0)例2.求由方程y5 2y x 3x7 0所確定的隱函數(shù) y f(x)在 x 0處的導(dǎo)數(shù)y |x 0解把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得5y y 2y 1 21x6 0由此得 y 1 21x6y 5y4 2 因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)從原方程得y 0所以,1 21x1y|x0 T|x0 2例3求橢圓攔 美1在(2,

36、3 、3)處的切線方程1692解 把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo) 得9xfyy 0從而'16y當(dāng)x 2時(shí)y 2、3代入上式得所求切線的斜率k y lx 2-44所求的切線方程為y 23丹2) 即、3x 4y 8 3 0解 把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo) 得x 20y y 089將x 2 y 3 ,3代入上式得20所求的切線方程為y 3 v 3' 3(x 2)即、3x 4y 8.3024例4.求由方程x y Isiny 0所確定的隱函數(shù) y的二階導(dǎo)數(shù)解方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1 2 Icosydy 0于是dy2dx 2 cosy上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得d2y2siny 律 4sinydx2(2

37、 cosy)2(2 cosy)3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法這種方法是先在y f(x)的兩邊取對(duì)數(shù)然后再求出y的導(dǎo)數(shù) 設(shè)y f(x)兩邊取對(duì)數(shù)得In y In f(x)兩邊對(duì)x求導(dǎo)得y f(x) In f(x)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求幕指函數(shù)y u(x)v(x啲導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)例5 .求y x sin x(x>0)的導(dǎo)數(shù)解法一兩邊取對(duì)數(shù)得In y sin x In x上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1 . . 1y cosx Inx sinx yx于是 y y(cosx Inx sinx 丄)xxsinx(cosx Inxi )x解法二這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求y xsin xesin x -In xy

38、esinxlnx(si nxlnx)xsinx(cosx In xsi nxx例6求函數(shù)y一(XJXX2)的導(dǎo)數(shù)(X 3)(x 4)解先在兩邊取對(duì)數(shù)(假定x>4)得In y 舟In(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得1y 1(丄-J1)y 2x1x2x3x4y, 1111 、于疋y ()2 x 1 x 2 x 3 x 4當(dāng) X<1 時(shí) y K1x)(2x)當(dāng) 2<x<3 時(shí) y /(X1)(X2)V(3x)(4x)Y(3x)(4x)用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果注 嚴(yán)格來(lái)說(shuō)本題應(yīng)分X 4 X 1 2 X 3三種情況討論但結(jié)果都是一

39、樣的二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與X的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程X 確定的則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參y (t)數(shù)方程所確定的函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t有時(shí)會(huì)有困難因此我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)X(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t (X)且此反函數(shù)能與函數(shù)y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y (x)若x 和y(t)都可導(dǎo)則dy dy dt dy 1_(t)dx dt dxdt 魚(yú) (t)dtdy即dy _(t)或dy宜dx dx dxdt若x(t)和 y (t)都可導(dǎo) 則魚(yú)dx (t)例7求橢圓X acost在相應(yīng)于t點(diǎn)處的切

40、線方程y bsint4解 業(yè) (bsi nt) bcost bcottdx (acost)asi nta所求切線的斜率為dy |t _bdx 1 4a切點(diǎn)的坐標(biāo)為 x0 acosa2 y0 bsinb24242切線方程為y 眩ay即 bx ay , 2 ab 0x v(t例8.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為12y v2t 2gt2求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向y V2t g t 2解先求速度的大小速度的水平分量與鉛直分量分別為x (t) vi y (t) V2 gt所以拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為V .x(t)2 y(t)2,2 (V2 gt)2再求速度的方向設(shè)是切線的傾角則軌道的切線

41、方向?yàn)閠andy y (t) v2 gtdx x (t)v(已知x (t), y (t)如何求二階導(dǎo)數(shù)y ?由x業(yè)(t)(t)(t) (t)(t)(t)3(t)例9 計(jì)算由擺線的參數(shù)方程的函數(shù)y f(x)的二階導(dǎo)數(shù)x a(t sint)所確定y a(1 cost)a(1 cost) asint a(t sin t)a(1 cost)si nt1 costcot 2 (t 2nn為整數(shù))35dx2 dx dx11 12sin2丄 a(1 cost) a(1 cost)22(t 2n n為整數(shù))三、相關(guān)變化率設(shè)x x(t)及y y(t)都是可導(dǎo)函數(shù)而變量x與y間存在某種關(guān)系從而變化率，罟與普 間也

42、存在一定關(guān)系這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)其速度為140m/min(分)當(dāng)氣球高度變化率之間的關(guān)系以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率例10 一氣球從離開(kāi)觀察員 500f處離地面鉛直上升為500m時(shí) 觀察員視線的仰角增加率是多少?解設(shè)氣球上升t(秒)后其高度為h觀察員視線的仰角為tanh500其中 及h都是時(shí)間t的函數(shù) 上式兩邊對(duì)t求導(dǎo) 得sec?d 1 dh"dT 500 dT已知d 140(米/秒)又當(dāng)h 500(米)時(shí)tan1 sec2 2代入上式得所以ddt705000.14（弧度 /秒）ddt1500140即觀察員視線的仰角增加率是每秒0

