高三數(shù)學向量及向量的基本運算Word版

1、向量及向量的基本運算 【知識點精講】1）向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：。向量的大小即向量的模（長度），記作|。零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行。<注意與0的區(qū)別>單位向量：模為1個單位長度的向量。平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上。相等向量：長度相等且方向相同的向量。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為。2）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法。設(shè)，則+=。向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”。 說明：（1）； （2）向量

2、加法滿足交換律與結(jié)合律；3)向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。的作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。注：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。 （2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后

3、一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。4)實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（）；（）當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。5)兩個向量共線定理向量與非零向量共線有且只有一個實數(shù)，使得=。6)平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。7)特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運算。（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的

4、必要條件。（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況。（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)?！纠}選講】例1、判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，則；(7)若，則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則(9)已知A（3，7），B（5，2），將按向量=（1，2）平移后得到的向量的坐標為（3，3）(10）的充要條件是且；解：(1) 不正確，零向量方向任意, (2) 不正確，說明模相等,還

5、有方向 (3) 不正確，單位向量的模為1,方向很多 (4) 不正確，有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確， （6）正確，向量相等有傳遞性 （7）不正確，因若，則不共線的向量也有，。(8) 不正確, 如圖 （9）不正確，=（1，2），平移公式是，將A（3，7），B（5，2）分別代入可求得，故=（6,4）（4,9）=（2,5）。（10）不正確，當，且方向相反時，即使，也不能得到； 點評正確理解向量的有關(guān)概念例2: 已知G是ABC的重心，求證：證明：以向量為鄰邊作平行四邊形GBEC，則，又由G為ABC的重心知，從而，。說明：此題也可以用向量的坐標運算進行證明。練習：如圖平行四邊形ABCD的對角線

6、OD,AB相交于點C，線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD3CN,設(shè)解： . 點評根據(jù)向量的幾何加減法則,能對圖形中的向量進行互相表示例3（同課本）：設(shè)不共線，點P在AB上，求證：。解題過程請參考課本。變一：設(shè)不共線，求證：A、B、P三點共線。說明：當時，此時P為AB的中點，這是向量的中點公式。練習：設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點共線,求k的值分析:使解：, 使得點評共線或平行問題,用向量或坐標平行的充要條件解決例4（同課本）：若是兩個不共線的非零向量（。（1） 若起點相同，為何值時，三向量的終點在一直線上？（2） 若且夾角為，那么為何值時，的值最??？注意：解題過程參考課本?！菊n堂小結(jié)】1）向量的有關(guān)概念: 向量零向量單位向量平行向量（共