43、14弧度§. 5函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響其邊長(zhǎng)由X0變到X0x問(wèn)此薄片的面積改變了多少？設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為x面積為A則A是x的函數(shù) Ax2金屬薄片的面積改變量為A (X0 x)2 (X0)2 2X0 x ( x)2幾何意義2X0 x表示兩個(gè)長(zhǎng)為X0寬為x的長(zhǎng)方形面積 (x)2表示邊長(zhǎng)為 x的正方形的面 積數(shù)學(xué)意義當(dāng)x 0時(shí)(x)2是比x高階的無(wú)窮小 即 ( x)2。( x) 2x0 x是x的線性函數(shù)是A的主要部分可以近似地代替A定義 設(shè)函數(shù)y f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義X。及X。x在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量y f(xo x)

44、 f(xo)可表示為y A x o( x)其中A是不依賴于x的常數(shù)那么稱函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo是可微的而A x叫做函數(shù)y f(x)在點(diǎn)xo相應(yīng)于自變量增量x的微分 記作dy即dy A x函數(shù)可微的條件函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo) 且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微時(shí)其微分-dy f (xo) x證明設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微則按定義有y A x o( x)上式兩邊除以x得丄Ao( x)xx于是當(dāng)x o時(shí)由上式就得到A limy f (Xo)x ox因此如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微則f(x)在點(diǎn)xo也一疋可導(dǎo)且A f (xo)反之如果f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo)即lim

45、-x o xf (Xo)存在根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系上式可寫(xiě)成匚 f(xo)x o( x)由此又有其中 0(當(dāng)x o)且A f(xo)是常數(shù) y f (xo) x x因且f (xo)不依賴于x故上式相當(dāng)于y A x o( x)所以f(x)在點(diǎn)xo也是可導(dǎo)的簡(jiǎn)要證明一方面y A x o( x)y A o( x)lim -x o xf (xo) Axx別一方面lim f (xo)x o x_yxf (xo)y f (xo)xx以微分dy近似代替函數(shù)增量y的合理性當(dāng)f (xo) o時(shí)有l(wèi)im y lim - lim y 1x 0dyx 0 f (x0) x f g) x 0dxy dy o(dy)結(jié)論

46、 在f(xo)0的條件下以微分dy f(xo)x近似代替增量y f(xox) f(xo)時(shí)其誤差為o(dy)因此在| x很小時(shí)有近似等式y(tǒng) dy函數(shù)y f(x)在任意點(diǎn)x的微分 稱為函數(shù)的微分 記作dy或df(x)即dy f (x) x例女口d cos x (cos x) x sin x x dex (ex) x ex x例1 求函數(shù)y x2在x 1和x 3處的微分解函數(shù)y x2在x 1處的微分為dy (x2) |x i x 2 x函數(shù)y x2在x 3處的微分為dy (x ) |x 3 x 6 x例2 .求函數(shù)y x3當(dāng)x 2 x 0. 02時(shí)的微分解先求函數(shù)在任意點(diǎn) x的微分dy (x3)

47、x 3x2 x再求函數(shù)當(dāng)x 2 x 0. 02時(shí)的微分dy|x 2 x 0.02 3x2| x 2, x 0.02 3 22 0.02 0.24自變量的微分因?yàn)楫?dāng)y x時(shí)dy dx (x) x x所以通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分記作dx即dx x于是函數(shù)y f(x)的微分又可記作dy f (x)dx從而有業(yè)f (x)dx這就是說(shuō)函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因此導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”二、微分的幾何意義當(dāng)y是曲線y f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí)dy就是曲線的切線上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)| x|很小時(shí)| y dy|比| x|小得多 因此在點(diǎn)M的鄰近 我們可以用切線段來(lái)近

48、似代替曲線段三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dy f (x)dx可以看出要計(jì)算函數(shù)的微分只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘以自變量的微分 因此可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則1基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式(x ) x 1 (sin x) cos x (cos x) sin x (tan x) sec x (cot x)csc 2x(sec x) sec x tan x (csc x)csc x cot x(ax ) axIn a (ex) ex微分公式d (x ) x 1dxd (sin x) cos x d xd (cos x) sin x d xd (tan x) se

49、c xd xd (cot x) csc 2x d xd (sec x) sec x tan xdxd (csc x) csc x cot x d xd (ax ) axln a d x(log a x)1xln ad(logax)1 dx xln a(lnx) 1(arcsin x)d(ln x) -dxx(arccosx)(arcta n x)(arccot x)11 x2111 x211 x2d (arcs in x)d(arccosx)d(arcta n x)1Jdxdx1d (arccot x)dx1 x2d (ex) ex d x求導(dǎo)法則微分法則(u v) u vd(u v) du dv(Cu) Cud(Cu) Cdu(u